Скорость сходимости итерационного процесса?

@das1 · Регистрация: 14.02.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

вступление
В прошлом веке было время когда ЭВМ не могли производить операцию деления. То есть они могли делить число только на степень числа 2. Поэтому деление было заменено умножением. То есть A / B = A * C (где C = 1 / B). Число С вычислялось с помощью вспомогательных быстросходящихся алгоритмов. Вот здесь я привожу один из них.

Итак требуется решить уравнение B * x = 1, где B находится на интервале (0,65; 1,30)
(любое число может быть путём деления/умножения на 2 приведено к интервалу (0,65; 1,30))
приведём наше уравнение к виду x = 2x - Bx² (это - быстросходящаяся итерационная формула)
в качестве начального значения берётся число x = 2 - B
достаточно трёх итераций, чтобы получить 7 точных знаков числа х

Вычисления показали, что абсолютная погрешность может быть выражена формулой
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_{n+1}=(\Delta x_n)^2$ (то есть число точных знаков удваивается при каждой итерации!)
Вопрос.
Верно ли это? И можно ли это доказать аналитически?

примечание
интервал для числа В может быть другим. Например (2/3; 4/3)
но я предположил, что интервал (0,65; 1,30) более оптимален для вычислений
... хотя кто это сейчас знает?...

@mathmichel · 22.04.2022, 09:16

Если задана итерационная функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (x)$ , то скорость сходимости определяется через модуль её производной (норма итерационной функции), который должен быть меньше единицы. Чем меньше он единицы, тем выше будет скорость сходимости. Для Вашего случая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (x)=2x-bx^2,\: \varphi '(x)=2(1-bx)$ с начальным значением x=1-b даёт близкое к нулю значение для нормы итерационной функции при заданном диапазоне значений b.

@das1 · 22.04.2022, 11:23 **[ТС]**

mathmichel, спасибо! Вы натолкнули меня на мысль! Вот она

я тут провёл следующие выкладки. Пусть x - точное решение и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0=x+\Delta x_0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=x+\Delta x_1$
подставим эти значения в наше уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=2x_0-bx_0^2$
получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+\Delta x_1=2(x+\Delta x_0)-b(x+\Delta x_0)^2$
раскрывая скобки и приводя подобные...
к подобным относим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x =2x-bx^2$ а также $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?bx=1$
получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_1=-b(\Delta x_0)^2$
Очень интересная формула для абсолютной погрешности. (знак минус конечно следует опустить - погрешность не бывает отрицательной) Кстати она говорит, что интервал для b надо брать (2/3; 4/3). То есть ближе к 1

@das1 · 22.04.2022, 18:45 **[ТС]**

хочу довести решение моей задачи до логического конца.

Итак мы имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_1=b(\Delta x_2)^2$ (знак минус я опустил)
разделим обе части этого равенства на х. Получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(b/x)(\Delta x_2)^2$
так как из уравнения bx = 1 следует b = 1/x, то окончательно получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(\Delta x_2/x)^2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(\delta x_2)^2$ (!!!)

задача решена

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@das1 236 / 166 / 51 Регистрация: 14.02.2022 Сообщений: 431

	Скорость сходимости итерационного процесса? 22.04.2022, 08:55. Показов 894. Ответов 3 Метки вычислительная математика, погрешность (Все метки) вступление В прошлом веке было время когда ЭВМ не могли производить операцию деления. То есть они могли делить число только на степень числа 2. Поэтому деление было заменено умножением. То есть A / B = A * C (где C = 1 / B). Число С вычислялось с помощью вспомогательных быстросходящихся алгоритмов. Вот здесь я привожу один из них. Итак требуется решить уравнение *B x = 1, где B находится на интервале (0,65; 1,30) (любое число может быть путём деления/умножения на 2 приведено к интервалу (0,65; 1,30)) приведём наше уравнение к виду x = 2x - Bx² (это - быстросходящаяся итерационная формула) в качестве начального значения берётся число x = 2 - B** достаточно трёх итераций, чтобы получить 7 точных знаков числа х Вычисления показали, что абсолютная погрешность может быть выражена формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_{n+1}=(\Delta x_n)^2$ (то есть число точных знаков удваивается при каждой итерации!) Вопрос. Верно ли это? И можно ли это доказать аналитически? примечание интервал для числа В может быть другим. Например (2/3; 4/3) но я предположил, что интервал (0,65; 1,30) более оптимален для вычислений ... хотя кто это сейчас знает?... 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11045 / 7348 / 3980 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,762
	22.04.2022, 09:16
	Сообщение было отмечено das1 как решение Решение Если задана итерационная функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (x)$ , то скорость сходимости определяется через модуль её производной (норма итерационной функции), который должен быть меньше единицы. Чем меньше он единицы, тем выше будет скорость сходимости. Для Вашего случая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (x)=2x-bx^2,\: \varphi '(x)=2(1-bx)$ с начальным значением x=1-b даёт близкое к нулю значение для нормы итерационной функции при заданном диапазоне значений b. 1

@das1 236 / 166 / 51 Регистрация: 14.02.2022 Сообщений: 431
	22.04.2022, 11:23 [ТС]
	mathmichel, спасибо! Вы натолкнули меня на мысль! Вот она я тут провёл следующие выкладки. Пусть x - точное решение и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0=x+\Delta x_0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=x+\Delta x_1$ подставим эти значения в наше уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=2x_0-bx_0^2$ получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+\Delta x_1=2(x+\Delta x_0)-b(x+\Delta x_0)^2$ раскрывая скобки и приводя подобные... к подобным относим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x =2x-bx^2$ а также $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?bx=1$ получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_1=-b(\Delta x_0)^2$ Очень интересная формула для абсолютной погрешности. (знак минус конечно следует опустить - погрешность не бывает отрицательной) Кстати она говорит, что интервал для b надо брать (2/3; 4/3). То есть ближе к 1 0

@das1 236 / 166 / 51 Регистрация: 14.02.2022 Сообщений: 431
	22.04.2022, 18:45 [ТС]
	хочу довести решение моей задачи до логического конца. Итак мы имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x_1=b(\Delta x_2)^2$ (знак минус я опустил) разделим обе части этого равенства на х. Получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(b/x)(\Delta x_2)^2$ так как из уравнения bx = 1 следует b = 1/x, то окончательно получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(\Delta x_2/x)^2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta x_1=(\delta x_2)^2$ (!!!) задача решена 0

Скорость сходимости итерационного процесса?

Решение