О распределении Пуассона

zer0mail · Регистрация: 03.07.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов. Считаем, что абоненты звонят независимо друг от друга и более-менее равномерно.
Математически это запишем так: вероятность поступление звонка в момент от t до t+dt (малый интервал, в пределе - бесконечно малый) равна dt/T.
Замечу, что dt мало по сравнению с T. Т.е если в среднем за час поступает один звонок, то за минуту 1/60. Но если брать интервал сравнимый с T (или больше), формула, естественно, работать не будет (эта формула дифференциальная, т.е. для бесконечно малого интервала). Например, есть ненулевая вероятность, что за t=2T не поступит ни одного звонка, а за 0.5T поступило 2 (или 3 или 10)...

Посчитаем вероятность, что от x=0 до t не будет звонков: P(t+dt)=P(t)·(1-dt/T).
Решая это уравнение, получаем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}$ .
Теперь посчитаем среднее время ожидания первого звонка. Вероятность, что до момента t звонка не было, а в интервале t+dt он пришел, равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}$ . Умножая эту вероятность на интервал t и беря интеграл, получим среднее время ожидания:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_0^\infty t \cdot e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}=T$ .
Оказывается, что параметр T - это среднее время ожидания события (звонка).

Важно: особенностью распределения Пуассона является то, что среднее время ожидания очередного события не зависит от того, когда наступило предыдущее событие, т.е. как скоро после предыдущего события мы начали ждать

. Если автобусы ходят "по Пуассону" в среднем через 5 минут, то нам придется ждать в среднем 5 минут, даже если мы пришли на остановку через секунду/10 минут после предыдущего автобуса.

Можно в качестве параметра использовать не T, а обратную величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda=\frac{1}{T}$ и тогда вероятность наступления события равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambd \cdot dt$ .
Если T- характеризует ожидание события (раcстояние между ними), то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ характеризует интенсивность потока событий, т.е. сколько событий происходит в единицу времени.

Теперь зайдем с другого боку и зададим вопрос: если за малый интервал dt может произойти только одно событие (с вероятностью, пропорциональной длине интервала), то сколько событий может произойти за единичный интервал? Для подсчета количества успехов есть мощная формула Бернулли: вероятность k успехов в серии n испытаний (с вероятность успеха p) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ , где C(n,k) - биномиальные коэффициенты.
Разобьем наш интервал на n маленьких интервалов. Вероятность успеха (т.е поступления звонка в маленьком интервале) равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \cdot \frac{1}{n}$ . Значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=\frac{n!}{k! \cdot (n-k!)} \cdot (\lambda/n)^k \cdot (1-\lambda/n)^{n-k}$ и переходя к пределу при больших n, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda$ . При больших n раздельная зависимость от n,p исчезла, осталась только зависимость от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n \cdot p=\lambda$ . Это и есть формула Пуассона для подсчета вероятности количества наступивших событий в единичном интервале.

А сейчас подсчитаем среднее количество событий в единичном интервале, это сумма
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^\infty k \cdot P(k,\lambda)=\lambda$ .
Теперь мы видим, что параметр распределения Пуассона $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ - это среднее количество звонков в единичном интервале. Давайте вообще отцепимся от единичного интервала!

. Если за некий интервал происходит в среднем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ событий, то вероятность, что за этот интервал происходит k событий равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda$ .

А если мы знаем, что в среднем за час происходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_h$ звонков, то какова вероятность получения ровно 1 звонка в течении минуты? По формуле Пуассона эта вероятность равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda_m} \cdot e^{-\lambda_m}$ . Как перейти от "часовой лямбда" к "минутной лямбда"? Очень просто: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_m=\lambda_h/60$

Можно вообще отвязаться от интервала. Пример: в большой чан с тестом высыпают пакет с изюмом, перемешивают и выпекают булочки стандартного размера. Мы знаем, что из теста в чане получается N булочек, а в пакете K изюминок (плюс-минус)

. В среднем в булочке получается K/N изюминок. Это и есть лямбда нашего распределения и мы можем посчитать вероятности, что в булочке будет 0,1,k изюминок. Действительно, можно предположить, что изюминки попадают в булочку независимо, а перемешивание распределяет их по чану более-менее равномерно. А распределению Пуассона только этого и надо

При получении формулы Пуассона мы вычислили ее через предел формулы Бернулли, когда событий много, но произведение вероятности на количество испытаний конечно (равно лямбда). Можно сделать и обратный переход - когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала, то вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона (с лямбда=n·p). При этом, естественно, надо понимать - когда это можно делать, а когда - нельзя

.

Итак, распределение Пуассона характеризуется лямбда - средним количеством событий (или средним количеством событий в интервале) и обратным к нему параметром Т - средним временем ожидания очередного события. Формула Пуассона вычисляет вероятность, что произойдет ровно k событий (k целое), при условии, что в среднем происходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ событий (не обязательно целое).

@myn · 02.12.2013, 03:41

Сообщение от zer0mail

Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов.

это просто в мемориз!

А так классно придумали - надо какие-то базовые темы дать постепенно так развернуто... Только я бы заменила в формулах * на точки - * все-таки свертку обычно обозначает в математике... (не умножение, это Excel)/

и можно примеры добавить - двоечников посылать читать вместо учебника

240Volt · 02.12.2013, 21:54

Сообщение от myn

я бы заменила в формулах * на точки

Если ТС не будет возражать, я мог бы это сделать (или заменить исходное сообщение на отредактированное автором).

zer0mail · 02.12.2013, 21:55 **[ТС]**

Не буду, естественно.

Psilon · 14.01.2014, 19:16

переходя к пределу при больших n

не просто при больших n, а при n-> inf, при этом одновременно вероятности p_i -> 0. А то если у нас есть миллион событий, но при этом вероятность первого 90%, то мы не можем переходить к Пуассону афайк.

@rahim · 16.01.2014, 02:04

А вы текст первого сообщения-то читали? Там нет и не должно быть никаких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_i$ , а все, что нужно, уже и так стремится куда нужно.

Psilon · 16.01.2014, 07:01

rahim, да даже википедия это знает.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Bin(n, \frac{\lambda }{n}) \approx P(\lambda)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow inf} \frac{\lambda }{n} = 0$
то есть в пределе вероятность каждого события равна 0. Но это выполняется только при фиксированной константе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$

zer0mail · 16.01.2014, 20:48 **[ТС]**

Естественно, она фиксирована. Следуйте совету и читайте первое сообщение

. И название темы посмотрите внимательно

Psilon · 16.01.2014, 22:00

zer0mail, не естественно. Я сколько с твимсом и прочим довольно плотно общался (и общаюсь), иесли рассматривать предельный случай, то все совсем не так, как в не-предельном. Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?K(\tau)={a}^{2}{e}^{-2\mu|\tau|}$ (наверное, знаете эту формулу). Так вот, в обычном варианте эта функция не имеет никаких особенностей, а в предельном является $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta$ -функцией, что для алгебраической функции довольно необычно.

Ну в общем весь смысл заключается в слове "естественно". Я привык к четко заданным определниям, т.к. при работе в бесконечномерных вероятностных пространствах со своими понятиями (чего стоит только предел в среднеквадратическом смысле l.i.m ), приучаешься уделять внимание подобным мелочам.

Добавлено через 1 минуту
Кстати, эта формула тоже получена из распределения Пуассона. Забавно совпало.

zer0mail · 16.01.2014, 23:28 **[ТС]**

Да разуйте глазки - вот так:

. Это тема не математичское исследование, не учебник, не монография. Цель ее создания - дать возможность студентам лучше понять основы ТВ, в частности распределение Пуассона и решать задачи (причем самые простые), где оно изначально присутствует в условии или более-менее естественно возникает как математическая модель. Не надо искать/создавать сложности там, где они не нужны

Хотите показать глубину своих математических познаний? Так создавайте свою тему и резвитесь на здоровье

Сообщение от Psilon

не просто при больших n, а при n-> inf, при этом одновременно вероятности p_i -> 0. А то если у нас есть миллион событий, но при этом вероятность первого 90%, то мы не можем переходить к Пуассону афайк.

И не надо, не переходите. Эта тема о распределении Пуассона (а не о различных предельных случаях), в котором есть "нормальное" лямбда (пояснение: оно ни бесконечно большое, ни бесконечно малое и никуда не стремящееся).

.

zer0mail · 27.04.2014, 12:17 **[ТС]**

Дополнение к исходному сообщению:
Вернемся к ряду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$ . Его k-й член ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0..\infty$ ) - вероятность, что произойдет ровно k событий. А теперь рассмотрим некий вспомогательный ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(k,\lambda)=\sum\frac{\lambda^k}{k!} =e^\lambda$ . Продиффренуцируем его левую и правые части по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ , а потом умножим результат на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda\cdot e^{-\lambda}: \sum k*\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda\cdot e^{-\lambda}=\lambda$ . Сравнивая с рядом P, понимаем, что слева - математическое ожидание количества успехов для распределения пуассона и оно равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ (d первом сообщении эта формула приведена без вывода).
Теперь снова возьмем ряд R и продифференцируем обе части по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ , затем умножим их на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k\cdot\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda} =\lambda e^\lambda$ . Еще раз продифференцируем по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ и умножим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda e^{-\lambda}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda \cdot e^{-\lambda}+\lambda^2 e^\lambda \cdot e^{-\lambda}=\lambda +\lambda^2$ . Отнимем от обеих частей квадрат математического ожидания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda^2$ и получим, что для распределения пуассона дисперсия = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ . Этот результат можно было получить иначе, через биномиальное распределение, дисперсия которого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?npq$ . При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?np=\lambda, q\rightarrow1$ биномиальное стремится к распределению пуассона, а его дисперсия стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ .

Другие параметры распределения Пуассона можно посмотреть здесь:ВикипедиЯ, Распределение Пуассона

Для тех, кто забыл:

среднеквадратичное отклонение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ - это корень из дисперсии, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\lambda}$

@Royal_X · 19.06.2021, 00:02

Вот, еще несколько примеров использования Пуассона на практике (с вычислением в СКА Maxima):
1) Вычисление вероятности получения бракованных деталей в массовом производстве.
Например, вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производстве равна p=0,0005. Вероятность, что в партии из 10 000 деталей:
- нет бракованных деталей (X=0):

Lisp
1
2
3
load(distrib)$
pdf_poisson(0,10000*0.0005);
0.006737946999085467

- ровно 5 бракованных деталей (X=5):

Lisp
1
2
pdf_poisson(5,10000*0.0005);
0.1754673697678507

- не больше 5 бракованных деталей (X>=0 ⋃ X<=5):

Lisp
1
2
cdf_poisson(5,10000*0.0005);
0.6159606548330632

Иногда в условие может быть дано готовое значение λ, например, "в стандартной партии из 10 000 деталей брак в среднем составляет 5 деталей". В таком случае в вышеприведенных функциях во втором аргументе вместо 10000*0.0005 пишем 5.

2) Пуассон хорош также для вычисления вероятности ошибок\опечаток в тексте.
Например, в книге на 350 страниц посчитали 150 типографических ошибок.
- найти λ:

Lisp
1
2
mean_poisson(lambda)=150/350;
λ=3/7

- вероятность 0 ошибок на странице:

Lisp
1
2
pdf_poisson(0,3/7),numer;
0.6514390575310556

- вероятность не больше 2 ошибок (2 ошибки, 1 ошибка или ни одной ошибки) на странице:

Lisp
1
2
cdf_poisson(2,3/7),numer;
0.9904532609400744

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1

	О распределении Пуассона 02.12.2013, 01:13. Показов 24997. Ответов 11 Метки йй (Все метки) Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов. Считаем, что абоненты звонят независимо друг от друга и более-менее равномерно. Математически это запишем так: вероятность поступление звонка в момент от t до t+dt (малый интервал, в пределе - бесконечно малый) равна dt/T. Замечу, что dt мало по сравнению с T. Т.е если в среднем за час поступает один звонок, то за минуту 1/60. Но если брать интервал сравнимый с T (или больше), формула, естественно, работать не будет (эта формула дифференциальная, т.е. для бесконечно малого интервала). Например, есть ненулевая вероятность, что за t=2T не поступит ни одного звонка, а за 0.5T поступило 2 (или 3 или 10)... Посчитаем вероятность, что от x=0 до t не будет звонков: P(t+dt)=P(t)·(1-dt/T). Решая это уравнение, получаем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}$ . Теперь посчитаем среднее время ожидания первого звонка. Вероятность, что до момента t звонка не было, а в интервале t+dt он пришел, равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}$ . Умножая эту вероятность на интервал t и беря интеграл, получим среднее время ожидания: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_0^\infty t \cdot e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}=T$ . Оказывается, что параметр T - это среднее время ожидания события (звонка). Важно: особенностью распределения Пуассона является то, что среднее время ожидания очередного события не зависит от того, когда наступило предыдущее событие, т.е. как скоро после предыдущего события мы начали ждать . Если автобусы ходят "по Пуассону" в среднем через 5 минут, то нам придется ждать в среднем 5 минут, даже если мы пришли на остановку через секунду/10 минут после предыдущего автобуса. Можно в качестве параметра использовать не T, а обратную величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda=\frac{1}{T}$ и тогда вероятность наступления события равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambd \cdot dt$ . Если T- характеризует ожидание события (раcстояние между ними), то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ характеризует интенсивность потока событий, т.е. сколько событий происходит в единицу времени. Теперь зайдем с другого боку и зададим вопрос: если за малый интервал dt может произойти только одно событие (с вероятностью, пропорциональной длине интервала), то сколько событий может произойти за единичный интервал? Для подсчета количества успехов есть мощная формула Бернулли: вероятность k успехов в серии n испытаний (с вероятность успеха p) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ , где C(n,k) - биномиальные коэффициенты. Разобьем наш интервал на n маленьких интервалов. Вероятность успеха (т.е поступления звонка в маленьком интервале) равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \cdot \frac{1}{n}$ . Значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=\frac{n!}{k! \cdot (n-k!)} \cdot (\lambda/n)^k \cdot (1-\lambda/n)^{n-k}$ и переходя к пределу при больших n, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda$ . При больших n раздельная зависимость от n,p исчезла, осталась только зависимость от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n \cdot p=\lambda$ . Это и есть формула Пуассона для подсчета вероятности количества наступивших событий в единичном интервале. А сейчас подсчитаем среднее количество событий в единичном интервале, это сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^\infty k \cdot P(k,\lambda)=\lambda$ . Теперь мы видим, что параметр распределения Пуассона $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ - это среднее количество звонков в единичном интервале. Давайте вообще отцепимся от единичного интервала! . Если за некий интервал происходит в среднем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ событий, то вероятность, что за этот интервал происходит k событий равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda$ . А если мы знаем, что в среднем за час происходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_h$ звонков, то какова вероятность получения ровно 1 звонка в течении минуты? По формуле Пуассона эта вероятность равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda_m} \cdot e^{-\lambda_m}$ . Как перейти от "часовой лямбда" к "минутной лямбда"? Очень просто: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_m=\lambda_h/60$ Можно вообще отвязаться от интервала. Пример: в большой чан с тестом высыпают пакет с изюмом, перемешивают и выпекают булочки стандартного размера. Мы знаем, что из теста в чане получается N булочек, а в пакете K изюминок (плюс-минус) . В среднем в булочке получается K/N изюминок. Это и есть лямбда нашего распределения и мы можем посчитать вероятности, что в булочке будет 0,1,k изюминок. Действительно, можно предположить, что изюминки попадают в булочку независимо, а перемешивание распределяет их по чану более-менее равномерно. А распределению Пуассона только этого и надо При получении формулы Пуассона мы вычислили ее через предел формулы Бернулли, когда событий много, но произведение вероятности на количество испытаний конечно (равно лямбда). Можно сделать и обратный переход - когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала, то вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона (с лямбда=n·p). При этом, естественно, надо понимать - когда это можно делать, а когда - нельзя . Итак, распределение Пуассона характеризуется лямбда - средним количеством событий (или средним количеством событий в интервале) и обратным к нему параметром Т - средним временем ожидания очередного события. Формула Пуассона вычисляет вероятность, что произойдет ровно k событий (k целое), при условии, что в среднем происходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ событий (не обязательно целое). 5

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	02.12.2013, 21:55 [ТС]
	Не буду, естественно. 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	16.01.2014, 02:04
	А вы текст первого сообщения-то читали? Там нет и не должно быть никаких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_i$ , а все, что нужно, уже и так стремится куда нужно. 0

Psilon Master of Orion 6102 / 4958 / 905 Регистрация: 10.07.2011 Сообщений: 14,522 Записей в блоге: 5
	16.01.2014, 07:01
	rahim, да даже википедия это знает. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Bin(n, \frac{\lambda }{n}) \approx P(\lambda)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow inf} \frac{\lambda }{n} = 0$ то есть в пределе вероятность каждого события равна 0. Но это выполняется только при фиксированной константе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ 0

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	16.01.2014, 20:48 [ТС]
	Естественно, она фиксирована. Следуйте совету и читайте первое сообщение . И название темы посмотрите внимательно 0

Psilon Master of Orion 6102 / 4958 / 905 Регистрация: 10.07.2011 Сообщений: 14,522 Записей в блоге: 5
	16.01.2014, 22:00
	zer0mail, не естественно. Я сколько с твимсом и прочим довольно плотно общался (и общаюсь), иесли рассматривать предельный случай, то все совсем не так, как в не-предельном. Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?K(\tau)={a}^{2}{e}^{-2\mu\|\tau\|}$ (наверное, знаете эту формулу). Так вот, в обычном варианте эта функция не имеет никаких особенностей, а в предельном является $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta$ -функцией, что для алгебраической функции довольно необычно. Ну в общем весь смысл заключается в слове "естественно". Я привык к четко заданным определниям, т.к. при работе в бесконечномерных вероятностных пространствах со своими понятиями (чего стоит только предел в среднеквадратическом смысле l.i.m ), приучаешься уделять внимание подобным мелочам. Добавлено через 1 минуту Кстати, эта формула тоже получена из распределения Пуассона. Забавно совпало. 0

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	27.04.2014, 12:17 [ТС]
	Дополнение к исходному сообщению: Вернемся к ряду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$ . Его k-й член ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0..\infty$ ) - вероятность, что произойдет ровно k событий. А теперь рассмотрим некий вспомогательный ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(k,\lambda)=\sum\frac{\lambda^k}{k!} =e^\lambda$ . Продиффренуцируем его левую и правые части по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ , а потом умножим результат на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda\cdot e^{-\lambda}: \sum k*\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda\cdot e^{-\lambda}=\lambda$ . Сравнивая с рядом P, понимаем, что слева - математическое ожидание количества успехов для распределения пуассона и оно равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ (d первом сообщении эта формула приведена без вывода). Теперь снова возьмем ряд R и продифференцируем обе части по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ , затем умножим их на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k\cdot\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda} =\lambda e^\lambda$ . Еще раз продифференцируем по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ и умножим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda e^{-\lambda}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda \cdot e^{-\lambda}+\lambda^2 e^\lambda \cdot e^{-\lambda}=\lambda +\lambda^2$ . Отнимем от обеих частей квадрат математического ожидания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda^2$ и получим, что для распределения пуассона дисперсия = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ . Этот результат можно было получить иначе, через биномиальное распределение, дисперсия которого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?npq$ . При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?np=\lambda, q\rightarrow1$ биномиальное стремится к распределению пуассона, а его дисперсия стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ . Другие параметры распределения Пуассона можно посмотреть здесь:ВикипедиЯ, Распределение Пуассона Для тех, кто забыл: среднеквадратичное отклонение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ - это корень из дисперсии, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\lambda}$ 0