Построение доверительных интервалов

@plywoods · Регистрация: 03.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день!

Помогите пожалуйста с заданием!

Метеостанция, находящаяся в ботаническом саду Сиднея, регистрирует количество выпадающих осадков с 1885 года. Среднее годовое количество осадков за период с 1885 по 2015 включительно составляет 1197.69 мм, выборочная дисперсия — 116182.2.

Считая, что годовое количество осадков — случайная величина, не меняющаяся во времени и имеющая нормальное распределение, постройте интервал, который с вероятностью 99.7% будет содержать количество осадков, которые выпадут в 2016 году.

1. Чему равна его верхняя граница? Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки.

2. Оцените значение параметра σ¯n — среднеквадратического отклонения нормального распределения, которым, согласно центральной предельной теореме, можно аппроксимировать распределение среднего количества осадков за год из предыдущей задачи. Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки.

3.Постройте приближённый 99.7% доверительный интервал для среднего количества осадков за год. Чему равен верхний доверительный предел? Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки.

____

Тут получается что нужно найти не доверительный интервал, а просто интервал, в который попадёт вероятное количество осадков в 2016 г. !? С какого боку подобраться?

@Galavasteg · 02.08.2017, 10:53

С этой же задачей долго думал. Все встает на свои места, когда посмотришь первые 2,7 мин видео.

1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{X}}_{n} + 3\sqrt{{S}^{2}} = 1197,69 + 3*\sqrt{116182,2} \approx 2220,26$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{\sigma}}_{n} = \sqrt{D{\bar{X}}_{n}} = \sqrt{\frac{D{X}_{n}}{n}} = \sqrt{\frac{{S}^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{116182,2}{131}} \approx 29,78$
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{X}}_{n} + 3\sqrt{{S}^{2}} \approx 1197,69 + 3*29,78 \approx 1287,03$

@kokix · 22.08.2017, 23:53

Можете объяснить, как получается эта формула? для 1й и 3й задачи? я все просмотрел. но так и не понял

@ViktorVx · 07.02.2018, 21:04

Вот как я понял это решение

@vorobichek · 09.02.2018, 12:24

А при чем тут Python?

kokix, нам дано:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X \rightarrow \mathcal{N}(\mu , \sigma^2)$
Где X - количество осадков в год, мю - мат ожидание и сигма в квадрате - дисперсия. Так же известна выборка, где количество наблюдений n = 2015 - 1885 + 1 = 131

Нас просят построить интервал для мю, мат ожидание. Cамая оптимальная статистическая оценка этого мат ожидания, если X гауссиана, это среднее число осадков в год:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{X}_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}$

Оно несмещенное, предел 0 при больщих n, дисперсия равна 1 деленное на информацию фишера и т.д.

1) Тут мы подразумеваем, что теоретическая дисперсия известна и равна наблюдаемой дисперсии. В таком случае:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{X}_n \rightarrow \mathcal{N}(\mu , \frac{\sigma^2}{n})$

Допустим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z = \sqrt{n} \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \rightarrow \mathcal{N}(0 , 1)$

И доверительный интервал в итоге получается:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\bar{X}_n - \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_n + \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sigma}{\sqrt{n}}]$

Где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}$ - квантиль нормального распределения для вероятности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{\alpha}{2}$ . В вашем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = 0,03$ и следовательно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_{0.9985} = 2.96$ . В итоге доверительный интервал равен:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1197,69 - \frac{2.96 \times \sqrt{116182.2}}{\sqrt{131}} \leq \mu \leq 1197,69 + \frac{2.96 \times \sqrt{116182.2}}{\sqrt{131}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1109.539 \leq \mu \leq 1285.841$

3) Если дисперсия неизвестна, то нужно использовать правильную статистическую оценку дисперсии (несмещение, предел 0 у дисперсии дисперсии и т.д.). Отсюда и пункт 2 в задаче
Дисперсия равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n}^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}_n )^2}{n}$
Стат оценка дисперсии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{S}_{n}^{2} = \frac{n}{n-1}S_{n}^{2}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z = \sqrt{n-1} \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sqrt{S_{n}^{2}}} \rightarrow \mathcal{S}(n-1)$

В этом случае Z имеет распределение Стюдента и при n>120 нормальное распределение как и в пункте 1. Но доверительный интервал равен:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\bar{X}_n - \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sqrt{S_{n}^{2}}}{\sqrt{n-1}} \leq \mu \leq \bar{X}_n + \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sqrt{S_{n}^{2}}}{\sqrt{n-1}}]$

Или в нашем случае:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1109.19 \leq \mu \leq 1286.19$

В принципе пункт 1 и 2 мало отличаются, потому что n большое и мы брали в первом пункте нетеоритическую дисперсию.

@fsv20 · 28.05.2018, 17:28

Добры день!
Не могу разобраться с заданием
"Для 61 большого города в Англии и Уэльсе известны средняя годовая смертность на 100000 населения (по данным 1958–1964) и концентрация кальция в питьевой воде (в частях на миллион). Чем выше концентрация кальция, тем жёстче вода. Города дополнительно поделены на северные и южные.
Постройте 95% доверительный интервал для средней годовой смертности в больших городах. Чему равна его нижняя граница? Округлите ответ до 4 знаков после десятичной точки."
Интересует решение как в Python2.7, так и Exel

@passant · 28.05.2018, 18:04

А вы пробовали в этой-же теме предыдущий ответ прочитать?
Там все есть. А запрограммировать это, что в Python, что в Excel - если понимать, как интервал строиться - три строчки кода или три формулы (известные) соответственно. Неужели не справитесь?

@vorobichek · 28.05.2018, 18:51

Сообщение от fsv20

Добры день!
Не могу разобраться с заданием
"Для 61 большого города в Англии и Уэльсе известны средняя годовая смертность на 100000 населения (по данным 1958–1964) и концентрация кальция в питьевой воде (в частях на миллион). Чем выше концентрация кальция, тем жёстче вода. Города дополнительно поделены на северные и южные.
Постройте 95% доверительный интервал для средней годовой смертности в больших городах. Чему равна его нижняя граница? Округлите ответ до 4 знаков после десятичной точки."
Интересует решение как в Python2.7, так и Exel

Эм. Нужно просто написать формулу? А то не хватает данных.
Данные откуда? Опрос с ограниченным количество опрашиваемых? Или это данные о смертях? Если последние, то это не выборка и смысла в доверительном интервале никакого.

Сообщение от passant

А вы пробовали в этой-же теме предыдущий ответ прочитать?
Там все есть. А запрограммировать это, что в Python, что в Excel - если понимать, как интервал строиться - три строчки кода или три формулы (известные) соответственно. Неужели не справитесь?

Не думаю, что формулы выше подойдут. Уж не говоря, что данных тупо нету, чтобы подсчитать нижнию границу интервала.

@passant · 28.05.2018, 20:53

Сообщение от vorobichek

Не думаю, что формулы выше подойдут. Уж не говоря, что данных тупо нету, чтобы подсчитать нижнию границу интервала.

Простите, каких данных "тупо нету" для построения нижней границы 95% доверительного интервала?

@fsv20 · 29.05.2018, 17:28

Вторая задача "Из 50 исследованных представителей народа майя вариант 13910T был обнаружен у одного. Постройте нормальный 95% доверительный интервал для доли носителей варианта 13910T в популяции майя. Чему равна его нижняя граница?" Комрады, прошу в явном виде расписать решение с формулами, туплю откровенно. или дайте ссылку с примерами таких задач.
Для первой задачи использовал правило двух сигм из центральной предельной теоремы, при среднем по сумме всех смертей 1524,147541 не получил верного ответа

@fsv20 · 30.05.2018, 11:55

и продолжение задачи про лактозу у майя "В условиях предыдущей задачи постройте 95% доверительный интервал Уилсона для доли носителей варианта 13910T в популяции майя. Чему равна его нижняя граница? "

Добавлено через 18 часов 25 минут
Друзья! Хелп!!! Возвращаюсь к задаче с водой и смертностью (см. вложение) я посчитал среднее суммы по столбцу mortality и разделил на 61 город, получил 1524.147541, затем я для каждой строки проделал (Xi-Xср)^2 просуммировал и разделил на (n-1)=60, получил 35219,5612, извлек корень из данного числа и умножил на 2 (правило 2-х сигм) вычел из 1524.147541 полученное число и получил нижнюю границу интервала 1148.8100. Грейдер ответ не принял. Это все проделал в Excel, в Python не получается, видимо не хватает знаний но это пока

Далее проделал то же самое только для южных городов в файле, их 26:"На данных из предыдущего вопроса постройте 95% доверительный интервал для средней годовой смертности по всем южным городам. Чему равна его верхняя граница? "
получил среднее 1376.807692 прибавил-2*SQRT(19650.06) получил верхнюю границу 1657.165035. Грейдер ответ не принял.

Далее Вспомним формулу доверительного интервала для среднего нормально распределённой случайной величины с дисперсией (сигма в квадрате): X+-Z*(sigma/sqrt(n). При sigma=1 какой нужен объём выборки, чтобы на уровне доверия 95% оценить среднее с точностью ±0.1
Проделал следующее: Z=1.96*sigma=1 разделил на 0.1 и возвел в квадрат n=((Z*sigma)/0.1)^2=(1.96*1/0.1)^2=384
Грейдер и этот ответ не принял. Полный аут и ступор. Помогите!!!!!!!!!!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
изучаю kubernetes lagorue 13.01.2026 А пригодятся-ли мне знания kubernetes в России?	сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .
Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .

@plywoods 2 / 2 / 0 Регистрация: 03.08.2012 Сообщений: 56

	Построение доверительных интервалов 04.06.2017, 21:44. Показов 55146. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Добрый день! Помогите пожалуйста с заданием! Метеостанция, находящаяся в ботаническом саду Сиднея, регистрирует количество выпадающих осадков с 1885 года. Среднее годовое количество осадков за период с 1885 по 2015 включительно составляет 1197.69 мм, выборочная дисперсия — 116182.2. Считая, что годовое количество осадков — случайная величина, не меняющаяся во времени и имеющая нормальное распределение, постройте интервал, который с вероятностью 99.7% будет содержать количество осадков, которые выпадут в 2016 году. 1. Чему равна его верхняя граница? Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки. 2. Оцените значение параметра σ¯n — среднеквадратического отклонения нормального распределения, которым, согласно центральной предельной теореме, можно аппроксимировать распределение среднего количества осадков за год из предыдущей задачи. Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки. 3.Постройте приближённый 99.7% доверительный интервал для среднего количества осадков за год. Чему равен верхний доверительный предел? Округлите ответ до двух знаков после десятичной точки. ____ Тут получается что нужно найти не доверительный интервал, а просто интервал, в который попадёт вероятное количество осадков в 2016 г. !? С какого боку подобраться? 1

@Galavasteg 1 / 1 / 0 Регистрация: 02.08.2017 Сообщений: 1
	02.08.2017, 10:53
	С этой же задачей долго думал. Все встает на свои места, когда посмотришь первые 2,7 мин видео. 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{X}}_{n} + 3\sqrt{{S}^{2}} = 1197,69 + 3\sqrt{116182,2} \approx 2220,26$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{\sigma}}_{n} = \sqrt{D{\bar{X}}_{n}} = \sqrt{\frac{D{X}_{n}}{n}} = \sqrt{\frac{{S}^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{116182,2}{131}} \approx 29,78$ 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\bar{X}}_{n} + 3\sqrt{{S}^{2}} \approx 1197,69 + 329,78 \approx 1287,03$ 1

@kokix 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.08.2017 Сообщений: 1
	22.08.2017, 23:53
	Можете объяснить, как получается эта формула? для 1й и 3й задачи? я все просмотрел. но так и не понял 0

@ViktorVx 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.02.2018 Сообщений: 1
	07.02.2018, 21:04
	Вот как я понял это решение Миниатюры 0

@vorobichek 110 / 36 / 5 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 130
	09.02.2018, 12:24
	А при чем тут Python? kokix, нам дано: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X \rightarrow \mathcal{N}(\mu , \sigma^2)$ Где X - количество осадков в год, мю - мат ожидание и сигма в квадрате - дисперсия. Так же известна выборка, где количество наблюдений n = 2015 - 1885 + 1 = 131 Нас просят построить интервал для мю, мат ожидание. Cамая оптимальная статистическая оценка этого мат ожидания, если X гауссиана, это среднее число осадков в год: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{X}_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}$ Оно несмещенное, предел 0 при больщих n, дисперсия равна 1 деленное на информацию фишера и т.д. 1) Тут мы подразумеваем, что теоретическая дисперсия известна и равна наблюдаемой дисперсии. В таком случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{X}_n \rightarrow \mathcal{N}(\mu , \frac{\sigma^2}{n})$ Допустим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z = \sqrt{n} \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \rightarrow \mathcal{N}(0 , 1)$ И доверительный интервал в итоге получается: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\bar{X}_n - \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_n + \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sigma}{\sqrt{n}}]$ Где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}$ - квантиль нормального распределения для вероятности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{\alpha}{2}$ . В вашем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = 0,03$ и следовательно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_{0.9985} = 2.96$ . В итоге доверительный интервал равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1197,69 - \frac{2.96 \times \sqrt{116182.2}}{\sqrt{131}} \leq \mu \leq 1197,69 + \frac{2.96 \times \sqrt{116182.2}}{\sqrt{131}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1109.539 \leq \mu \leq 1285.841$ 3) Если дисперсия неизвестна, то нужно использовать правильную статистическую оценку дисперсии (несмещение, предел 0 у дисперсии дисперсии и т.д.). Отсюда и пункт 2 в задаче Дисперсия равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n}^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}_n )^2}{n}$ Стат оценка дисперсии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{S}_{n}^{2} = \frac{n}{n-1}S_{n}^{2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z = \sqrt{n-1} \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sqrt{S_{n}^{2}}} \rightarrow \mathcal{S}(n-1)$ В этом случае Z имеет распределение Стюдента и при n>120 нормальное распределение как и в пункте 1. Но доверительный интервал равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\bar{X}_n - \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sqrt{S_{n}^{2}}}{\sqrt{n-1}} \leq \mu \leq \bar{X}_n + \frac{(\phi_{1-\frac{\alpha}{2})} \sqrt{S_{n}^{2}}}{\sqrt{n-1}}]$ Или в нашем случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1109.19 \leq \mu \leq 1286.19$ В принципе пункт 1 и 2 мало отличаются, потому что n большое и мы брали в первом пункте нетеоритическую дисперсию. 0

@fsv20 1 / 1 / 0 Регистрация: 09.04.2018 Сообщений: 5
	28.05.2018, 17:28
	Добры день! Не могу разобраться с заданием "Для 61 большого города в Англии и Уэльсе известны средняя годовая смертность на 100000 населения (по данным 1958–1964) и концентрация кальция в питьевой воде (в частях на миллион). Чем выше концентрация кальция, тем жёстче вода. Города дополнительно поделены на северные и южные. Постройте 95% доверительный интервал для средней годовой смертности в больших городах. Чему равна его нижняя граница? Округлите ответ до 4 знаков после десятичной точки." Интересует решение как в Python2.7, так и Exel 0

@passant 578 / 411 / 69 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,363
	28.05.2018, 18:04
	А вы пробовали в этой-же теме предыдущий ответ прочитать? Там все есть. А запрограммировать это, что в Python, что в Excel - если понимать, как интервал строиться - три строчки кода или три формулы (известные) соответственно. Неужели не справитесь? 0

@fsv20 1 / 1 / 0 Регистрация: 09.04.2018 Сообщений: 5
	30.05.2018, 11:55
	и продолжение задачи про лактозу у майя "В условиях предыдущей задачи постройте 95% доверительный интервал Уилсона для доли носителей варианта 13910T в популяции майя. Чему равна его нижняя граница? " Добавлено через 18 часов 25 минут Друзья! Хелп!!! Возвращаюсь к задаче с водой и смертностью (см. вложение) я посчитал среднее суммы по столбцу mortality и разделил на 61 город, получил 1524.147541, затем я для каждой строки проделал (Xi-Xср)^2 просуммировал и разделил на (n-1)=60, получил 35219,5612, извлек корень из данного числа и умножил на 2 (правило 2-х сигм) вычел из 1524.147541 полученное число и получил нижнюю границу интервала 1148.8100. Грейдер ответ не принял. Это все проделал в Excel, в Python не получается, видимо не хватает знаний но это пока Далее проделал то же самое только для южных городов в файле, их 26:"На данных из предыдущего вопроса постройте 95% доверительный интервал для средней годовой смертности по всем южным городам. Чему равна его верхняя граница? " получил среднее 1376.807692 прибавил-2SQRT(19650.06) получил верхнюю границу 1657.165035. Грейдер ответ не принял. Далее Вспомним формулу доверительного интервала для среднего нормально распределённой случайной величины с дисперсией (сигма в квадрате): X+-Z(sigma/sqrt(n). При sigma=1 какой нужен объём выборки, чтобы на уровне доверия 95% оценить среднее с точностью ±0.1 Проделал следующее: Z=1.96sigma=1 разделил на 0.1 и возвел в квадрат n=((Zsigma)/0.1)^2=(1.96*1/0.1)^2=384 Грейдер и этот ответ не принял. Полный аут и ступор. Помогите!!!!!!!!!! 0