Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через заданную точку

@scarlett1806 · Регистрация: 04.12.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите хотябы формулами))
Дана окружность (координаты центра и радиус) и точка. Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через данную точку..pas

@Ray_Array · 04.12.2014, 22:56

Завтра Вера тебе решит. )

@jogano · 04.12.2014, 23:18

Пусть дана окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-x_0 \right)^2+\left(y-y_0 \right)^2=R^2$ и точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_1;y_1 \right)$ , через которую проходят касательные.
Пусть искомый угловой коэффициент касательной равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ ,а уравнение касательной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-x_1 \right)+y_1$ . Запишем условие того, что расстояние от центра окружности до касательной равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left|k\left(x_0-x_1 \right)+y_1-y_0 \right|}{sqrt{1+k^2}}=R$ , откуда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ .
Решая квадратное уравнение, получаем такие варианты:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=-\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=-R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|x_0-x_1 \right|\neq R$ . Тогда есть две невертикальные касательные с угловыми коэффициентами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(x_1-x_0 \right)\left(y_1-y_0 \right)\pm \sqrt{\left(x_1-x_0 \right)^2+\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}}{\left(x_1-x_0 \right)^2-R^2}$
Если подкоренное выражение не больше 0, то точка внутри окружности, и касательных нет. Если подкоренное выражение равно 0, то точка лежит на окружности и касательная одна.

@scarlett1806 · 05.12.2014, 01:06 **[ТС]**

Спасибо огромное)))

@Фортунатов · 08.07.2018, 15:54

Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам.

Добавлено через 1 минуту
jogano, jogano, Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам.

@jogano · 08.07.2018, 16:32

Фортунатов, вы правы. В последней формуле перед радикалом нужен ещё множитель R.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@scarlett1806 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 21

	Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через заданную точку 04.12.2014, 20:04. Показов 16713. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите хотябы формулами)) Дана окружность (координаты центра и радиус) и точка. Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через данную точку..pas 0

@Ray_Array 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 18
	04.12.2014, 22:56
	Завтра Вера тебе решит. ) 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	04.12.2014, 23:18
	Пусть дана окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-x_0 \right)^2+\left(y-y_0 \right)^2=R^2$ и точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_1;y_1 \right)$ , через которую проходят касательные. Пусть искомый угловой коэффициент касательной равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ ,а уравнение касательной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-x_1 \right)+y_1$ . Запишем условие того, что расстояние от центра окружности до касательной равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left\|k\left(x_0-x_1 \right)+y_1-y_0 \right\|}{sqrt{1+k^2}}=R$ , откуда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ . Решая квадратное уравнение, получаем такие варианты: 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=-\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=-R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$ 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|x_0-x_1 \right\|\neq R$ . Тогда есть две невертикальные касательные с угловыми коэффициентами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(x_1-x_0 \right)\left(y_1-y_0 \right)\pm \sqrt{\left(x_1-x_0 \right)^2+\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}}{\left(x_1-x_0 \right)^2-R^2}$ Если подкоренное выражение не больше 0, то точка внутри окружности, и касательных нет. Если подкоренное выражение равно 0, то точка лежит на окружности и касательная одна. 1

@scarlett1806 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 21
	05.12.2014, 01:06 [ТС]
	Спасибо огромное))) 0

@Фортунатов 3 / 3 / 2 Регистрация: 11.04.2018 Сообщений: 38
	08.07.2018, 15:54
	Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам. Добавлено через 1 минуту jogano, jogano, Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.07.2018, 16:32
	Фортунатов, вы правы. В последней формуле перед радикалом нужен ещё множитель R. 1