Решение уравнения 21x ^ 3 - 38x ^ 2 - 9x + 2 = 0 в рациональных числах

echs · Регистрация: 23.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Можно доказать, что если алгебраическое уравнение имеет
рациональный корень, то его можно представить в виде p/q
Где p - делитель коэффициента при икс в нулевой степени,
а q - делитель коэффициента при икс в старшей степени.
исходя из этого и была написана программа, которая нашла
три рациональных корня x = -1/3; x = 1/7; x = 2

QBasic/QuickBASIC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
REM  
REM  21x ^ 3 - 38x ^ 2 - 9x + 2
REM 
REM  x = -1/3; 1/7; 2
REM
 
DECLARE FUNCTION f! (x!)
CLS
 
FOR m = 1 TO 21
FOR n = -2 TO 2
   IF ABS(f(n / m)) < .001 THEN PRINT n; m
NEXT n, m
END
 
FUNCTION f (x)
   f = 21 * x ^ 3 - 38 * x ^ 2 - 9 * x + 2
END FUNCTION

@Burk · 08.08.2016, 09:07

не понял в чём вопрос

echs · 08.08.2016, 15:13 **[ТС]**

Burk
Я не задал явно вопроса. Но вопрос такой.
1. Верно ли данное решение?
2. Насколько разумно это решение? То есть, может эту задачу
следует решать иным способом. Например метод половинного
деления
3. Ваше личное мнение? (Что бы вы еще могли сказать)

@Burk · 09.08.2016, 07:30

geh, более быстрый метод это метод касательных, а можно еще применить комбинацию методов касательных и секущих - ещё быстрее. Это применимо для любых нелинейных уравнений.
метод касательных X_i+1 = X_i - Y/(dY/dx). Если мне не изменяет память, то надо начинать с границы участка X, где Y*(d²Y/dx²) < 0. Посмотрите в Инете

Добавлено через 1 час 33 минуты
geh, ваш код маленько странен для меня, Некие M N, а не проще ли просто пробежаться по Х и, когда найдется участок с переменой знака функции, то уточнять значение x хотя бы "половинкиным" делением?

echs · 09.08.2016, 08:05 **[ТС]**

Burk
Спасибо! Я очень Вам благодарен за ваше участие в этой
теме. Только понимаете, вопрос стоял несколько иначе.
Не просто найти корни, а найти РАЦИОНАЛЬНЫЕ корни.
То есть уравнение может иметь корни и ни одного рационального
Именно поэтому корни искались в виде p/q.

@Burk · 09.08.2016, 08:31

ну, если только рациональные, а не вещественные, тогда принимается

echs · 09.08.2016, 08:47 **[ТС]**

Burk
Я вас хорошо понял. Действительно в программировании
не различают вещественные и рациональные числа. Ибо
все числа и так рациональные, но их принято называть
вещественными. Мне надо было просто более точно
сформулировать вопрос.
"Найти корни уравнения, которые можно представить
в виде p/q, где p, q - целые числа"
Приношу Вам свои извинения. Я смотрел на это уравнение
с точки зрения математики, а не программировании. (Это мой прокол)

@Burk · 10.08.2016, 07:56

geh, извиняться не за что. Могу только порекомендовать проверить другой алгоритм, который мне пришел на ум.
Возможно он будет работать быстрее.
Находим вещественные корни уравнения (тот же метод касательных, хотя для разового применения метод безразличен), потом этот корень умножаем на целое число (i=2....n) и смотрим, чтобы результат был близок к целому с определенной точностью. Вы ведь тоже находите решение с определённой точностью

Добавлено через 26 минут
Уточнение: P₁ - дробная часть числа КОРЕНЬ * I
условие для рационального корня P₁ < Eps or 1-P₁ < Eps

Добавлено через 1 час 17 минут
geh, вопрос. А это PQ-доказательство справедливо только для кубических многочленов или для любой степени?

echs · 10.08.2016, 08:03 **[ТС]**

Burk
Спасибо! Как вы верно подметили, все вычисления
приближенные. И я тоже подумал, а что если вещественное
число обратить в рациональную дробь. Есть даже математическая
теория "цепные дроби". Но вы предложили более простой вариант.
Спасибо!

Добавлено через 4 минуты
Burk
"P/Q" - доказательство справедливо для всех
многочленов с целыми коэффициентами.

@Burk · 10.08.2016, 09:43

geh, и вам спасибо за расширение моих знаний, про цепные дроби я маленько знаю и тоже мелькнула мысль как-то их применить

Добавлено через 1 час 18 минут
geh, а если порассуждать далее. Корни уравнения должны лежать в интервал -P, P судя по вашему алгоритму поиска. А теперь представим себе многочлен с нецелыми коэффициентами. Можно оценить этот интервал, заменив нецелые коэффициенты целыми?

echs · 10.08.2016, 11:34 **[ТС]**

Burk
Дано уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$
Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max(|a_{n-1}|,...,|a_1|,|a_0|)$
Тогда все корни этого уравнения удовлетворяют неравенству
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x_i|<\frac{M}{|a_n|}+1$
примечание
Этому неравенству удовлетворяют даже модули
комплексных корней.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	[В процессе разработки] SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек SDL3 и Box2D из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .
Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	08.08.2016, 09:07
	не понял в чём вопрос 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	08.08.2016, 15:13 [ТС]
	Burk Я не задал явно вопроса. Но вопрос такой. 1. Верно ли данное решение? 2. Насколько разумно это решение? То есть, может эту задачу следует решать иным способом. Например метод половинного деления 3. Ваше личное мнение? (Что бы вы еще могли сказать) 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	09.08.2016, 07:30
	Сообщение было отмечено echs как решение Решение geh, более быстрый метод это метод касательных, а можно еще применить комбинацию методов касательных и секущих - ещё быстрее. Это применимо для любых нелинейных уравнений. метод касательных X_i+1 = X_i - Y/(dY/dx). Если мне не изменяет память, то надо начинать с границы участка X, где Y(d²Y/dx²) < 0. Посмотрите в Инете Добавлено через 1 час 33 минуты* geh, ваш код маленько странен для меня, Некие M N, а не проще ли просто пробежаться по Х и, когда найдется участок с переменой знака функции, то уточнять значение x хотя бы "половинкиным" делением? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	09.08.2016, 08:05 [ТС]
	Burk Спасибо! Я очень Вам благодарен за ваше участие в этой теме. Только понимаете, вопрос стоял несколько иначе. Не просто найти корни, а найти РАЦИОНАЛЬНЫЕ корни. То есть уравнение может иметь корни и ни одного рационального Именно поэтому корни искались в виде p/q. 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	09.08.2016, 08:31
	ну, если только рациональные, а не вещественные, тогда принимается 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	09.08.2016, 08:47 [ТС]
	Burk Я вас хорошо понял. Действительно в программировании не различают вещественные и рациональные числа. Ибо все числа и так рациональные, но их принято называть вещественными. Мне надо было просто более точно сформулировать вопрос. "Найти корни уравнения, которые можно представить в виде p/q, где p, q - целые числа" Приношу Вам свои извинения. Я смотрел на это уравнение с точки зрения математики, а не программировании. (Это мой прокол) 0

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	10.08.2016, 07:56
	Сообщение было отмечено echs как решение Решение geh, извиняться не за что. Могу только порекомендовать проверить другой алгоритм, который мне пришел на ум. Возможно он будет работать быстрее. Находим вещественные корни уравнения (тот же метод касательных, хотя для разового применения метод безразличен), потом этот корень умножаем на целое число (i=2....n) и смотрим, чтобы результат был близок к целому с определенной точностью. Вы ведь тоже находите решение с определённой точностью Добавлено через 26 минут Уточнение: P₁ - дробная часть числа КОРЕНЬ * I условие для рационального корня P₁ < Eps or 1-P₁ < Eps Добавлено через 1 час 17 минут geh, вопрос. А это PQ-доказательство справедливо только для кубических многочленов или для любой степени? 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	10.08.2016, 08:03 [ТС]
	Burk Спасибо! Как вы верно подметили, все вычисления приближенные. И я тоже подумал, а что если вещественное число обратить в рациональную дробь. Есть даже математическая теория "цепные дроби". Но вы предложили более простой вариант. Спасибо! Добавлено через 4 минуты Burk "P/Q" - доказательство справедливо для всех многочленов с целыми коэффициентами. 1

@Burk 1847 / 1162 / 354 Регистрация: 11.07.2014 Сообщений: 4,107
	10.08.2016, 09:43
	geh, и вам спасибо за расширение моих знаний, про цепные дроби я маленько знаю и тоже мелькнула мысль как-то их применить Добавлено через 1 час 18 минут geh, а если порассуждать далее. Корни уравнения должны лежать в интервал -P, P судя по вашему алгоритму поиска. А теперь представим себе многочлен с нецелыми коэффициентами. Можно оценить этот интервал, заменив нецелые коэффициенты целыми? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	10.08.2016, 11:34 [ТС]
	Burk Дано уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$ Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max(\|a_{n-1}\|,...,\|a_1\|,\|a_0\|)$ Тогда все корни этого уравнения удовлетворяют неравенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|x_i\|<\frac{M}{\|a_n\|}+1$ примечание Этому неравенству удовлетворяют даже модули комплексных корней. 1