Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через заданную точку

@scarlett1806 · Регистрация: 04.12.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите хотябы формулами))
Дана окружность (координаты центра и радиус) и точка. Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через данную точку..pas

@Ray_Array · 04.12.2014, 22:56

Завтра Вера тебе решит. )

@jogano · 04.12.2014, 23:18

Пусть дана окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-x_0 \right)^2+\left(y-y_0 \right)^2=R^2$ и точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_1;y_1 \right)$ , через которую проходят касательные.
Пусть искомый угловой коэффициент касательной равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ ,а уравнение касательной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-x_1 \right)+y_1$ . Запишем условие того, что расстояние от центра окружности до касательной равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left|k\left(x_0-x_1 \right)+y_1-y_0 \right|}{sqrt{1+k^2}}=R$ , откуда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ .
Решая квадратное уравнение, получаем такие варианты:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=-\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=-R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|x_0-x_1 \right|\neq R$ . Тогда есть две невертикальные касательные с угловыми коэффициентами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(x_1-x_0 \right)\left(y_1-y_0 \right)\pm \sqrt{\left(x_1-x_0 \right)^2+\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}}{\left(x_1-x_0 \right)^2-R^2}$
Если подкоренное выражение не больше 0, то точка внутри окружности, и касательных нет. Если подкоренное выражение равно 0, то точка лежит на окружности и касательная одна.

@scarlett1806 · 05.12.2014, 01:06 **[ТС]**

Спасибо огромное)))

@Фортунатов · 08.07.2018, 15:54

Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам.

Добавлено через 1 минуту
jogano, jogano, Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам.

@jogano · 08.07.2018, 16:32

Фортунатов, вы правы. В последней формуле перед радикалом нужен ещё множитель R.

@scarlett1806 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 21
		1
	Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через заданную точку 04.12.2014, 20:04. Показов 15213. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите хотябы формулами)) Дана окружность (координаты центра и радиус) и точка. Найти уравнение касательных к данной окружности проходящих через данную точку..pas 0

@Ray_Array 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 18
	04.12.2014, 22:56	2
	Завтра Вера тебе решит. ) 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	04.12.2014, 23:18	3
	Пусть дана окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-x_0 \right)^2+\left(y-y_0 \right)^2=R^2$ и точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_1;y_1 \right)$ , через которую проходят касательные. Пусть искомый угловой коэффициент касательной равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ ,а уравнение касательной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-x_1 \right)+y_1$ . Запишем условие того, что расстояние от центра окружности до касательной равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left\|k\left(x_0-x_1 \right)+y_1-y_0 \right\|}{sqrt{1+k^2}}=R$ , откуда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ . Решая квадратное уравнение, получаем такие варианты: 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=-\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0-x_1=-R$ . Тогда одна касательная вертикальная ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-x_1=0$ ), а угловой коэффициент другой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}{2R\left(y_1-y_0 \right)}$ 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|x_0-x_1 \right\|\neq R$ . Тогда есть две невертикальные касательные с угловыми коэффициентами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{\left(x_1-x_0 \right)\left(y_1-y_0 \right)\pm \sqrt{\left(x_1-x_0 \right)^2+\left(y_1-y_0 \right)^2-R^2}}{\left(x_1-x_0 \right)^2-R^2}$ Если подкоренное выражение не больше 0, то точка внутри окружности, и касательных нет. Если подкоренное выражение равно 0, то точка лежит на окружности и касательная одна. 1

@scarlett1806 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.12.2014 Сообщений: 21
	05.12.2014, 01:06 [ТС]	4
	Спасибо огромное))) 0

@Фортунатов 3 / 3 / 2 Регистрация: 11.04.2018 Сообщений: 38
	08.07.2018, 15:54	5
	Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам. Добавлено через 1 минуту jogano, jogano, Похоже, что-то напутали Вы с формулами. Угловые коэффициенты получаются неверные по Вашим формулам. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.07.2018, 16:32	6
	Фортунатов, вы правы. В последней формуле перед радикалом нужен ещё множитель R. 1