Отделить любой действительный корень уравнения f (x) = 0 и вычислить его с точностью ε = 10−4 методом бисекций

@Dimasi · Регистрация: 28.04.2021

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Отделить любой действительный корень уравнения f(x) = 0 и вычислить его с точностью ε = 10⁻⁴ методом бисекций.

(3 + 2cosx)^-1 - x³

@Cyborg Drone · 04.03.2022, 02:16

Отделяем корень.

Представим функцию f(x) = (3 + 2cosx)^-1 - x³ в виде суммы двух функций g(x) = -x³ и q(x) = (3 + 2cosx)^-1.

Функция g(x) = -x³ убывающая, непрерывная и определена на всей действительной оси, имеет один корень при x = 0.

Функция q(x) = (3 + 2cosx)^-1 периодическая, непрерывная, положительая, определена на всей действительной оси. Минимумы функции достигаются при cosx = 1 и имеют значения 0.2, максимумы функции достигаются при cosx = -1 и имеют значения 1.

Таким образом, любое значение функции f(x) будет не более, чем на 1 превосходить значения функции g(x).

Найдём корень функции t(x) = 1 - x³. Получаем 1 = x³, следовательно, корень будет в точке x = 1.

Так как функция f(x) располагается выше функции g(x) и не выше функции t(x), то корень функции f(x) будет располагаться между корнями функций g(x) и t(x).

Следовательно, единственный корень f(x) располагается на интервале [0; 1]. Корень отделён.

Пишем программу.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
function f(x: real): real := (3 + 2 * cos(x)) ** -1 - x ** 3;
begin
  var (a, b) := (0.0, 1.0);
  var x: real;
  repeat
    x := (a + b) / 2;
    if f(a) * f(x) > 0 then a := x else b := x
  until b - a < 1e-4;
  writeln('x = ', (a + b) / 2 :0:5)
end.

@Sun Serega · 04.03.2022, 08:27

В этой задаче не важно, потому что нужен любой корень, но:

Сообщение от Cyborg Drone

Следовательно, единственный корень

Как вы поняли что он единственный?
В случае более частой q(x), к примеру $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.1 \cos (100 x)$ , это не так: https://www.desmos.com/calculator/z1gzlvmocy
q(x) из задачи тоже возрастает на нужном нам интервале, только не достаточно быстро.

@Cyborg Drone · 04.03.2022, 12:55

Sun Serega, только ради Вас.

Я привёл упрощённое решение, поскольку нужно отделить корень, а не исследовать функцию полностью.

Мои упрощённые рассуждения:

Вне промежутка [0;1] знак функции f(x) очевиден для любого x, потому что q(x) всюду положительна и не больше 1. Исходя из монотонности g(x) и q(x) на промежутке [0;π] и из скоростей их роста на этом промежутке, следует, что на этом промежутке до предполагаемого корня q(x) всюду больше, чем -g(x), а после предполагаемого корня q(x) всюду меньше, чем -g(x). Иными словами, q(x) и -g(x) пересекаются только в одной точке. Из всего этого получается, что до предполагаемого корня функция f(x) всюду положительна, после предполагаемого корня - всюду отрицательна. Дополнитльно, в области предполагаемого корня f(x) скорость роста q(x) значительно меньше, чем скорость роста -g(x), поэтому в районе предполагаемого корня f(x) экстремумов нет.

Ну да ладно, давайте посмотим, что там и как на самом деле.

Первая роизводная

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f^'(x)=\left(1/(3+2cosx)-x^3\right)^'=\frac{2\sin x}{(2 \cos x+3)^2}- 3x^2<br />$

достаточно сложна для точного анализа, ввиду сложности нахождения точного значения её второго нуля .

Сначала "на пальцах".

Рассмотрим, например, промежуток [-1;1]. Вне этого промежутка второе слагаемое первой производной гарантированно всюду меньше, чем первое слагаемое, поэтому вне упомянутого промежутка экстремумов нет. На промежутке [-1;0) оба слагаемых отрицательны, поэтому и на [-1;0) экстремумов нет. На промежутке [0;1] первое слагаемое монотонно возрастает, а второе слагаемое монотонно убывает. Из монотонности слагаемых следует, что на этом промежутке могут быть два экстремума, причём в данном случае сначала будет локальный минимум, а потом - локальный максимум. Они там и есть. Минимум очевиден, он будет при x=0. Максимум будет при некотором x>0, и значение f(x) в точке максимума обязательно будет больше значения в точке минимума. Учитывая то, что значение f(0) положительно, и f(1) отрицательно, приходим к выводу, что корень находится на промежутке [0;1]

Теперь "не на пальцах", но всё равно упрощённо, потому что исследовать f'(x) чисто аналитически так себе удовольствие.

Первая производная равна 0 в точках x₁=0 и x₂=0.02607. На промежутках (-∞;x₁) и (x₂;+∞) производная отрицательна, на этих промежутках функция f(x) монотонно убывает, на промежутке (x₁;x₂) производная положительна, на этом промежутке функция f(x) монотонно возрастает. Тогда функция f(x) в точке x₁ имеет локальный минимум f(0)=0.2, а в точке x₂ - локальный максимум f(0.02607)=0.20001. Значения минимума и максимума f(x) больше нуля, следовательно, и на промежутке (-∞;x₂) функция f(x) больше нуля. На промежутке (x₂;+∞), функция f(x) монотонно убывает (верьте мне, люди!), причём в точке x₂ значение f(x₂) положительно, а в точке x=1 значение функции f(1) отрицательно. Следовательно, f(x) имеет единственный корень на уточнёном промежутке [x₂;1], и, естественно, на ранее найденном промежутке [0;1] - тоже.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Ниже машинный перевод статьи The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы,. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .
От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .

@Dimasi 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.04.2021 Сообщений: 18

	Отделить любой действительный корень уравнения f (x) = 0 и вычислить его с точностью ε = 10−4 методом бисекций 02.03.2022, 12:06. Показов 646. Ответов 3 Метки pascal, Pascal (Паскаль), pascal abc (Все метки) Отделить любой действительный корень уравнения f(x) = 0 и вычислить его с точностью ε = 10⁻⁴ методом бисекций. (3 + 2cosx)^-1 - x³ 0

@Cyborg Drone Модератор 10373 / 5659 / 3398 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,286
	04.03.2022, 12:55
	Sun Serega, только ради Вас. Я привёл упрощённое решение, поскольку нужно отделить корень, а не исследовать функцию полностью. Мои упрощённые рассуждения: Вне промежутка [0;1] знак функции f(x) очевиден для любого x, потому что q(x) всюду положительна и не больше 1. Исходя из монотонности g(x) и q(x) на промежутке [0;π] и из скоростей их роста на этом промежутке, следует, что на этом промежутке до предполагаемого корня q(x) всюду больше, чем -g(x), а после предполагаемого корня q(x) всюду меньше, чем -g(x). Иными словами, q(x) и -g(x) пересекаются только в одной точке. Из всего этого получается, что до предполагаемого корня функция f(x) всюду положительна, после предполагаемого корня - всюду отрицательна. Дополнитльно, в области предполагаемого корня f(x) скорость роста q(x) значительно меньше, чем скорость роста -g(x), поэтому в районе предполагаемого корня f(x) экстремумов нет. Ну да ладно, давайте посмотим, что там и как на самом деле. Первая роизводная $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f^'(x)=\left(1/(3+2cosx)-x^3\right)^'=\frac{2\sin x}{(2 \cos x+3)^2}- 3x^2<br />$ достаточно сложна для точного анализа, ввиду сложности нахождения точного значения её второго нуля . Сначала "на пальцах". Рассмотрим, например, промежуток [-1;1]. Вне этого промежутка второе слагаемое первой производной гарантированно всюду меньше, чем первое слагаемое, поэтому вне упомянутого промежутка экстремумов нет. На промежутке [-1;0) оба слагаемых отрицательны, поэтому и на [-1;0) экстремумов нет. На промежутке [0;1] первое слагаемое монотонно возрастает, а второе слагаемое монотонно убывает. Из монотонности слагаемых следует, что на этом промежутке могут быть два экстремума, причём в данном случае сначала будет локальный минимум, а потом - локальный максимум. Они там и есть. Минимум очевиден, он будет при x=0. Максимум будет при некотором x>0, и значение f(x) в точке максимума обязательно будет больше значения в точке минимума. Учитывая то, что значение f(0) положительно, и f(1) отрицательно, приходим к выводу, что корень находится на промежутке [0;1] Теперь "не на пальцах", но всё равно упрощённо, потому что исследовать f'(x) чисто аналитически так себе удовольствие. Первая производная равна 0 в точках x₁=0 и x₂=0.02607. На промежутках (-∞;x₁) и (x₂;+∞) производная отрицательна, на этих промежутках функция f(x) монотонно убывает, на промежутке (x₁;x₂) производная положительна, на этом промежутке функция f(x) монотонно возрастает. Тогда функция f(x) в точке x₁ имеет локальный минимум f(0)=0.2, а в точке x₂ - локальный максимум f(0.02607)=0.20001. Значения минимума и максимума f(x) больше нуля, следовательно, и на промежутке (-∞;x₂) функция f(x) больше нуля. На промежутке (x₂;+∞), функция f(x) монотонно убывает (верьте мне, люди!), причём в точке x₂ значение f(x₂) положительно, а в точке x=1 значение функции f(1) отрицательно. Следовательно, f(x) имеет единственный корень на уточнёном промежутке [x₂;1], и, естественно, на ранее найденном промежутке [0;1] - тоже. 1