Поиск экстремали в задаче с подвижными границами с применением численных методов

@Anasitasiya · Регистрация: 02.01.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Есть задача для лабораторной работы: найти численное решение вариационной задачи с подвижными границами
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{equation}\begin{cases} \int_0^b(12xy-y'^2)\,dx,\\ y(0)=3,\\ y(b)=-b.\end{cases}\end{equation}$
Решение нужно представить в форме рисунка, а найденную экстремаль исследовать на оптимальность.

Из того, что удалось понять:

Во-первых, я правильно понимаю, что в качестве решения здесь требуют именно найти экстремаль, доставляющую экстремум?
Во-вторых, я могу численными методами (применить метод Эйлера к системе ДУ, вытекающей из уравнения Эйлера) построить поле экстремалей для данной задачи (что и сделала). Выглядит как во вложениях на рисунке. Экстремали имеют вид
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = C_1+C_2x-x^3$ ,
причём из-за граничного условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1=3$ . Кстати, само уравнение Эйлера в данном случае имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=-6x$ .

Как решать задачу аналитически я понимаю: нужно решить систему уравнений с использованием условия трансверсальности и граничных условий. Кстати, если я нигде не ошиблась, аналитическим методом выходит следующее решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y*=3-x^3$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y*=3-2x-x^3$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=0$ (это решение ведь не нужно выписывать?)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3+4x-x^3$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=2$ .

Вопрос: как решить задачу численно?

@one man · 12.12.2020, 18:43

Должна получиться функция y, зависящая от b и от x (экстремалью будет поверхность). Для этого надо решить два уравнения относительно C1 и C2. Записываем условия на границах для общего решения и получаем значения C1 и C2.

Сообщение от Anasitasiya

найденную экстремаль исследовать на оптимальность

Сообщение от Anasitasiya

Вопрос: как решить задачу численно?

Это непонятно

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	Киев стоит - украинская песня zorxor 28.01.2026 wfWdiRqdTxc О Господи, Вечный, Ты . . . Я помоги, Бесконечный. . . Я прошу Ты. . . Я погибаю, спаси. . . Я прошу Тебя Вечный. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .
влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .	Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .	Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т.д. 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Перейдите по ссылке: https:/ / developer. android. com/ studio и в самом низу страницы кликните по архиву "commandlinetools-win-xxxxxx_latest. zip" Извлеките архив и вы увидите. . .	Вывод текста со шрифтом TTF на Android с помощью библиотеки SDL3_ttf 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Если у вас не установлены Android SDK, NDK, JDK, и т. д. то сделайте это по следующей инструкции: Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т. д. Сборка примера Скачайте. . .

@Anasitasiya 0 / 0 / 0 Регистрация: 02.01.2017 Сообщений: 70

	Поиск экстремали в задаче с подвижными границами с применением численных методов 12.12.2020, 10:27. Показов 901. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Есть задача для лабораторной работы: найти численное решение вариационной задачи с подвижными границами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{equation}\begin{cases} \int_0^b(12xy-y'^2)\,dx,\\ y(0)=3,\\ y(b)=-b.\end{cases}\end{equation}$ Решение нужно представить в форме рисунка, а найденную экстремаль исследовать на оптимальность. Из того, что удалось понять: Во-первых, я правильно понимаю, что в качестве решения здесь требуют именно найти экстремаль, доставляющую экстремум? Во-вторых, я могу численными методами (применить метод Эйлера к системе ДУ, вытекающей из уравнения Эйлера) построить поле экстремалей для данной задачи (что и сделала). Выглядит как во вложениях на рисунке. Экстремали имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = C_1+C_2x-x^3$ , причём из-за граничного условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1=3$ . Кстати, само уравнение Эйлера в данном случае имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=-6x$ . Как решать задачу аналитически я понимаю: нужно решить систему уравнений с использованием условия трансверсальности и граничных условий. Кстати, если я нигде не ошиблась, аналитическим методом выходит следующее решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3-x^3$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3-2x-x^3$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=0$ (это решение ведь не нужно выписывать?) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3+4x-x^3$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=2$ . Вопрос: как решить задачу численно? Миниатюры 0