Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью

@BaldingApple · Регистрация: 14.11.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью E (0<E<1), используя рекуррентную формулу

@Cyborg Drone · 19.11.2022, 14:06

Немного преобразуем Ваш ряд:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{x+\cos (ix)}{2^i}=x\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}+\sum_{i=1}^{\infty }\frac{\cos (ix)}{2^i}=x+\sum_{i=1}^{\infty }\frac{\cos (ix)}{2^i} $

Пояснение: первая сумма - это сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом b₁=0.5 и знаменателем прогрессии q=0.5, и по формуле для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{b_1}{1-q}=\frac{0.5}{1-0.5}=\frac{0.5}{0.5}=1 $

Достаточно найти рекуррентное соотношение для слагаемых второй суммы. Рекуррентное соотношение для всего слагаемого целиком получается слишком громоздким, поэтому представим слагаемые второй суммы в виде произведения:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=1}^{\infty }\frac{\cos (ix)}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2^i}\cos (ix)\right)=\sum_{i=1}^{\infty }\left( a_i\cdot \cos(ix)\right) $

Найдём рекуррентное соотношение для a_i

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \boxed{a_1=\frac{1}{2^1}=0.5};\ \ a_i=\frac{1}{2^i};\ \ a_{i-1}=\frac{1}{2^{i-1}}; $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_i}{a_{i-1}}=\frac{\frac{1}{2^i}}{\frac{1}{2^{i-1}}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow \ \boxed{a_i=\frac{a_{i-1}}{2}} $

a₁ известно, a_i выражено через a_i-1. Рекуррентное соотношение найдено.

Найдём критерий окончания вычисления второй суммы.

Сумма является знакопеременным рядом, поэтому можно применить критерий окончания вычислений по признаку Лейбница для знакопеременных рядов. Только сделать этого не получится: модули слагаемых суммы убывают не монотонно, поэтому вполне возможна ситуация, когда модуль очередного слагаемого меньше точности вычислений, но среди последующих слагаемых найдутся слагаемые, модуль которых больше точности вычислений, и, если прекратить вычисления тогда, когда найдено слагаемое, модуль которого меньше точности вычислений, то сумма будет посчитана недостаточно точно.

Применим признак сравнения. Так как |cos(ix)| ≤ 1, то для любого i ≥ 1 верно неравенство

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\cos(ix)}{2^i}\leq \frac{\left| \cos(ix)\right|}{2^i}\leq \frac{1}{2^i} $

и поэтому верно неравенство для сумм

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=1}^{\infty }\frac{\cos(ix)}{2^i}\leq \sum_{i=1}^{\infty }\frac{\left| \cos(ix)\right|}{2^i}\leq \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i} $

а также для k-ых остатков сумм:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=k}^{\infty }\frac{\cos(ix)}{2^i}\leq \sum_{i=k}^{\infty }\frac{1}{2^i} $

последняя сумма - опять всё та же сумма бесконечной убывающей прогрессии (совершенно случайно совпала с суммой, упомянутой выше), c первым членом b₁=1/2^k и знаменателем прогрессии q=1/2, и она равна

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=k}^{\infty }\frac{1}{2^i}=\frac{\frac{1}{2^k}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2^k}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{k-1}}=a_{k-1} $

тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=k}^{\infty }\frac{\cos(ix)}{2^i}\leq a_{k-1}$

и критерий окончания вычислений будет

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \boxed{a_{i-1}\leq \varepsilon } $

иными словами, как только ко второй сумме будет добавлено слагаемое с a_i ≤ ε, требуемая точность вычислений будет достигнута, и вычисление суммы можно прекращать.

Пишем программу.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
var
  i: integer;
  x, a, s, eps: real;
begin
  write('x = ');
  readln(x);
  repeat
    write('0 < eps < 1;  eps = ');
    readln(eps)
  until (0 < eps) and (eps < 1);
  i := 0;
  s := x;
  a := 1;
  repeat
    inc(i);
    a := a / 2;
    s := s + a * cos(i * x)
  until a <= eps;
  writeln('s = ', s);
  readln
end.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Установка Qt Creator для C и C++: ставим среду, CMake и MinGW без фреймворка Qt 8Observer8 05.04.2026 Среду разработки Qt Creator можно установить без фреймворка Qt. Есть отдельный репозиторий для этой среды: https:/ / github. com/ qt-creator/ qt-creator, где можно скачать установщик, на вкладке Releases:. . .	AkelPad-скрипты, структуры, и немного лирики.. testuser2 05.04.2026 Такая программа, как AkelPad существует уже давно, и также давно существуют скрипты под нее. Тем не менее, прога живет, периодически что-то не спеша дополняется, улучшается. Что меня в первую очередь. . .	Отображение реквизитов в документе по условию и контроль их заполнения Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеСпецтехники", разработанного в конфигурации КА2. Данный документ берёт данные из другого нетипового документа. . .	Фото всей Земли с борта корабля Orion миссии Artemis II kumehtar 04.04.2026 Это первое подобное фото сделанное человеком за 50 лет. Снимок называют новым вариантом легендарной фотографии «The Blue Marble» 1972 года, сделанной с борта корабля «Аполлон-17». Новое фото. . .
Вывод диалогового окна перед закрытием, если документ не проведён Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать программный контроль на предмет проведения документа. . .	Программный контроль заполнения реквизитов табличной части документа Maks 02.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: 1. Реализовать контроль заполнения реквизита. . .	wmic не является внутренней или внешней командой Maks 02.04.2026 Решение: DISM / Online / Add-Capability / CapabilityName:WMIC~~~~ Отсюда: https:/ / winitpro. ru/ index. php/ 2025/ 02/ 14/ komanda-wmic-ne-naydena/	Программная установка даты и запрет ее изменения Maks 02.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: при создании документов установить период списания автоматически. . .

@BaldingApple 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.11.2022 Сообщений: 3

	Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью 16.11.2022, 07:02. Показов 465. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью E (0<E<1), используя рекуррентную формулу Миниатюры 0