Можно ли как-то из координат всех частиц Ci получить (сконструировать) симметричную матрицу

- Граждане математики, помогите пожалуйста физику! Есть такая задача:
На плоскости имеется облако, состоящее из N - точечных частиц Ci с координатами (xi, yi).
i = 0, 1, 2, ..., N-1.
- Есть предположение, что все эти частицы образуют облако, которое можно описать неким эллипсоидом.
Т.к. эллипсоид это - квадратичная форма. А любая квадратичная форма однозначно описывается симметричной
матрицей, то можно-ли как-то из координат всех частиц Ci получить (сконструировать) симметричную
матрицу. Дальше я бы привел ее к главным осям и получил-бы все необходимые параметры эллипсоида
(величины полуосей эллипсоида - a, b; координаты центра эллипсоида - x0, y0; направляющие косинусы
поворота эллипсоида относительно основной системы координат - X, Y; ) ...
- Прошу прощения, если я обратился не в тот раздел математики.
- Когда-то давно я уже видел где-то подобные уравнения, но сейчас никак не могу найти ничего похожего!
Заранее спасибо !

0

Уточнение: облако описывается эллипсом, это как надо понять? Т.е. все точки лежат внутри какого-то эллипса? Нужно найти минимальный по площади эллипс, содержащий все точки облака?

0

- cmath, это не минимальный охватывающий все точки эллипсоид, это не голая геометрия. Это, как-бы
удачнее выразиться, если-бы массу или заряд или какое другое поле всех этих частиц равномерно "размазать
в пространстве", то общая масса или заряд или поле приняли-бы форму эллипсоида. Эллипсоид, это просто
некое приближение (модель) суммарного свойства всех частиц.
- Если эллипсоид на плоскости однозначно описывается симметричной матрицей 2-го порядка (матрицей
2x2), то те формулы, о которых я упоминал, определяли элементы этой матрицы, как суммы произведений
координат точек (Частиц). Т.е. они и были квадратичными выражениями вида Сумма по i от Xi*Xi или Сумма
по i от Xi*Yi. Что-то в этом духе...
- Я уже думал, что может этот эллипсоид - есть эллипсоид проходящий по всему облаку частиц наилучшим
образом в смысле наименьших квадратов. Т.е. эллипсоид проходящий так, чтобы сумма расстояний
от поверхности эллипсоида до всех точек была минимальна. Такой эллипсоид видимо передаст физику
модели, но вычисление его - это не простая задача. Чтобы найти все расстояния от всех точек облака до
поверхности эллипсоида надо будет находить координаты точек пересечения всех лучей соединяющих центр
эллипсоида со всеми точками облака. Да и потом решать несколько раз (по моему 5) системы уравнений,
чтобы найти все нужные параметры искомого эллипсоида. Если учесть, что мое облако частиц все время
меняется и что искать этот эллипсоид прийдется очень много раз, то это все выливается в очень емкую
задачу ...
- Накопить суммы произведений координат всех частиц, получить таким образом матрицу 2x2, привести ее
к главным осям - получить сразу все нужные параметры эллипсоида было-бы математически проще.

0

Сообщение от Staut - Накопить суммы произведений координат всех частиц, получить таким образом матрицу 2x2, привести ее к главным осям - получить сразу все нужные параметры эллипсоида было-бы математически проще.

Тут есть проблемы таково вида:
1. Непонятно, по какому принципу эти суммы сформировать.
2. Непонятно также, что вы подразумеваете под приведением к главным осям: это нахождение полуосей эллипсоида по квадратичной форме что-ли? Положим, вы получите нечто такое ax²+2bxy+cy², найдете свои полуоси. Как будете находить положение его центра? Снова вернетесь к МНК или чему-то подобному. В итоге все равно кучу ненужной работы проделаете. Не проще ли сразу с МНК начать?
Смотрите: общее уравнение эллипса в декартовых координатах выглядит так: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0, AC>0. Надо определить, как искать евклидово расстояние: просто выразить y(x) и применить стандартный шаблон (y(xi)-yi)² и искать производные от полученного по A, B, C... или надо придумать что-то хитрее? Вариант №1 не годится в плане достижения цели - найденное решение скорее всего не будет наилучшим из возможных. Попробую что-нибудь придумать еще...

1

Попробуйте метод наименьших квадратов. Он даст прямую, вдоль которой вытянулись точки эллипсоида. Ее можно взять за одну из главных осей. Вторая главная ось будет перпендикулярна первой, а ее положение опять можно попробовать считать методом НК. Только для второй оси я не вижу сразу вычислительной модели. А первый случай - он классический. Вот здесь посмотрите http://bookre.org/reader?file=508659&pg=446

1

- palva, спасибо Вам за ссылку. Освежу в памяти знания. Возможно и придется пользоваться
МНК. Насколько я понимаю моя задача состоит в следующем:
a) - Выразить в общем аналитическом виде Сумму расстояний от всех Точек до некоего гипотетического
эллипсоида. В него будут входить как параметры две координаты центра эллипсоида (x0, y0), две полуоси
эллипсоида (a, b), угол поворота основной оси эллипсоида относительно, скажем, оси X (fi). Т.е. всего пять
переменных.
b) - Выразить, опять же в общем аналитическом виде, пять частных производных по всем пяти параметрам
и приравнять их нулю. Получится система из пяти уравнений с пятью неизвестными (перечисленными выше).
Коэффициентами в уравнениях системы видимо будут какие-то суммы координат и суммы их произведений.
c) - Решать эту систему относительно - x0, y0, a, b, fi.
- Задача вообще-то не малая. Ну надо прикинуть ...

- cmath, я помню когда-то давно решал некую задачу:
У меня в определенных координатах пространства находился ион. Его поляризуемость определялась тензором
второго ранга - симметричной матрицей 3-го порядка. Я приводил ее к главным осям (к диагональному виду)
по моему с помощью метода вращений Якоби. И сразу же получал в диагонали матрицы набор полуосей эллипсоида и
из метода Якоби - набор направляющих косинусов (т.е. повороты осей эллипсоида по отношению к осям
координат). Правда, Вы павы, центр эллипсоида был заведомо известен (положение самого иона).
- Прошу прощения, я не математик, поясните пожалуйста, что Вы имеете в виду под терминами "евклидово
расстояние" и "стандартный шаблон"?

0

Сообщение от Staut евклидово расстояние

Скажем, требуется найти расстояние между точками на плоскости. Как вы его найдете? Найдете разности соответствующих координат, возведете в квадрат, сложите и возьмете корень. Получите расстояние. Евклидово. Между двумя точками. Еще называют евклидовой метрикой. Двигаемся дальше: как найти расстояние между прямой и точкой, не лежащей на ней? Очевидно, нужно опустить перпендикуляр. Расстояние между точкой и точкой пересечения прямой и перпендикуляра даст расстояние от точки до прямой. Сложнее - найти расстояние от точки до кривой. Как быть в этом случае? На нее же не опустишь перпендикуляр. Можно рассчитывать расстояние до любой точки кривой и потом искать среди найденных расстояний минимум. Но это, мягко говоря, не эффективно. Чтобы таки получить результат, надо придумать что-то другое.
Напомню кое-что: угол между кривыми в точке пересечения получается как угол между касательными к эти кривым все в той же точке. Если одна из "кривых" прямая, то угол между прямой и кривой считается, в принципе, также: находится касательная для кривой в точке пересечения и считаем угол между касательной и прямой.
Вернемся к вопросу о нахождении расстоянии между прямой и точкой: чтобы найти это расстояние, нужно опустить, так сказать, "перпендикуляр" - провести через точку прямую да такую, что угол между ней и кривой в точке пересечения будет прямой. Расстояние между точкой и точкой пересечения "перпендикуляра" с кривой = расстояние между точкой и кривой. Вообще же в математике (конкретно в функциональном анализе) есть понятие - расстояние до множества. Конкретно расстояние между точкой и множеством мы и находим. Это расстояние - наименьшее из возможных, вместе с тем не является в общем случае минимальным, т.к. множество может быть открытым и минимум просто не существует. Говорят обычно о точной нижней грани множества всех расстояний - инфимуме. Также расстояние между точкой и множеством - это расстояние между точкой и её проекцией на множество. Впрочем, больше функ. ан.ом грузить не буду.

Сообщение от Staut стандартный шаблон

Это уже чисто мое "определение". Я имел ввиду, что МНК применяется так: принимаем, что y=y(x) по какой-то формуле, содержащей конечный набор параметров (обычно не больше 2-3, с "именами" a,b и c), затем подставляем аргумент в формулу, затем находим квадрат отклонения, сумму квадратов отклонения и уже её минимизируем.

Добавлено через 28 секунд
Над методом рассчета продолжаю думать.

1

- Спасибо cmath, почитал Ваши пояснения и немного вспомнил матанализ. Все это училось в
свое время. Что касается моей задачки, то тут мне надо еще хорошенько подумать, покопаться в
справочниках. Как все это поудачнее и попроще выразить...

0