Решение уравнения 21x ^ 3 - 38x ^ 2 - 9x + 2 = 0 в рациональных числах

echs · Регистрация: 23.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Можно доказать, что если алгебраическое уравнение имеет
рациональный корень, то его можно представить в виде p/q
Где p - делитель коэффициента при икс в нулевой степени,
а q - делитель коэффициента при икс в старшей степени.
исходя из этого и была написана программа, которая нашла
три рациональных корня x = -1/3; x = 1/7; x = 2

QBasic/QuickBASIC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
REM  
REM  21x ^ 3 - 38x ^ 2 - 9x + 2
REM 
REM  x = -1/3; 1/7; 2
REM
 
DECLARE FUNCTION f! (x!)
CLS
 
FOR m = 1 TO 21
FOR n = -2 TO 2
   IF ABS(f(n / m)) < .001 THEN PRINT n; m
NEXT n, m
END
 
FUNCTION f (x)
   f = 21 * x ^ 3 - 38 * x ^ 2 - 9 * x + 2
END FUNCTION

@Burk · 08.08.2016, 09:07

не понял в чём вопрос

echs · 08.08.2016, 15:13 **[ТС]**

Burk
Я не задал явно вопроса. Но вопрос такой.
1. Верно ли данное решение?
2. Насколько разумно это решение? То есть, может эту задачу
следует решать иным способом. Например метод половинного
деления
3. Ваше личное мнение? (Что бы вы еще могли сказать)

@Burk · 09.08.2016, 07:30

geh, более быстрый метод это метод касательных, а можно еще применить комбинацию методов касательных и секущих - ещё быстрее. Это применимо для любых нелинейных уравнений.
метод касательных X_i+1 = X_i - Y/(dY/dx). Если мне не изменяет память, то надо начинать с границы участка X, где Y*(d²Y/dx²) < 0. Посмотрите в Инете

Добавлено через 1 час 33 минуты
geh, ваш код маленько странен для меня, Некие M N, а не проще ли просто пробежаться по Х и, когда найдется участок с переменой знака функции, то уточнять значение x хотя бы "половинкиным" делением?

echs · 09.08.2016, 08:05 **[ТС]**

Burk
Спасибо! Я очень Вам благодарен за ваше участие в этой
теме. Только понимаете, вопрос стоял несколько иначе.
Не просто найти корни, а найти РАЦИОНАЛЬНЫЕ корни.
То есть уравнение может иметь корни и ни одного рационального
Именно поэтому корни искались в виде p/q.

@Burk · 09.08.2016, 08:31

ну, если только рациональные, а не вещественные, тогда принимается

echs · 09.08.2016, 08:47 **[ТС]**

Burk
Я вас хорошо понял. Действительно в программировании
не различают вещественные и рациональные числа. Ибо
все числа и так рациональные, но их принято называть
вещественными. Мне надо было просто более точно
сформулировать вопрос.
"Найти корни уравнения, которые можно представить
в виде p/q, где p, q - целые числа"
Приношу Вам свои извинения. Я смотрел на это уравнение
с точки зрения математики, а не программировании. (Это мой прокол)

@Burk · 10.08.2016, 07:56

geh, извиняться не за что. Могу только порекомендовать проверить другой алгоритм, который мне пришел на ум.
Возможно он будет работать быстрее.
Находим вещественные корни уравнения (тот же метод касательных, хотя для разового применения метод безразличен), потом этот корень умножаем на целое число (i=2....n) и смотрим, чтобы результат был близок к целому с определенной точностью. Вы ведь тоже находите решение с определённой точностью

Добавлено через 26 минут
Уточнение: P₁ - дробная часть числа КОРЕНЬ * I
условие для рационального корня P₁ < Eps or 1-P₁ < Eps

Добавлено через 1 час 17 минут
geh, вопрос. А это PQ-доказательство справедливо только для кубических многочленов или для любой степени?

echs · 10.08.2016, 08:03 **[ТС]**

Burk
Спасибо! Как вы верно подметили, все вычисления
приближенные. И я тоже подумал, а что если вещественное
число обратить в рациональную дробь. Есть даже математическая
теория "цепные дроби". Но вы предложили более простой вариант.
Спасибо!

Добавлено через 4 минуты
Burk
"P/Q" - доказательство справедливо для всех
многочленов с целыми коэффициентами.

@Burk · 10.08.2016, 09:43

geh, и вам спасибо за расширение моих знаний, про цепные дроби я маленько знаю и тоже мелькнула мысль как-то их применить

Добавлено через 1 час 18 минут
geh, а если порассуждать далее. Корни уравнения должны лежать в интервал -P, P судя по вашему алгоритму поиска. А теперь представим себе многочлен с нецелыми коэффициентами. Можно оценить этот интервал, заменив нецелые коэффициенты целыми?

echs · 10.08.2016, 11:34 **[ТС]**

Burk
Дано уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$
Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max(|a_{n-1}|,...,|a_1|,|a_0|)$
Тогда все корни этого уравнения удовлетворяют неравенству
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x_i|<\frac{M}{|a_n|}+1$
примечание
Этому неравенству удовлетворяют даже модули
комплексных корней.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Валидация и контроль данных табличной части документа перед записью Maks 22.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в КА2. Задача: контроль и валидация данных табличной части документа перед записью с учетом регламента компании. . .	Отчёт о затраченных материалах за определенный период с макетом печатной формы Maks 21.04.2026 Отчёт из решения ниже размещён в конфигурации КА2. Задача: разработка отчёта по затраченным материалам за определённый период, с возможностью вывода печатной формы отчёта с шапкой и подвалом. В. . .	Отчёт о спецтехнике находящейся в ремонте Maks 20.04.2026 Отчёт из решения ниже размещен в конфигурации КА2. Задача: отобразить спецтехнику, которая на данный момент находится в ремонте. Есть нетиповой документ "Заявка на ремонт спецтехники" который. . .	Памятка для бота и "визитка" для читателей "Semantic Universe Layer (Слой семантической вселенной)" Hrethgir 19.04.2026 Сгенерировано для краткого описания по случаю сборки и компиляции скелета серверного приложения. И пусть после этого скажут, что статьи сгенерированные AI - туфта и не интересно. И это не реклама -. . .
Запрет удаления строк ТЧ документа при определённом условии Maks 19.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "Аккумуляторы", разработанного в конфигурации КА2. У данного документа есть ТЧ, в которой в зависимости от прав доступа. . .	Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	08.08.2016, 09:07
	не понял в чём вопрос 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	08.08.2016, 15:13 [ТС]
	Burk Я не задал явно вопроса. Но вопрос такой. 1. Верно ли данное решение? 2. Насколько разумно это решение? То есть, может эту задачу следует решать иным способом. Например метод половинного деления 3. Ваше личное мнение? (Что бы вы еще могли сказать) 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	09.08.2016, 07:30
	Сообщение было отмечено echs как решение Решение geh, более быстрый метод это метод касательных, а можно еще применить комбинацию методов касательных и секущих - ещё быстрее. Это применимо для любых нелинейных уравнений. метод касательных X_i+1 = X_i - Y/(dY/dx). Если мне не изменяет память, то надо начинать с границы участка X, где Y(d²Y/dx²) < 0. Посмотрите в Инете Добавлено через 1 час 33 минуты* geh, ваш код маленько странен для меня, Некие M N, а не проще ли просто пробежаться по Х и, когда найдется участок с переменой знака функции, то уточнять значение x хотя бы "половинкиным" делением? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	09.08.2016, 08:05 [ТС]
	Burk Спасибо! Я очень Вам благодарен за ваше участие в этой теме. Только понимаете, вопрос стоял несколько иначе. Не просто найти корни, а найти РАЦИОНАЛЬНЫЕ корни. То есть уравнение может иметь корни и ни одного рационального Именно поэтому корни искались в виде p/q. 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	09.08.2016, 08:31
	ну, если только рациональные, а не вещественные, тогда принимается 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	09.08.2016, 08:47 [ТС]
	Burk Я вас хорошо понял. Действительно в программировании не различают вещественные и рациональные числа. Ибо все числа и так рациональные, но их принято называть вещественными. Мне надо было просто более точно сформулировать вопрос. "Найти корни уравнения, которые можно представить в виде p/q, где p, q - целые числа" Приношу Вам свои извинения. Я смотрел на это уравнение с точки зрения математики, а не программировании. (Это мой прокол) 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	10.08.2016, 07:56
	Сообщение было отмечено echs как решение Решение geh, извиняться не за что. Могу только порекомендовать проверить другой алгоритм, который мне пришел на ум. Возможно он будет работать быстрее. Находим вещественные корни уравнения (тот же метод касательных, хотя для разового применения метод безразличен), потом этот корень умножаем на целое число (i=2....n) и смотрим, чтобы результат был близок к целому с определенной точностью. Вы ведь тоже находите решение с определённой точностью Добавлено через 26 минут Уточнение: P₁ - дробная часть числа КОРЕНЬ * I условие для рационального корня P₁ < Eps or 1-P₁ < Eps Добавлено через 1 час 17 минут geh, вопрос. А это PQ-доказательство справедливо только для кубических многочленов или для любой степени? 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	10.08.2016, 08:03 [ТС]
	Burk Спасибо! Как вы верно подметили, все вычисления приближенные. И я тоже подумал, а что если вещественное число обратить в рациональную дробь. Есть даже математическая теория "цепные дроби". Но вы предложили более простой вариант. Спасибо! Добавлено через 4 минуты Burk "P/Q" - доказательство справедливо для всех многочленов с целыми коэффициентами. 1

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	10.08.2016, 09:43
	geh, и вам спасибо за расширение моих знаний, про цепные дроби я маленько знаю и тоже мелькнула мысль как-то их применить Добавлено через 1 час 18 минут geh, а если порассуждать далее. Корни уравнения должны лежать в интервал -P, P судя по вашему алгоритму поиска. А теперь представим себе многочлен с нецелыми коэффициентами. Можно оценить этот интервал, заменив нецелые коэффициенты целыми? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	10.08.2016, 11:34 [ТС]
	Burk Дано уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$ Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max(\|a_{n-1}\|,...,\|a_1\|,\|a_0\|)$ Тогда все корни этого уравнения удовлетворяют неравенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|x_i\|<\frac{M}{\|a_n\|}+1$ примечание Этому неравенству удовлетворяют даже модули комплексных корней. 1

Опции темы