Найти экстремаль функционала методом начальных параметров

@LevMarkosjan · Регистрация: 06.06.2024

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Функционал имеет вид : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J(y,z)=\int_{-2}^{2}({y^\prime}^{2}+{z^\prime}^{2}+2yz)dx\rightarrow extr;\\\left\{\begin y(-2)=1;\\y(2)=0;\right.\\\left\{\begin z(-2)=0;\\z(2)=2;\right.$
Ищу экстремаль заданного функционала методом начальных параметров. Ошибка имеет вид: Only definite integrals are supported
Код программы:

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
!pip install sympy
!pip install matplotlib
!pip install PyDSTool
 
from sympy.solvers import solve
from sympy import symbols, Function, dsolve, Eq, Derivative
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
from sympy.abc import x, y, z
import sympy
from sympy import init_printing
from IPython.display import display, Math
from scipy.integrate import odeint, solve_ivp
from scipy import integrate
from scipy.integrate import solve_ivp
from sympy import *
import math
from sympy.abc import a, x, y
from sympy import init_printing
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
from sympy import symbols, Function, diff, Eq, dsolve, simplify, nsolve
import sympy as sp
from scipy import integrate
 
from scipy import integrate
 
x=symbols('x')
y=sp.Function("y")(x)
z=sp.Function("z")(x)
def _F(x,y,z):
  return y.diff(x)**2+z.diff(x)**2+2*y*z
def my_ode(t, y):
    dydx = np.zeros((2,))
    dydx[0] = y[1]
    dydx[1] = y[0]
    return dydx
x1=-2
y1=1
z1=0
x2=2
y2=0
z2=2
 
dFdy=diff(_F(x,y,z), y)
dFdy1=diff(_F(x,y,z), y.diff(x))
d_dFdy1_dx=diff(dFdy1,x)
d_dFdy1_dy=diff(dFdy1,y)
d_dFdy1_dz=diff(dFdy1,z)
d_dFdy1_dy1=diff(dFdy1, y.diff(x))
d_dFdy1_dz1=diff(dFdy1, z.diff(x))
dFy1dx=d_dFdy1_dx+d_dFdy1_dy*y.diff(x)+d_dFdy1_dy1*y.diff(x,x)+d_dFdy1_dz*z.diff(x)+d_dFdy1_dz1*z.diff(x,x)
 
dFdz=diff(_F(x,y,z), z)
dFdz1=diff(_F(x,y,z), z.diff(x))
d_dFdz1_dx=diff(dFdz1,x)
d_dFdz1_dy=diff(dFdz1,y)
d_dFdz1_dz=diff(dFdz1,z)
d_dFdz1_dy1=diff(dFdz1, y.diff(x))
d_dFdz1_dz1=diff(dFdz1, z.diff(x))
dFz1dx=d_dFdz1_dx+d_dFdz1_dy*y.diff(x)+d_dFdz1_dy1*y.diff(x,x)+d_dFdz1_dz*z.diff(x)+d_dFdz1_dz1*z.diff(x,x)
 
EulerY=simplify(dFdy-dFy1dx)
EulerZ=simplify(dFdz-dFz1dx)
degEuY=Eq(EulerY,0)
degEuZ=Eq(EulerZ,0)
 
solY=sp.dsolve(degEuY,y)
solZ=sp.dsolve(degEuZ,z)
 
SolLY=solY.subs({'x':x1})
SolLZ=solZ.subs({'x':x1})
SolRY=solY.subs({'x':x2})
SolRZ=solZ.subs({'x':x2})
EqLY=Eq(SolLY.rhs,y1)
EqLZ=Eq(SolLZ.rhs,z1)
EqRY=Eq(SolRY.rhs,y2)
EqRZ=Eq(SolRZ.rhs,z2)
 
initial= [0, 0, 0, 0]
equations=[EqLY,EqLZ,EqRY,EqRZ]
con=nsolve(equations, ('C1','C2','C3','C4'),initial)# ошибка в этой строке
C1=con[0]
C2=con[1]
C3=con[2]
C4=con[3]
sol3Y=solY.subs({'C1':C1, 'C2':C2, 'C3': C3, 'C4':C4})
sol3Z=solZ.subs({'C1':C1, 'C2':C2, 'C3': C3, 'C4':C4})
 
xpl=np.linspace(x1,x2)
y3=[]
y4=[]
z3=[]
for i in (xpl):
  y3.append(sol3Y.subs(x,i).rhs)
  z3.append(sol3Z.subs(x,i).rhs)
 
f2yz = sp.solve(degEuY,degEuZ, y.diff(x, x), z.diff(x, x))
f2 = f2yz[0].subs({y: y1, y.diff(x): y2, z: y3, z.diff(x): y4})
f4 = f2yz[1].subs({y: y1, y.diff(x): y2, z: y3, z.diff(x): y4})
xr=np.linspace(x1, x2, 100)
 
nnp=100
xr=np.linspace(x1, x2, nnp+1)
A=zeros(2,2)
b=zeros(2,1)
 
y0=[y1,0,z1,0]
sol1 = solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0,t_eval=xr,method='RK45')
YY1 = sol1.y
yend0=YY1[3][nnp]-[y2,z2]
 
y0=[y1,1,z1,0]
sol2  = solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY2 = sol2.y
A[0]=YY2[3][nnp]-[y2,z2]-b
 
y0=[y1,0,z1,1]
sol3  = solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY2 = sol2.y
A[1]=YY2[3][nnp]-[y2,z2]-b
 
yz0=b/(-A)
y0=[y1,yz0(1),z1,yz0(2)]
sol4 = solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY = sol3.y
xx = sol3.t
 
plt.plot(xpl, y3, z3, '--r', color = 'blue', linewidth=2.0)
plt.plot(xr, YY[0],YY[2],'--', color='black', linewidth=2.0)
plt.xlabel("y(x)")
plt.ylabel("z(x)")
plt.title("Условный экстремум")
plt.grid()

Большая просьба подсказать, как можно её исправить?

@LevMarkosjan · 26.11.2024, 18:57 **[ТС]**

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
x=symbols('x')
y=sp.Function("y")(x)
z=sp.Function("z")(x)
def _F(x,y,z):
  return diff(y,x)**2+diff(z,x)**2+2*y*z
def my_ode(t, y):
    dydx = np.zeros((4,))
    dydx[0] = y[1]
    dydx[1] = -y[0]/4+y[2]/2 #-y(1)/4 + y(3)/2
    dydx[2] = y[3]
    dydx[3] = y[0]/2-y[2]/4 #y(1)/2 - y(3)/4
    return dydx
x1=-2
y1=1
z1=0
x2=2
y2=0
z2=2
dFdy=diff(_F(x,y,z), y)
dFdy1=diff(_F(x,y,z), diff(y,x))
d_dFdy1_dx=diff(dFdy1, x)
d_dFdy1_dy=diff(dFdy1, y)
d_dFdy1_dz=diff(dFdy1, z)
d_dFdy1_dy1=diff(dFdy1, diff(y,x))
d_dFdy1_dz1=diff(dFdy1, diff(z,x))
dFy1dx=d_dFdy1_dx+d_dFdy1_dy*diff(y,x)+d_dFdy1_dy1*diff(y,x,2)+d_dFdy1_dz*diff(z,x)+d_dFdy1_dz1*diff(z,x,2)
dFdz=diff(_F(x,y,z), z)
dFdz1=diff(_F(x,y,z), diff(z,x))
d_dFdz1_dx=diff(dFdz1, x)
d_dFdz1_dy=diff(dFdz1, y)
d_dFdz1_dz=diff(dFdz1, z)
d_dFdz1_dy1=diff(dFdz1, diff(y,x))
d_dFdz1_dz1=diff(dFdz1, diff(z,x))
dFz1dx=d_dFdz1_dx+d_dFdz1_dy*diff(y,x)+d_dFdz1_dy1*diff(y,x,2)+d_dFdz1_dz*diff(z,x)+d_dFdz1_dz1*diff(z,x,2)
EulerY=simplify(dFdy-dFy1dx)
EulerZ=simplify(dFdz-dFz1dx)
degEuY=Eq(EulerY, y)
degEuZ=Eq(EulerZ, z)
Sol=dsolve((degEuY, degEuZ))
solY=Sol[0]
solZ=Sol[1]
SolLY=solY.subs({'x':x1})
SolLZ=solZ.subs({'x':x1})
SolRY=solY.subs({'x':x2})
SolRZ=solZ.subs({'x':x2})
EqLY=Eq(SolLY.rhs,y1)
EqLZ=Eq(SolLZ.rhs,z1)
EqRY=Eq(SolRY.rhs,y2)
EqRZ=Eq(SolRZ.rhs,z2)
initial= [0,0,0,0]
equations=[EqLY,EqLZ,EqRY,EqRZ]
display(EqLY,EqLZ,EqRY,EqRZ)
con=nsolve(equations, ('C1','C2','C3','C4'),initial)
C1=con[0]
C2=con[1]
C3=con[2]
C4=con[3]
sol3Y=solY.subs({'C1':C1, 'C2':C2, 'C3': C3, 'C4':C4})
sol3Z=solZ.subs({'C1':C1, 'C2':C2, 'C3': C3, 'C4':C4})
xpl=np.linspace(x1,x2)
y3=[]
z3=[]
for i in (xpl):
  y3.append(sol3Y.subs(x,i).rhs)
  z3.append(sol3Z.subs(x,i).rhs)
f2_=sp.solve(degEuY, y.diff(x, 2))
f4_=sp.solve(degEuZ, z.diff(x, 2))
f2_t=f2_[0]
f4_t=f4_[0]
f2=f2_t.subs({y: symbols('y(1)'), y.diff(x): symbols('y(2)'), z: symbols('y(3)'), z.diff(x): symbols('y(4)')})
f4=f4_t.subs({y: symbols('y(1)'), y.diff(x): symbols('y(2)'), z: symbols('y(3)'), z.diff(x): symbols('y(4)')})
print(f2,f4)
nnp=100
xr=np.linspace(x1, x2, nnp+1)
A=np.zeros((2,2))
b=np.zeros((2,1))
y0=[y1,0,z1,0]
sol=solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0,t_eval=xr,method='RK45')
YY=sol.y
b=YY[:, -1][[0, 2]] - np.array([y2, z2])
y0=[y1,1,z1,0]
sol=solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY=sol.y
A[:,0]=YY[:, -1][[0, 2]]-np.array([y2, z2])-b
y0=[y1,0,z1,1]
sol=solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY=sol.y
A[:,1]=YY[:, -1][[0, 2]]-np.array([y2, z2])-b
yz0=np.linalg.solve(-A, b)
y0=[y1,yz0[0],z1,yz0[1]]
sol=solve_ivp(my_ode, (x1, x2), y0, t_eval=xr, method='RK45')
YY=sol.y
plt.plot(xpl, y3,'-r')
plt.plot(xpl, z3,'--b')
plt.grid()
plt.show()
ax=plt.figure().add_subplot(111, projection = '3d')
ax.view_init(elev=10, azim=-60)
ax.plot(xpl, y3, z3, '-b', linewidth=2.0, label='Численное решение',alpha = 0.9)
ax.plot(xr, YY[0],YY[2],'--r', linewidth=2.0, label='Метод начальных параметров')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y(x)')
ax.set_zlabel('z(x)')

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .