Как находить графически начальное приближение?

@SalavatGood · Регистрация: 18.12.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, решаю задачу с системами нелинейных уравнений,в условии сказано: Начальное приближение найти графически, например, используя пакет Maple или из других соображений.
Начальное приближение это ведь начальные значения вектора x0, который используется для метода итераций? И каким образом найти это начальное приближение из графика, и получается для каждого уравнения из системы, потребуется построить график?

@wer1 · 08.12.2019, 08:58

Сообщение от SalavatGood

И каким образом найти это начальное приближение из графика, и получается для каждого уравнения из системы, потребуется построить график?

Если задана система из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными, то во многих случаях (но не всегда) можно построить графики функций каждого из уравнений. Графики строятся по точкам. Часто берутся целые числа или какие-либо иные (всё зависит от вида уравнений системы). Кроме того используются свойства самих уравнений заданной системы (периодичность, чётность, нули функций (пересечение с осями координат), и так далее)
Точки пересечения двух графиков и есть искомые начальные значения.
...
примечание
Вы задали общий вопрос. А дать конкретный ответ можно только на конкретную систему уравнений. Ведь системы уравнений могут и не иметь решений. А построение графиков будет более сложной задачей, чем решение самой системы.

@mathmichel · 08.12.2019, 18:00

Сообщение от SalavatGood

И каким образом найти это начальное приближение из графика, и получается для каждого уравнения из системы, потребуется построить график?

Да, рисуете графики для каждого из двух уравнений (с помощью Maple, как написано в задании, а можете и сами с помощью точек). На глазок определяете координаты (х,у) точки пересечения графиков и подставляете их в качестве начального приближения в свою итерационную схему. Если точек пересечения несколько, то повторяем эту процедуру для следующей точки пересечения.

@SalavatGood · 12.12.2019, 13:59 **[ТС]**

wer1, по такой СНАУ можно построить график функций?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text x + x^2 - 2yz = 0.1 \\ & \text y - y^2 + 3xz = -0.2 \\ & \text z + z^2 + 2xy = 0.3 \end{cases}$
Вот из этой задачи и сказали начальное приближение найти графически

@wer1 · 12.12.2019, 15:52

SalavatGood,
поскольку это система трех уравнений с тремя неизвестными, то положим что одна из неизвестных (например икс) будет параметром. То есть мы будем задавать для икс значения 0; +1, -1,...

Итак x = 0. Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yz=0,1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-y^2=-0,2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z+z^2=0,3$

решая второе и третье уравнения (график тут не нужен вовсе), получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1=1,17 \; y_2=-0,17$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_1=-1,24 \; z_2=0,24$

из первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yz=-0,05$ следует, что y и z имеют разные знаки, то есть
нам подходит пара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-0,17\;\;z=0,24$
итак в качестве начальных значений системы можно выбрать следующую тройку чисел
x = 0; y = -0,17; z = 0,24
...
примечание 1.
точное решение системы x = 0,012824; y = -0,177800; z = 0,244688

примечание 2
вообще система оказалась простой. В более сложном случае пришлось бы строить несколько графиков. Но вы, надеюсь, поняли... Одна из переменных должна стать параметром. Выбор зависит от вас. И надо делать так, что получились наиболее простые функции. В данном случае даже график строить не пришлось...

@SalavatGood · 13.12.2019, 13:57 **[ТС]**

wer1, почему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yz = -0.05$ ? В первом уравнении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yz = 0.1$ получается 0.05. И как у вас получилось найти точное решение системы?

@wer1 · 13.12.2019, 14:58

SalavatGood,
ответ на ваш первый вопрос:
я извиняюсь, у меня там опечатка. Первое уравнение выглядит так -2yz = 0,1 (знак минус просмотрел)
...
после того, как были найдены начальные значения x = 0; y = -0,17; z = 0,24
я записал вашу систему уравнений в виде удобном для вычисления очередных значений x, y, z методом последовательных итераций
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-x^2+2yz+0,1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y^2-3xz-0,2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-z^2-2xy+0,3$
оказалось достаточно 25 итераций, чтобы получить решение с абсолютной погрешность равной 0,000001

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! в-строка - входное арифметическое выражение в инфиксной(обычной). . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@SalavatGood 14 / 13 / 1 Регистрация: 18.12.2018 Сообщений: 422

	Как находить графически начальное приближение? 07.12.2019, 19:01. Показов 7014. Ответов 6 Метки задача, математика, численные методы (Все метки) Здравствуйте, решаю задачу с системами нелинейных уравнений,в условии сказано: Начальное приближение найти графически, например, используя пакет Maple или из других соображений. Начальное приближение это ведь начальные значения вектора x0, который используется для метода итераций? И каким образом найти это начальное приближение из графика, и получается для каждого уравнения из системы, потребуется построить график? 0

@SalavatGood 14 / 13 / 1 Регистрация: 18.12.2018 Сообщений: 422
	12.12.2019, 13:59 [ТС]
	wer1, по такой СНАУ можно построить график функций? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text x + x^2 - 2yz = 0.1 \\ & \text y - y^2 + 3xz = -0.2 \\ & \text z + z^2 + 2xy = 0.3 \end{cases}$ Вот из этой задачи и сказали начальное приближение найти графически 0

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	12.12.2019, 15:52
	SalavatGood, поскольку это система трех уравнений с тремя неизвестными, то положим что одна из неизвестных (например икс) будет параметром. То есть мы будем задавать для икс значения 0; +1, -1,... Итак x = 0. Имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yz=0,1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-y^2=-0,2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z+z^2=0,3$ решая второе и третье уравнения (график тут не нужен вовсе), получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1=1,17 \; y_2=-0,17$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_1=-1,24 \; z_2=0,24$ из первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yz=-0,05$ следует, что y и z имеют разные знаки, то есть нам подходит пара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-0,17\;\;z=0,24$ итак в качестве начальных значений системы можно выбрать следующую тройку чисел x = 0; y = -0,17; z = 0,24 ... примечание 1. точное решение системы x = 0,012824; y = -0,177800; z = 0,244688 примечание 2 вообще система оказалась простой. В более сложном случае пришлось бы строить несколько графиков. Но вы, надеюсь, поняли... Одна из переменных должна стать параметром. Выбор зависит от вас. И надо делать так, что получились наиболее простые функции. В данном случае даже график строить не пришлось... 0

@SalavatGood 14 / 13 / 1 Регистрация: 18.12.2018 Сообщений: 422
	13.12.2019, 13:57 [ТС]
	wer1, почему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yz = -0.05$ ? В первом уравнении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yz = 0.1$ получается 0.05. И как у вас получилось найти точное решение системы? 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	13.12.2019, 14:58
	SalavatGood, ответ на ваш первый вопрос: я извиняюсь, у меня там опечатка. Первое уравнение выглядит так -2yz = 0,1 (знак минус просмотрел) ... после того, как были найдены начальные значения x = 0; y = -0,17; z = 0,24 я записал вашу систему уравнений в виде удобном для вычисления очередных значений x, y, z методом последовательных итераций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-x^2+2yz+0,1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y^2-3xz-0,2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-z^2-2xy+0,3$ оказалось достаточно 25 итераций, чтобы получить решение с абсолютной погрешность равной 0,000001 0