Построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации

@DanilaLavr · Регистрация: 18.03.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, я встал в тупик при решении данного задания:
Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}<br /> xy''-2y'=cos(x)<br /> \\ <br /> y^'(1)=1, y(2)=0<br /> \end{matrix}\right.$
Требуемый порядок аппроксимации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=2$ .

Теперь, как я решал:
Заменим в уравнении производную разделённой разностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''({x}_{i})\approx \frac{{\tilde{y}}_{i-1}-2{\tilde{y}}_{i}+{\tilde{y}}_{i+1}}{{h}^{2}}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{i})\approx \frac{{\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_{i-1}}{h}$ .
Далее я подставляю данные равенства в исходный диффур и раскладываю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\tilde{y}}_{i+1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\tilde{y}}_{i+1}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}^{4}$ .
В итоге получается огромное уравнение, с которым я без понятия что делать, его можно упростить, но что делать дальше я не очень понимаю. Кто может, помогите пожалуйста.

@mathmichel · 30.05.2021, 20:06

Правильно брать первую производную как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}$ , но с точки зрения согласованности вычислительной схемы лучше брать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i}-y_{i-1}}{h}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h}$ .

@Том Ардер · 30.05.2021, 20:15

Сообщение от DanilaLavr

раскладываю в ряд Тейлора

А здесь это зачем? Подобные разложения имеют смысл, когда строится конечно-разностная схема с требуемым порядком аппроксимации.

Сообщение от DanilaLavr

получается огромное уравнение

К-Р схема приводит к линейной системе уравнений специального вида, которая решается обычными способами.
В данном случае задача краевая, линейная система обычно решается методом прогонки.

В любом учебнике можно найти всё необходимое, список в темах Важное

@mathmichel · 30.05.2021, 20:17

Сообщение от Том Ардер

В данном случае задача краевая

По условию дана задача Коши...

@Том Ардер · 30.05.2021, 20:26

Сообщение от mathmichel

По условию дана задача Коши...

Это не так. В условии
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^'(1)=1, y(2)=0$

@mathmichel · 30.05.2021, 20:31

Прощу прощения - не заметил...

@DanilaLavr · 30.05.2021, 20:38 **[ТС]**

Спасибо, что ответили! В данной задаче не требуется нахождение решения, нужно построить разностную схему, я раскладываю в ряд Тейлора члены с i+1 и i-1 после подстановки точного решения, чтобы убедиться, что порядок аппроксимации имеет вторую степень. Для этого я после упрощения вычитаю из полученного равенства исходный диффур и получаю неувязку, проблема в том, что я не очень понимаю как это сделать, ведь то что я получил, и сам исходный диффур это равенства, а вычитая равенство из равенства, я не могу получить новый член и назвать его неувязкой. Я всё это делаю с помощью методически от института, но мне тяжело разобраться. Буду очень благодарен, если объясните где я заблуждаюсь.

@Том Ардер · 30.05.2021, 20:55

Сообщение от DanilaLavr

Буду очень благодарен, если объясните где я заблуждаюсь

Вот на такие случаи и есть

Комментарий модератора

Правила форума

4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

Сообщение от DanilaLavr

с помощью методически от института

Мы не знаем, что и как написано в этой методичке

@DanilaLavr · 30.05.2021, 21:49 **[ТС]**

Сообщение от Том Ардер

Вот на такие случаи и есть

Понятно, в методичке был дан пример с другим дифференциальным уравнением, но задание то же - построить разностную схему. Сейчас поэтапно распишу, что я делаю, и что из этого получается или не получается.
1) Разбиваю исходный отрезок [1; 2] на n равных частей с шагом h. Получаю, то что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}=1; {x}_{i}=1+ih; {x}_{n}=2$ - с этим проблем нет.
2) Исходное дифференциальное уравнение представляю в разностном виде. С помощью равенств, которые я указал в самом начале.
3) После этого, мне надо убедиться, что получен второй порядок аппроксимации, для этого я раскладываю в ряд Тейлора в окрестности точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}$ - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{i\pm1}$ .
4) Подставляю разложение в разностное уравнение. Вот здесь у меня очень большие трудности. После подстановки и упрощения у меня фигурируют все производные вплоть до 3ей, в то время как в примере из методички всё сократилось.

Построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации

5) Я из полученного равенства и исходного дифференциального уравнения - должен получить неувязку и она должна иметь второй порядок. Этот пункт я совсем не понимаю.
6) Получить уравнения в системе для краевых условий. Если со вторым условием всё понятно - оно не имеет погрешности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{n}=0$ , то вот с первым я не очень понимаю как быть. Можно разложить в ряд Тейлора в окрестности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ и подставить точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}+h$ , тогда вместо первой производной подставляем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{0}$ , вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ , в итоге так мы получаем уравнение для первого краевого условия. Но я не уверен в правильности этого.
7) Помимо этого, я также должен оценить порядок неувязки для первого граничного условия, тут я должен посмотреть на степень h в разложении.
Надеюсь, я понятно изложил что я сделал, или попытался сделать, и в чём у меня проблемы.

@mathmichel · 30.05.2021, 22:12

Сообщение от DanilaLavr

в то время как в примере из методички всё сократилось

А где пример из методички? Загрузите лучше методичку полностью.
И писать правильно: невязка (вместо неувязки).

@DanilaLavr · 30.05.2021, 22:16 **[ТС]**

Вот пример из типового варианта.

@DanilaLavr · 30.05.2021, 22:17 **[ТС]**

И прошу прощения, я это называл методичкой, но это не так - это скорее типовой вариант.

@mathmichel · 30.05.2021, 22:20

Сообщение от DanilaLavr

вот с первым я не очень понимаю как быть

Конечно-разностную формулу используйте с шагом h.

@DanilaLavr · 30.05.2021, 22:25 **[ТС]**

Понятно, спасибо, а насчёт пункта 4, можете сказать, я где-то ошибся или так и должно получиться? Также не понимаю как получить невязку по аналогии с типовым вариантом.

@mathmichel · 30.05.2021, 22:38

Сообщение от DanilaLavr

как получить невязку по аналогии с типовым вариантом

Абсолютно аналогично - в этом плане нет никакой разницы между вариантами: в обоих случаях расправляетесь с выражением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^2}$ , после подставки разложения Тейлора для u_i-1 и u_i+1 в числителе остаются остаются только слагаемые с h в четвёртой степени и выше, которые после деления на h² и дают второй порядок аппроксимации. А у Вас ещё первая производная осталась, тогда используйте симметричное конечно-разностное выражение для неё, которое Вы написали в самом начале!

@DanilaLavr · 30.05.2021, 22:42 **[ТС]**

Понятно, спасибо, а вот касательно разности 4ых производных от кси правой и левой, я понимаю, как поступить с суммой - перейти к остаточному члену, а вот с разностью...

@mathmichel · 30.05.2021, 22:48

Сообщение от DanilaLavr

как поступить с суммой - перейти к остаточному члену, а вот с разностью...

Это уже не важно, главное, что после сокращения остаются члены, начиная только с h² и выше (кроме конечно u_i'' и u_i').

@DanilaLavr · 30.05.2021, 23:14 **[ТС]**

Всё, теперь никаких проблем нету, спасибо всем огромное

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64

	Построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации 30.05.2021, 18:54. Показов 3456. Ответов 17 Метки численное решение диффуров (Все метки) Здравствуйте, я встал в тупик при решении данного задания: Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}<br /> xy''-2y'=cos(x)<br /> \\ <br /> y^'(1)=1, y(2)=0<br /> \end{matrix}\right.$ Требуемый порядок аппроксимации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=2$ . Теперь, как я решал: Заменим в уравнении производную разделённой разностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''({x}_{i})\approx \frac{{\tilde{y}}_{i-1}-2{\tilde{y}}_{i}+{\tilde{y}}_{i+1}}{{h}^{2}}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{i})\approx \frac{{\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_{i-1}}{h}$ . Далее я подставляю данные равенства в исходный диффур и раскладываю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\tilde{y}}_{i+1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\tilde{y}}_{i+1}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}^{4}$ . В итоге получается огромное уравнение, с которым я без понятия что делать, его можно упростить, но что делать дальше я не очень понимаю. Кто может, помогите пожалуйста. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11063 / 7365 / 3988 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,797
	30.05.2021, 20:06
	Правильно брать первую производную как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}$ , но с точки зрения согласованности вычислительной схемы лучше брать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i}-y_{i-1}}{h}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h}$ . 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11063 / 7365 / 3988 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,797
	30.05.2021, 20:31
	Прощу прощения - не заметил... 1

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 20:38 [ТС]
	Спасибо, что ответили! В данной задаче не требуется нахождение решения, нужно построить разностную схему, я раскладываю в ряд Тейлора члены с i+1 и i-1 после подстановки точного решения, чтобы убедиться, что порядок аппроксимации имеет вторую степень. Для этого я после упрощения вычитаю из полученного равенства исходный диффур и получаю неувязку, проблема в том, что я не очень понимаю как это сделать, ведь то что я получил, и сам исходный диффур это равенства, а вычитая равенство из равенства, я не могу получить новый член и назвать его неувязкой. Я всё это делаю с помощью методически от института, но мне тяжело разобраться. Буду очень благодарен, если объясните где я заблуждаюсь. 0

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 22:16 [ТС]
	Вот пример из типового варианта. 0

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 22:17 [ТС]
	И прошу прощения, я это называл методичкой, но это не так - это скорее типовой вариант. 0

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 22:25 [ТС]
	Понятно, спасибо, а насчёт пункта 4, можете сказать, я где-то ошибся или так и должно получиться? Также не понимаю как получить невязку по аналогии с типовым вариантом. 0

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 22:42 [ТС]
	Понятно, спасибо, а вот касательно разности 4ых производных от кси правой и левой, я понимаю, как поступить с суммой - перейти к остаточному члену, а вот с разностью... 0

@DanilaLavr 3 / 2 / 1 Регистрация: 18.03.2020 Сообщений: 64
	30.05.2021, 23:14 [ТС]
	Всё, теперь никаких проблем нету, спасибо всем огромное 0