Докажите, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшая площадь у равностороннего треугольника

Докажите, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшая площадь у равностороннего треугольника

0

1. Доказываешь, что класс поиска можно сузить до равнобедренных треугольников. То есть, что для любой хорды заданной окружности именно равнобедренный треугольник, на ней построенный, будет иметь максимальную площадь. Это простое утверждение, которое можно доказать, не используя средства анализа, только школьную алгебру.

2. Доказываешь, что на множестве равнобедренных треугольников оптимальным является треугольник с определенным отношением между длиной основания и радиусом окружности. Выражаешь высоту как функцию основания и радиуса, дифференциируешь функцию площади по основанию и находишь экстремумы. Один из них - искомый.

Если параметр в формуле напрягает, можно взять единичную окружность, а потом рассуждать про подобия окружностей и равносторонних треугольников...

3. Доказываешь, что найденное отношение между длиной основания и радиусом описанной окружности характеризует именно равносторонний треугольник и никакой другой.

Если данный путь видится слишком простым, то доказываешь оптимальность для правильного плоского n-угольника, чтобы потом заявить, что правильный треугольник - частный случай. Но это сложнее...

И еще есть некоторые способы...

0

Сообщение от Shplint 1. Доказываешь, что класс поиска можно сузить до равнобедренных треугольников. То есть, что для любой хорды заданной окружности именно равнобедренный треугольник, на ней построенный, будет иметь максимальную площадь. Это простое утверждение, которое можно доказать, не используя средства анализа, только школьную алгебру.

Даже не алгебру, а геометрию.
Но, ИМХО, на этом доказательство почти закончено. Предположим, что оптимальный треугольник АВС не равносторонний. Пусть АВ не равно ВС. Рассматриваем хорду АС и видим, что можно построить треугольник большей площади. Противоречие, благополучно завершающее доказательство.

0

Сообщение от Shplint Доказываешь, что класс поиска можно сузить

Не прошло и трех лет, как вот оно - решение. Правда, как сузить до равнобедренных треугольников - не понял.

Сообщение от Байт видим, что можно построить треугольник большей площади

Это как?

Ну вот и мои 5 копеек в решение задачи. Если АВС - наш треугольник, О - центр окружности, считаем радиуса 1, то площадь АВС равна f(x,y,z)=sin x+sin y + sin z, где x,y,z углы АОВ, АОС, ВОС. Теперь ищем условный экстремум f, x+y+z=360^o. Метод Лагранжа молниеносно дает ответ x=y=z=120^o.

0

Сообщение от kabenyuk Не прошло и трех лет, как вот оно - решение

Ну дык подумать же надо было!

Сообщение от kabenyuk как сузить до равнобедренных треугольников - не понял

Ну вот представь себе: зафиксировали одну сторону. У какого треугольника максимальная высота?

1

Сообщение от kabenyuk Метод Лагранжа

Ну вот... Задачка для 6-го класса, а вы - метод Лагранжа...
А теорему Пуанкаре никак нельзя применить?

0

Сообщение от iifat У какого треугольника максимальная высота?

Точно.

Сообщение от Байт Ну вот... Задачка для 6-го класса, а вы - метод Лагранжа...

А где ж еще его применять? К тому же метод Лагранжа годится еще и для произвольных вписанных n-угольников.

0