Интересные числа

@KiraBush · Регистрация: 16.04.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Софья считает число интересным, если его цифры идут в неубывающем порядке. Например, числа 123, 1111 или 888999 – интересные.

Софья заинтересовалась, сколько существует интересных положительных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно. Это число может оказаться довольно большим для больших L и R, поэтому Софья хочет найти остаток от деления этого числа на 10^9 + 7.

Требуется написать программу, которая по заданным L и R определяет количество интересных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно, и выводит остаток от деления этого числа на 10^9 + 7.

Просто перебор не проходит по времени

Пример
1
100

Вывести
54

Jabbson · 30.05.2022, 21:07

Сообщение от KiraBush

Вывести
54

не похоже, что это уже после деления на 10^9 + 7

Добавлено через 41 секунду
брутфорс вот так

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
def is_non_descreasing(n):
    str_n = str(n)
    for idx in range(len(str_n)-1):
        if str_n[idx] > str_n[idx+1]:
            return False
    return True
 
L = int(input('L: '))
R = int(input('R: '))
 
counter = 0
for num in range(L, R+1):
    if is_non_descreasing(num):
        counter += 1
 
print(counter/(10**9 + 7))

но если нужен ответ 54, то просто

Python
1
print(counter)

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от KiraBush

Просто перебор не проходит по времени

сильно не проходит

Добавлено через 11 минут
без строк

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
def is_non_descreasing(n):
    prev = None
    while n > 0:
        rem = n % 10
        if prev != None and rem > prev:
            return False
        n //= 10
        prev = rem
    return True
 
L = int(input('L: '))
R = int(input('R: '))
 
counter = 0
for num in range(L, R+1):
    if is_non_descreasing(num):
        counter += 1
 
print(counter)

@KiraBush · 30.05.2022, 21:16 **[ТС]**

Там деление остатком. По времени тоже не пройдет, перебор опять всех чисел от L до R

Jabbson · 31.05.2022, 05:09

Большие куски можно отрезать вот так, из-за того, что каждая цифра числа должна быть хотя бы равна первой, но как полностью описать последовательность математически я не знаю.

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
def is_non_descreasing(n):
    str_n = str(n)
    if n < int(str_n[0]*len(str_n)):
        return False
    for idx in range(len(str_n)-1):
        if str_n[idx] > str_n[idx+1]:
            return False
    return True

Хотя нет, это скорее замедлит код, чем убыстрит. И предполагаю, что деление быстрее строкового перебора символов.

Добавлено через 2 часа 48 минут
Подумал еще немного, почитал формулы и последовательности. Рассчитать кол-во неубывающих чисел для всех n-значных чисел можно посчитать через биномиальный коэффициент, плюс добавить все неубывающие от L до ближайшей степени 10ки и от степени 10 до R.

то есть для 50, 10050 нужно будет посчитать неубывающих от 50 до 100, биномиальный коэффициент для 3 значных чисел и 4 значных чисел, и неубывающих от 10000 до 10050.

попробовал на диапазоне от 1 до 111222333 (сто одиннадцать миллионов + значений).

перебором через остаток от деления - 49 секунд
через биномиальный коэффициент - 0.05 секунд.

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
from math import ceil, comb, floor, log10
import time
 
def is_non_decreasing(n):
    prev = None
    while n > 0:
        rem = n % 10
        if prev != None and rem > prev:
            return False
        n //= 10
        prev = rem
    return True
 
def round_up(n):
    return 10**(ceil(log10(n)))
 
def round_down(n):
    return int(pow(10, floor(log10(n))))
 
def n_digits(n):
    counter = 0
    while n > 0:
        n //= 10
        counter += 1
    return counter
 
def digits(n1, n2):
    return range(n_digits(n1), n_digits(n2))
 
def bin_coeff(n):
    N = n+8
    return comb(N, 8) # Binomial Coefficient
 
L = int(input('L: '))
R = int(input('R: '))
 
# ===== v1 =====
start_time = time.time()
ru = round_up(L)
rd = round_down(R)
digs = digits(ru, rd)
 
counter = 0
for x in range(L, ru):
    if is_non_decreasing(x):
        counter += 1
 
srd = str(rd)
for x in range(int(srd[0]*len(srd)), R+1):
    if is_non_decreasing(x):
        counter += 1
 
for d in digs:
    counter += bin_coeff(d)
print(f'v1 (binom_coeff): {(time.time() - start_time)}, nums: {counter}')
# ===== v1 =====
 
# ===== v2 =====
start_time = time.time()
 
counter = 0
for num in range(L, R+1):
    if is_non_decreasing(num):
        counter += 1
 
print(f'v2 (brute force): {(time.time() - start_time)}, nums: {counter}')
# ===== v2 =====

Code
1
2
3
4
5
python thread2987504.py
L: 1
R: 111222333
v1 (binom_coeff): 0.054473161697387695, nums: 25633
v2 (brute force): 49.476454973220825, nums: 25633

@Gdez · 31.05.2022, 10:39

Jabbson, R до 10**100...
https://informatics.msk.ru/mod... rid=113102

@Red white socks · 31.05.2022, 15:08

Динамическое программирование

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
L = input()
R = input()
 
a = [[0 for _ in range(10)] for _ in range(len(R)+1)]
a[0][0] = 1
 
for k in range(1, len(R)+1):
    for i in range(10):
        a[k][i] = sum(a[k-1][j] for j in range(i+1))
       
def f(n, k):
    if len(n) == 1: return max(int(n[0]) - k + 1, 0)
    return max(int(n[0]) - k, 0) * sum( [a[len(n) - 1][i] for i in range (0, 10-k)] ) + f(n[1:], max(int(n[0]), k))
 
print (f(R,0) - f(str(int(L)-1),0))

Добавлено через 10 минут
a[i][j] - число неубывающих последовательностей длины i, оканчивающихся на j.
f(n,k) - количество интересных чисел с минимальной цифрой, не меньшей k.

@Gdez · 31.05.2022, 15:58

Red white socks, где то ошибка (по модулю учел)
Идея та же:

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
def fun(num, lst):
    d = list(map(int,str(num)))
    k = len(d)
    cnt = lst[-1][d[0]-1]
 
    for i in range(k-2):
        if d[i+1] >= d[i]:
            cnt += lst[-i-2][d[i+1]-1] - lst[-i-2][d[i]-1]
        else:
            return cnt
    
    if k > 1:
        if d[-1] >= d[-2]:
            cnt += d[k-1] - d[k-2] + 1
    else:
        cnt = d[k-1]
    
    return cnt
 
 
def d_sum(num):
    k = len(str(num))
    a = [1]*9
    res = [[0] + a]
 
    for i in range(1, k):
        for j in range(8):
            a[j+1] += a[j]
        res.append([(a[-1]+res[-1][0])])
        for j in range(8):
            res[i].append((res[i][-1] + a[8-j]))
    
    return res
    
    
L = int(input())
R = int(input())
 
print((fun(R, d_sum(R)) - fun(L-1, d_sum(L)))%(int(1e9) + 7))

@Red white socks · 31.05.2022, 16:06

Gdez, у меня или у вас?

Добавлено через 4 минуты
Gdez, вполне возможно, что и у меня, функцию f я конструировал выливанием воды из чайника. Надо как-то поизящнее, но это уже только вечером после работы

@Gdez · 31.05.2022, 16:08

Red white socks,

у меня или у вас?

У Вас
По ссылке тестировщик...

@Red white socks · 31.05.2022, 20:25

Gdez, спасибо, попробую зарегаться

Добавлено через 4 часа 11 минут
Исправил опечатку, заодно избавился от рекурсии

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
L = input()
R = input()
p = 10 ** 9 + 7 
 
s=len(R)
a = [[0 for _ in range(10)] for _ in range(s+1)]
a[0][0] = 1
 
for k in range(1, s+1):
    for i in range(10):
        a[k][i] = sum(a[k-1][j] for j in range(i+1))
 
def f(n):
 
    res, min_num = 0, 0
    for i, j in enumerate(n):
        j = int(j)
        if j < min_num: 
            return res
        elif j > min_num:
            res += sum(a[len(n)-i][9-x] for x in range(min_num, j))
            min_num = j
    return res + 1
 
print ((f(R) - f(str(int(L)-1))) % p)

@Aael · 01.06.2022, 20:23

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
from functools import lru_cache
 
@lru_cache 
def comb(n, k, mod): # math.comb(n, k)
    return 1 if k == 0 or k == n else \
        (comb(n-1, k-1, mod) + comb(n-1, k, mod)) % mod
 
def nondec_before(n: str, inclusive: bool, mod, base = 10):
    r, m = 0, 0
    for k, c in enumerate(map(int,n), 1):
        if c < m: return r % mod
        t = len(n)-k # число цифр справа от k'ой
        r += sum(comb(t+base-d-1, t, mod) for d in range(m, c))
        m = c
    return (r + int(inclusive)) % mod
 
p = 10**9 + 7
l, r = input(), input()
print((nondec_before(r, inclusive=True, mod=p) - \
       nondec_before(l, inclusive=False, mod=p)) % p)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@KiraBush 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.04.2017 Сообщений: 22

	Интересные числа 30.05.2022, 20:24. Показов 10390. Ответов 10 Метки python (Все метки) Софья считает число интересным, если его цифры идут в неубывающем порядке. Например, числа 123, 1111 или 888999 – интересные. Софья заинтересовалась, сколько существует интересных положительных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно. Это число может оказаться довольно большим для больших L и R, поэтому Софья хочет найти остаток от деления этого числа на 10^9 + 7. Требуется написать программу, которая по заданным L и R определяет количество интересных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно, и выводит остаток от деления этого числа на 10^9 + 7. Просто перебор не проходит по времени Пример 1 100 Вывести 54 0

@KiraBush 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.04.2017 Сообщений: 22
	30.05.2022, 21:16 [ТС]
	Там деление остатком. По времени тоже не пройдет, перебор опять всех чисел от L до R 0

@Gdez 8850 / 4501 / 1864 Регистрация: 27.03.2020 Сообщений: 7,316
	31.05.2022, 10:39
	Jabbson, R до 10**100... https://informatics.msk.ru/mod... rid=113102 0

@Red white socks 4523 / 1899 / 336 Регистрация: 18.01.2021 Сообщений: 3,489
	31.05.2022, 16:06
	Gdez, у меня или у вас? Добавлено через 4 минуты Gdez, вполне возможно, что и у меня, функцию f я конструировал выливанием воды из чайника. Надо как-то поизящнее, но это уже только вечером после работы 0

Интересные числа

Решение