Вычисление интеграла, использующее начальные значения разбиений

@Maks Smirnov · Регистрация: 02.12.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Объясните, пожалуйста, как вычислить интеграл, используя начальные значения разбиений? В подавляющем большинстве примеров в интернете я увидел, что общее количество разбиений известно, в отличии от моего случая.

Задание: Вычислить значение определенного интеграла от выбранной подынтегральной функции и заданных с клавиатуры интервала интегрирования, точности и двух значений начальных разбиений. Например, методом левых прямоугольников.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Int = h\sum_{i = 0}^{n - 1}y_i ,\ \ \ h = \frac{b - a}{n}$

Если более конкретно, то мне не понятно, как связать начальные значения разбиений и общее количество разбиений.

@FFPowerMan · 31.10.2021, 13:48

Здравствуйте. Метод левых прямоугольников - площадь делится на прямоугольники и при этом левый верхний угол касается заданного графика функции.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 13:54 **[ТС]**

FFPowerMan, то что Вы написали, я понимаю. Я не понимаю как связать начальные значения разбиений и общее количество разбиений.

@FFPowerMan · 31.10.2021, 13:59

Начальное количество разбиений n = 2, и считаем интеграл - это 1 итерация, потом умножаем n на 2 и делаем так итерации пока не будет достигнута необходимая точность эпсилон.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 16:04 **[ТС]**

FFPowerMan, сейчас код исправил, но все равно результата нет... Подскажите, пожалуйста, что нужно еще исправить?

Сейчас проблема в том, что если вводимые данные такие: a = 0.5, b = 5.2, e = 0.001, n1 = 2, n2 = 3, то в выводе получается: "0.58750; 20.46850; 0.39167; 7.30502; 32.12627;". То есть цикл является бесконечным, следовательно программа не заканчивается.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
 
var i, n1, n2: integer;
     a, b, h1, h2, e, int1, int2: double;
 function f(x: double): double;
 begin
  f := sqr(x);
 end;
 begin
  write('a = '); readln(a);
  write('b = '); readln(b);
  write('e = '); readln(e);
  write('n1 = '); readln(n1);
  write('n2 = '); readln(n2);
  h1 := (b - a) / n1;
  h2 := (b - a) / n2;
  int1 := 0;
  for i := 0 to n1 - 1 do
  begin
   int1 := h1 * (int1 + f(a + i * h1));
   write(int1 : 0 : 5, '; ');
  end;
  int2 := 0;
  for i := 0 to n2 - 1 do
  begin
   int2 := h2 * (int2 + f(a + i * h2));
   write(int2 : 0 : 5, '; ');
  end;
  while (abs(int1 - int2) > e) do
  begin
   n1 := n1 + 1;
   int1 := int1 + h1 * f(a + (n1 - 1) * h1);
   n2 := n2 + 1;
   int2 := int2 + h2 * f(a + (n2 - 1) * h2);
  end;
  write(int1 : 0 : 5, '; ', int2 : 0 : 5);
  readln;
 end.

@FFPowerMan · 31.10.2021, 16:15

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Program Int;
var i, n1, n2: integer;
    a, b, h1, h2, e, int1, int2, x: double;
 
 function f(x: double): double;
 begin
  f := sqr(x);
 end;
 
 begin
  {
  write('a = '); readln(a);
  write('b = '); readln(b);
  write('e = '); readln(e);
  write('n1 = '); readln(n1);
  write('n2 = '); readln(n2);
  }
  a := 2;
  b := 3;
  e := 0.001;
  n1 := 12;
  n2 := 100;
 
  h1 := (b - a)/n1;
  h2 := (b - a)/n2;
  writeln('h1 = ', h1);
  writeln('h2 = ', h2);
 
  int1 := 2;
  int2 := 0;
  while(abs(int1 - int2) > e) do
  begin
   for i := 0 to n1 - 1 do
    int1 := int1 + f(a + i*h1);
 
   for i := 0 to n2 - 1 do
    int2 := int2 + f(a + i*h2);
 
   writeln(h1*int1:10:5, '; ', h2*int2:10:5);
   readln;
  end;
 
 
  //writeln(h1*int1:10:5, '; ', h2*int2:10:5);
  //readln;
 end.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Maks Smirnov

"0.58750; 20.46850; 0.39167; 7.30502; 32.12627;".

- строку-то переносить надо writeln.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 16:28 **[ТС]**

FFPowerMan, я написал в своей программе,

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
int1 := 0;
  for i := 0 to n1 - 1 do
  begin
   int1 := h1 * (int1 + f(a + i * h1));
   write(int1 : 0 : 5, '; ');
  end;
  int2 := 0;
  for i := 0 to n2 - 1 do
  begin
   int2 := h2 * (int2 + f(a + i * h2));
   write(int2 : 0 : 5, '; ');
  end;

так как пользователь вводит значения начальных разбиений.

Объясните, пожалуйста, почему Вы написали так:

Сообщение от FFPowerMan

int1 := 2; int2 := 0;

?

Значение начального разбиения - начальное значение интеграла?

@FFPowerMan · 31.10.2021, 16:35

Чтобы цикл сработал у Вас не входил в цикл потому что 0 - 0 < eps.
Короче вот так:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Program Int;
var i, n1, n2: integer;
    a, b, h1, h2, e, int1, int2, x: double;
 
 function f(x: double): double;
 begin
  f := sqr(x);
 end;
 
 begin
  {
  write('a = '); readln(a);
  write('b = '); readln(b);
  write('e = '); readln(e);
  write('n1 = '); readln(n1);
  write('n2 = '); readln(n2);
  }
  a := 2;
  b := 3;
  e := 0.001;
  n1 := 2;
  n2 := 4;
 
  writeln('h1 = ', h1);
  writeln('h2 = ', h2);
 
  int1 := 2;
  int2 := 0;
  while(abs(int1 - int2) > e) do
  begin
    h1 := (b - a)/n1;
    h2 := (b - a)/n2;
    int1 := 0;
    for i := 0 to n1 - 1 do
      int1 := int1 + f(a + i*h1);
    int1 := int1*h1;
 
    int2 := 0;
    for i := 0 to n2 - 1 do
      int2 := int2 + f(a + i*h2);
    int2 := int2*h2;
 
    writeln(int1:10:5, '; ', int2:10:5);
    n1 := n2;
    n2 := n2*2;
  end;
 
 
  writeln(int1:10:5, '; ', int2:10:5);
  readln;
 end.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Maks Smirnov

Pascal
1
int2:0

- здесь не 0, это ширина поля.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 16:39 **[ТС]**

FFPowerMan, почему 0 - 0, если получается 32.12627 - 20.46850?

Сообщение от Maks Smirnov

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
  int1 := 0;
  for i := 0 to n1 - 1 do
  begin
   int1 := h1 * (int1 + f(a + i * h1));
   write(int1 : 0 : 5, '; ');
  end;
  int2 := 0;
  for i := 0 to n2 - 1 do
  begin
   int2 := h2 * (int2 + f(a + i * h2));
   write(int2 : 0 : 5, '; ');
  end;

Сообщение от Maks Smirnov

"0.58750; 20.46850; 0.39167; 7.30502; 32.12627;"

@FFPowerMan · 31.10.2021, 16:42

Сообщение от Maks Smirnov

почему 0 - 0, если получается 32.12627 - 20.46850?

- в первоначальной версии кода так не получалось, а получалось 0 - 0 < eps, а по условию должно быть > 0 и поэтому проходит цикл.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 16:48 **[ТС]**

FFPowerMan, в последней моей версии кода, что неправильно в данном фрагменте?

Сообщение от Maks Smirnov

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
int1 := 0;
  for i := 0 to n1 - 1 do
  begin
   int1 := h1 * (int1 + f(a + i * h1));
   write(int1 : 0 : 5, '; ');
  end;
  int2 := 0;
  for i := 0 to n2 - 1 do
  begin
   int2 := h2 * (int2 + f(a + i * h2));
   write(int2 : 0 : 5, '; ');
  end;

@FFPowerMan · 31.10.2021, 16:52

Я указал на недостатки, читаем мой код и исправляем ошибки.
В Вашем коде:
не надо каждый раз умножать на h1, оно вынесено за скобки и также write не надо выводить на каждой итерации, здесь не надо, writeln потом;
по поводу 0, что это ширина поля я уже сказал;
все тоже самое для второй части.

Добавлено через 35 секунд
Не забываем про тэги кода [PASCAL][/PASCAL].

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 19:05 **[ТС]**

FFPowerMan, скажите, пожалуйста, что у меня неправильно в приведенном ниже коде? Я полагаю, что шаг, так как я изменяю в цикле n, от которого обратно пропорционально зависит h.

Я так и не понял, значение начального разбиения это начальное значение переменной int1_1 или количество разбиений - n?

(В условии написано - начальные разбиения, так как в результате надо вывести таблицу со строками n1 и n2. Поэтому исправленный код сделал относительно n1.)

Сообщение от Maks Smirnov

Задание: Вычислить значение определенного интеграла от выбранной подынтегральной функции и заданных с клавиатуры интервала интегрирования, точности и двух значений начальных разбиений. Например, методом левых прямоугольников.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
program Project1;
var n1: integer;
a, b, h1, e, int1_1, int1_2, x1: double;
function f(x: double): double;
begin
f := sqrt(x);
end;
begin
write('a = '); readln(a);
write('b = '); readln(b);
write('e = '); readln(e);
write('n1 = '); readln(n1);
h1 := (b - a) / n1;
x1 := a + (n1 - 1) * h1;
int1_1 := h1 * f(x1);
x1 := x1 + h1;
int1_2 := h1 * f(x1);
while (abs(int1_1 - int1_2) > e) do
begin
n1 := n1 + 1;
int1_1 := int1_2;
x1 := x1 + h1;
int1_2 := int1_2 + h1 * f(x1);
end;
write(int1_2 : 0 : 5);
readln;
end.

@FFPowerMan · 31.10.2021, 19:33

Функция теперь sqrt? Зачем менять функцию, еще больше запутаетесь.

@Maks Smirnov · 31.10.2021, 19:41 **[ТС]**

FFPowerMan, да.

@FFPowerMan · 31.10.2021, 19:43

Сообщение от Maks Smirnov

Pascal
1
(n1 - 1)

- тут не знаю, по Вашей задаче n1 = 2 в типичной форме и потом будет умножаться на 2. При n = 2 у Вас будет x1 = a + h1 - это неправильно, потому что при левых треугольниках должно быть x1 = a.
Мне кажется я правильно написал в сообщении №8, чем-то код не устраивает? Копипаст его, да и все.
2 Ваших интеграла должны в общем цикле считаться, а чтобы войти в цикл нужно просто любые 2 числа взять и присвоить int1 = 2 и int = 0, чтобы разница между ними была больше eps. Потом в цикле сразу заново их пересчитаете, да и все.

@Maks Smirnov · 06.11.2021, 13:22 **[ТС]**

Здравствуйте!

Некоторое время назад я задавал этот вопрос на этом же форуме, но собеседник не понял того, что мне не понятно, поэтому задаю вопрос второй раз.

Есть такое задание: Вычислить значение определенного интеграла от выбранной подынтегральной функции и заданных с клавиатуры интервала интегрирования, точности и значения начального разбиения методом левых прямоугольников.

Объясните, пожалуйста, чем является начальное разбиение? (например, начальным значением int или n)

В интернете я нашел много примеров, где дается значение разбиения как константа, а не значение, которое вводит пользователь и которое судя по всему может изменяться.

Вот формулы для этого метода: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Int = h*\sum_{i = 0}^{n - 1}yi$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{b - a}{n}$ .

@bormant · 06.11.2021, 13:47

Maks Smirnov,
см. сообщение #4 темы. В нем приведен ответ на ваш вопрос.

@Maks Smirnov · 06.11.2021, 13:53 **[ТС]**

bormant, прочитайте, пожалуйста условие моей задачи с начала до конца, тогда Вы увидите, что там написано, что:

Сообщение от Maks Smirnov

заданных с клавиатуры

Сообщение от Maks Smirnov

значения начального разбиения

. Именно поэтому у меня возникла проблема. Другими словами, ответа на свою проблему я не получил.

bormant, восстановите, пожалуйста, тему, которую я создал сегодня, чтобы другие пользователи ее тоже увидели и возможно помогли мне в решении проблемы.

@bormant · 06.11.2021, 14:15

Сообщение от Maks Smirnov

заданных с клавиатуры

Pascal
1
2
3
  repeat
    Write('Начальное количество разбиений: '); ReadLn(n);
  until n>1;

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Maks Smirnov

ответа на свою проблему я не получил

Исчерпывающий ответ вы получили в сообщении #4. Некие дополнительные подробности -- в сообщениях ниже.
Но, судя по всему, его -- ответа -- пока еще не поняли. Но не все еще потеряно, поверьте.

Добавлено через 6 минут
PS. Если интересны другие варианты вычисления интеграла, можно посмотреть там (левые, правые, центральные, прямоугольники, трапеция, Монте-Карло):
https://www.cyberforum.ru/post10226890.html

Вот там в функциях
function Int*(a, b: Real; n: Word; f: TFunc): Real; --
a и b -- пределы интегрирования,
f -- интегрируемая функция,
n -- то самое количество разбиений, используемое при приближенном вычислении интеграла.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Перемещение выделенных строк ТЧ из одного документа в другой Maks 30.03.2026 Реализация из решения ниже выполнена на примере нетипового документа "ВыдачаОборудованияНаСпецтехнику" с единственной табличной частью "ОборудованиеИКомплектующие" разработанного в конфигурации КА2. . . .	Functional First Web Framework Suave DevAlt 30.03.2026 Sauve. IO Апнулись до NET10. Из зависимостей один пакет, работает одинаково хорошо как в режиме проекта так и в интерактивном режиме. из сложностей - чисто функциональный подход. Решил. . .	Автоматическое создание документа при проведении другого документа Maks 29.03.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповых документах, разработанных в конфигурации КА2. Есть нетиповой документ "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" и нетиповой документ "ПланированиеСпецтехники". В. . .	Настройка движения справочника по регистру сведений Maks 29.03.2026 Решение ниже реализовано на примере нетипового справочника "ТарифыМобильнойСвязи" разработанного в конфигурации КА2, с целью учета корпоративной мобильной связи в коммерческом предприятии. . . .
Автозаполнение реквизита при выборе элемента справочника Maks 27.03.2026 Программный код из решения ниже на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. При выборе "Спецтехники" (Тип Справочник. Спецтехника), заполняется. . .	Сумматор с применением элементов трёх состояний. Hrethgir 26.03.2026 Тут. https:/ / fips. ru/ EGD/ ab3c85c8-836d-4866-871b-c2f0c5d77fbc Первый документ красиво выглядит, но без схемы. Это конечно не даёт никаких плюсов автору, но тем не менее. . . всё может быть. . .	Автозаполнение реквизитов при создании документа Maks 26.03.2026 Программный код из решения ниже размещается в модуле объекта документа, в процедуре "ПриСозданииНаСервере". Алгоритм проверки заполнения реализован для исключения перезаписи значения реквизита,. . .	Команды формы и диалоговое окно Maks 26.03.2026 1. Команда формы "ЗаполнитьЗапчасти". Программный код из решения ниже на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. В качестве источника данных. . .

@Maks Smirnov 0 / 0 / 0 Регистрация: 02.12.2020 Сообщений: 135

	Вычисление интеграла, использующее начальные значения разбиений 31.10.2021, 13:36. Показов 2620. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, как вычислить интеграл, используя начальные значения разбиений? В подавляющем большинстве примеров в интернете я увидел, что общее количество разбиений известно, в отличии от моего случая. Задание: Вычислить значение определенного интеграла от выбранной подынтегральной функции и заданных с клавиатуры интервала интегрирования, точности и двух значений начальных разбиений. Например, методом левых прямоугольников. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Int = h\sum_{i = 0}^{n - 1}y_i ,\ \ \ h = \frac{b - a}{n}$ Если более конкретно, то мне не понятно, как связать начальные значения разбиений и общее количество разбиений. 0

@FFPowerMan 2158 / 1238 / 509 Регистрация: 11.10.2018 Сообщений: 6,280
	31.10.2021, 13:48
	Здравствуйте. Метод левых прямоугольников - площадь делится на прямоугольники и при этом левый верхний угол касается заданного графика функции. Миниатюры 0

@Maks Smirnov 0 / 0 / 0 Регистрация: 02.12.2020 Сообщений: 135
	31.10.2021, 13:54 [ТС]
	FFPowerMan, то что Вы написали, я понимаю. Я не понимаю как связать начальные значения разбиений и общее количество разбиений. 0

@FFPowerMan 2158 / 1238 / 509 Регистрация: 11.10.2018 Сообщений: 6,280
	31.10.2021, 13:59
	Начальное количество разбиений n = 2, и считаем интеграл - это 1 итерация, потом умножаем n на 2 и делаем так итерации пока не будет достигнута необходимая точность эпсилон. 0

@FFPowerMan 2158 / 1238 / 509 Регистрация: 11.10.2018 Сообщений: 6,280
	31.10.2021, 16:52
	Я указал на недостатки, читаем мой код и исправляем ошибки. В Вашем коде: не надо каждый раз умножать на h1, оно вынесено за скобки и также write не надо выводить на каждой итерации, здесь не надо, writeln потом; по поводу 0, что это ширина поля я уже сказал; все тоже самое для второй части. Добавлено через 35 секунд Не забываем про тэги кода [PASCAL][/PASCAL]. 0

@FFPowerMan 2158 / 1238 / 509 Регистрация: 11.10.2018 Сообщений: 6,280
	31.10.2021, 19:33
	Функция теперь sqrt? Зачем менять функцию, еще больше запутаетесь. 0

@Maks Smirnov 0 / 0 / 0 Регистрация: 02.12.2020 Сообщений: 135
	31.10.2021, 19:41 [ТС]
	FFPowerMan, да. 0

@Maks Smirnov 0 / 0 / 0 Регистрация: 02.12.2020 Сообщений: 135
	06.11.2021, 13:22 [ТС]
	Здравствуйте! Некоторое время назад я задавал этот вопрос на этом же форуме, но собеседник не понял того, что мне не понятно, поэтому задаю вопрос второй раз. Есть такое задание: Вычислить значение определенного интеграла от выбранной подынтегральной функции и заданных с клавиатуры интервала интегрирования, точности и значения начального разбиения методом левых прямоугольников. Объясните, пожалуйста, чем является начальное разбиение? (например, начальным значением int или n) В интернете я нашел много примеров, где дается значение разбиения как константа, а не значение, которое вводит пользователь и которое судя по всему может изменяться. Вот формулы для этого метода: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Int = h*\sum_{i = 0}^{n - 1}yi$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{b - a}{n}$ . 0

@bormant Модератор 7816 / 4635 / 2837 Регистрация: 22.11.2013 Сообщений: 13,159 Записей в блоге: 1
	06.11.2021, 13:47
	Maks Smirnov, см. сообщение #4 темы. В нем приведен ответ на ваш вопрос. 0