МНК с линейными ограничениями типа равенств

Здравствуйте, уважаемые коллеги!

Задача ставится как общая задача метода наименьших квадратов, именуемая как задача LSE: дана СЛАУ A*x=B, которая следует из постановки МНК, а также задана системе линейных ограничений: B*x=C. A - квадратная матрица полного ранга, B - прямоугольная матрица с меньшим количеством строк. Требуется: найти такое решение, чтобы система линейных B*x=C ограничений удовлетворялась жестко, при этом система A*x=B имела минимальные ошибки.
Такая задача, в целом, известна. Есть монография Себера "Линейный регрессионный анализ", а также книга Лоусен, Рихтер "Численное решение задач метода наименьших квадратов", в матлабе есть решающая такую задачу функция lsqlin, кроме того, можно найти статьи по данной проблеме.
Однако расчёт не корректен. В lsqlin, по всей видимости, реализован метод из Себера. Его результат удовлетворяет ограничениям, однако на простых примерах видно, что существуют иные решения, которые дают существенно меньшую ошибку для системы A*x=B.
Алгоритмы из Лоусена и статей по сути также сводятся к Себеру.

Решал ли кто-нибудь корректно такую задачу и каким способом?

0

Сообщение от pvyu расчёт некорректен

Некорректен в чем?

Обычный прием понижения ранга - использование SVD. Устойчивый алго основан на статье Голуба, в сети можно найти множество реализаций на различных языках. (Fortran реализация была у Моулер, Форсайт "Машинные методы математических вычислений", реализации на C/C++ есть во многих пакетах LA). Посмотрите еще Грегори, Кришнамурти "Безошибочные вычисления. Методы и приложения". М. Мир, 1968

0

Расчёт некорректен, т.к. решение, полученное в соответствии с литературой (Себер и др.), дают решение не обладающее минимальной ошибкой, но при этом условия линейных ограничений выполняются.
Например, ситуацию можно проиллюстрировать на примере:

Зададим две “экспериментальные” точки w1(1, 1) и w2(4, 4).
Аппроксимирующую функцию зададим как линейную комбинацию , где и . Понятно, что решению с минимальными ошибками удовлетворяют значения коэффициентов , .
Зададим линейное ограничение: аппроксимирующая функция F(x) должна проходить через точку w3(4, 1). При этом, точки w1, w2, w3 образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой w1w2.
В соответствии с принципом наименьших квадратов, решением данной задачи является прямая с уравнением , т.е. , . Решение у Себера,
обозначенное как

для модели при ограничениях решение имеет вид где

даёт иной результат: , , при этом прямая проходит через заданную точку w3, но условие минимальных квадратов не выполняется. Непонятно.

Приведу для данной задачи значения матриц и векторов, используемых в выражении у Себера:




При этом имеем решение:
,
а вовсе не

Казалось бы, всё задано корректно, но результат явно не тот.
Такие же результаты дают и другие методы, в т.ч. расчёты в Matlab (функция lsqlin).

Уважаемые коллеги, приходилось ли Вам успешно решать подобные задачи и каким способом?

0