Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака

@LondonSS · Регистрация: 10.11.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Топливный бак объемом V м^3 имеет форму цилиндра с коническим обтекателем. Угол при вершине конуса A=90 градусов. Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака R и H с точки зрения расхода материала на его изготовление.
V= 3.0 м^3
Ограничения,м (0,7 <= R <= 1.0)
Ссылка на картинку с заданием ссылка удалена

Можете помочь решить? или где можно найти примеры, похожее что-то?

@eropegov · 11.04.2017, 18:53

Запишите формулу зависимости объема V от радиуса R и длины H. Потом заметьте, что, поскольку объем фиксирован, H выражается через R и V. Потом выразите площадь поверхности агрегата через R. У вас получится задача нахождения минимума функции на отрезке [0.7, 1.0].

@LondonSS · 11.04.2017, 19:16 **[ТС]**

Если объем цилинда равен V=п*R^2*H, а обьем конуса равен V=(1/3)*п*R^2*H,
то вроде как получается V=п*R^2*H + (1/3)*п*R^2*H
Это правильно или нет?

*простите за мою тупость*

@eropegov · 11.04.2017, 19:20

Сообщение от LondonSS

обьем конуса равен V=(1/3)*п*R^2*H

В вашей задаче H - это длина цилиндра, к конусу она никакого отношения не имеет. Для нахождения объема конуса используйте, что угол при его вершине прямой.

@LondonSS · 11.04.2017, 19:27 **[ТС]**

Тогда возможно так, в треугольники, образованном радиусом основания R, высотой H и образующий конуса L, углы при образующий равны по 45 градусов (равнобедренный треугольник), значит высота конуса равна радиусу его оснований H=R.
Тогда объем V=(1/3)*п*R^2*R ???

@eropegov · 11.04.2017, 19:31

Сообщение от LondonSS

высота конуса равна радиусу его оснований H=R.
Тогда объем V=(1/3)*п*R^2*R ???

Ага.

@LondonSS · 11.04.2017, 19:37 **[ТС]**

Сообщение от eropegov

Запишите формулу зависимости объема V от радиуса R и длины H

Тогда V=п*R^2*H + (1/3)*п*R^2*R

Сообщение от eropegov

H выражается через R и V

получается вроде как H=V/(п*R^2 + (1/3)*п*R^2*R), так?

Сообщение от eropegov

Потом выразите площадь поверхности агрегата через R

а вот как это сделать не понимаю(

@eropegov · 11.04.2017, 19:49

Сообщение от LondonSS

Тогда V=п*R^2*H + (1/3)*п*R^2*R

Давайте запишем это поприличнее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi*R^2*H + \frac{1}{3}*\pi*R^2*R = \pi \left(R^2H+\frac{1}{3}R^3\right)$ .

Сообщение от LondonSS

а вот как это сделать не понимаю(

Ну, есть же там формулы площади поверхности конуса, цилиндра.

@LondonSS · 11.04.2017, 20:04 **[ТС]**

Ну, площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πR^2 + 2πRh = 2πR(R+h),
а площадь конуса = пR^2+пRL

но как совместить это с нашей формулой ума не приложу

@eropegov · 11.04.2017, 20:23

Сообщение от LondonSS

но как совместить это с нашей формулой ума не приложу

Я нахожусь в неприятном затруднении: мне непонятно, что здесь может быть непонятного.

По поводу ваших формул могу заметить, что перед тем, как их применять, их надо правильно приготовить, потому что цилиндр у нас без крышки и конус без дна. Но, очевидно, не это вас останавливает. А вот что?

@LondonSS · 11.04.2017, 20:29 **[ТС]**

Я только ещё сильнее запутался((
У вас нет похожего примера чтобы разобраться?
А то я чувствую что сам не сделаю

@eropegov · 11.04.2017, 20:46

Раз.
Два (найдите там задачу 7).

@Excalibur921 · 11.04.2017, 22:10

Нужно минимизировать значение целевой функции f(r) которое находит площадь бака.
Зная r найти высоту конуса. Зная объем конуса и требуемый V определяем H.

Сообщение от LondonSS

Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака R и H

А вот это хитрое условие. Значит размеры r и H могут быть только кратны 5 мм.
Значит подставлять r в целевую в интервале 0,7 <= R <= 1.0 можно только кратные 5 мм.
А поскольку H это функция от r то нужно размеры H округлять до 5 мм. А это изменит V.
Значит решение наверно имеет один корень когда r и H кратны 5мм и V=3.
Про оптимизацию можно ничего не читать, просто сделать целевую и перебрать в цикле r с шагом 5 мм записывая массив f(r), r,H. Затем найти минимум f(r) в массиве.

@LondonSS · 12.04.2017, 11:56 **[ТС]**

У меня получилось так, но мне кажется что что-то не правильно
целевая функция:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(R,H) = S_{bok} = 2*\pi*R*H+\pi*R*\sqrt{R^{2}+H^{2}}$
по условия задачи объем равен V = 3 м^3,
от сюда следует ограничение равенства:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi*(R^{2}*H+\frac{1}{3}*R^{3})= 3$
выразим из этого равенства H:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H = ((3/\pi)-\frac{1}{3}*R^{3})/R^{2}$
и подставим полученное выражение в целевую функцию:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(R) = 2*\pi*R*(((3/\pi)-\frac{1}{3}*R^{3})/R^{2})+\pi*R*\sqrt{R^{2}+(((3/\pi)-\frac{1}{3}*R^{3})/R^{2})^{2}}$

@Excalibur921 · 12.04.2017, 13:31

Может примерно так?
Нужны 3 переменных Rcel ,Hcel, площадь Scel.
Брать R в цикле с шагом 5 мм от Rmin до Rmax.
Взять R.
Найти H, округлить до 5 мм в большую Hmax.
Округлить до 5 мм в меньшую Hmin.
При данном R и каком из Hmax или Hmin V=3?
Если при обоих то выбрать ту H где меньше S.
Если Hmax то найти S(R, Hmax) записать Rcel,Hcel,Scel.
Если Hmin то найти площадь S(R, Hmin) записать Rcel,Hcel,Scel. .
Если при таком R и Hmax и Hmin нет V=3 то взять следующий R.
Если перебрали все R а ответа нет то написать Нет решений.

Добавлено через 5 минут
Кстати можно еще добавить NewRcel, NewHcel, NewScel.
Вдруг корней будет несколько.
Чтоб сверять новую площадь NewScel со старой Scel и записать те параметры что лучше.

Добавлено через 17 минут

Сообщение от LondonSS

мне кажется

Если кажется то постройте график
ось X: R.
ось Y: Hcel,Scel.

@jogano · 12.04.2017, 14:48

LondonSS, целевая функция у вас неправильная (второе слагаемое). Первое слагаемое - площадь боковой поверхности цилиндра. А вот второе...
Должно быть три слагаемых - площадь боковой поверхности цилиндра, площадь левого основания цилиндра и площадь боковой поверхности конуса.
Ответы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi \left(\frac{1}{3}+\sqrt{2} \right)}}\approx 0,820 \; m\\H=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{V}{\pi \left(\frac{1}{3}+\sqrt{2} \right)}} \approx 1,155 \; m$ , если с точностью до 5 мм
P.S. Получение ответа зависит от того, как вам нужно решать:
цикл с шагом и т.п., если нужно программировать - решать уравнение приближённо. Но выводится точная формула методами матанализа.

Добавлено через 31 минуту

Сообщение от LondonSS

или где можно найти примеры, похожее что-то?

Чтобы с решениями, то, например, в Антидемидовиче (Ляшко, Боярчук, Гай, Головач "Математический анализ в примерах и задачах") том 1 Глава II "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" #12 "Задачи на максимум и минимум функции".

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33

	Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака 11.04.2017, 18:26. Показов 1668. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Топливный бак объемом V м^3 имеет форму цилиндра с коническим обтекателем. Угол при вершине конуса A=90 градусов. Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака R и H с точки зрения расхода материала на его изготовление. V= 3.0 м^3 Ограничения,м (0,7 <= R <= 1.0) Ссылка на картинку с заданием ссылка удалена Можете помочь решить? или где можно найти примеры, похожее что-то? Миниатюры 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.04.2017, 18:53
	Запишите формулу зависимости объема V от радиуса R и длины H. Потом заметьте, что, поскольку объем фиксирован, H выражается через R и V. Потом выразите площадь поверхности агрегата через R. У вас получится задача нахождения минимума функции на отрезке [0.7, 1.0]. 1

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33
	11.04.2017, 19:16 [ТС]
	Если объем цилинда равен V=пR^2H, а обьем конуса равен V=(1/3)пR^2H, то вроде как получается V=пR^2H + (1/3)пR^2H Это правильно или нет? простите за мою тупость 0

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33
	11.04.2017, 19:27 [ТС]
	Тогда возможно так, в треугольники, образованном радиусом основания R, высотой H и образующий конуса L, углы при образующий равны по 45 градусов (равнобедренный треугольник), значит высота конуса равна радиусу его оснований H=R. Тогда объем V=(1/3)пR^2*R ??? 0

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33
	11.04.2017, 20:04 [ТС]
	Ну, площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πR^2 + 2πRh = 2πR(R+h), а площадь конуса = пR^2+пRL но как совместить это с нашей формулой ума не приложу 0

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33
	11.04.2017, 20:29 [ТС]
	Я только ещё сильнее запутался(( У вас нет похожего примера чтобы разобраться? А то я чувствую что сам не сделаю 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.04.2017, 20:46
	Раз. Два (найдите там задачу 7). 1

@LondonSS 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.11.2012 Сообщений: 33
	12.04.2017, 11:56 [ТС]
	У меня получилось так, но мне кажется что что-то не правильно целевая функция: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(R,H) = S_{bok} = 2\piRH+\piR\sqrt{R^{2}+H^{2}}$ по условия задачи объем равен V = 3 м^3, от сюда следует ограничение равенства: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi(R^{2}H+\frac{1}{3}R^{3})= 3$ выразим из этого равенства H: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H = ((3/\pi)-\frac{1}{3}R^{3})/R^{2}$ и подставим полученное выражение в целевую функцию: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(R) = 2\piR(((3/\pi)-\frac{1}{3}R^{3})/R^{2})+\piR\sqrt{R^{2}+(((3/\pi)-\frac{1}{3}R^{3})/R^{2})^{2}}$ 0

Подобрать с точностью до 5 мм оптимальные размеры бака

Решение