Несмещённая оценка дисперсии

@Vova12 · Регистрация: 25.06.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста решить задачу:

Пусть x₁,...,x_i,...,x_n - выборка из генеральной совокупности. Вычислить значение k, чтобы получить несмещённую оценку дисперсии
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sigma}^{2} = k\sum_{i=1}^{n-1}{({x}_{i+1} - {x}_{i})}^{2}$

Никак не могу преобразовать её =(

@myn · 25.06.2014, 21:15

При нахождении мат. ожидания от этой статистики $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\left(\hat{\sigma} ^2 \right)$ (т.к. это выборочная оценка она, кстати, не может обозначаться как параметр распределения - должна быть крышечка, тильда, звездочка или спец. обозначение, S например) в скобках прибавьте и вычтите мат. ожидание $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu$ и раскройте квадрат разности.

@Vova12 · 26.06.2014, 15:42 **[ТС]**

myn, спасибо, но у меня возникают проблемы с самим преобразованием.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left(\left[x_{i+1}-\mu \right]+\left[\mu -x_{\dot{i}}\right]\right)^{2} = k\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left(\left[x_{i+1}-\mu \right]^{2}+\left[x_{i}-\mu \right]^{2}-2\left[x_{i+1}-\mu \right]\left[x_{i}-\mu \right]\right)=$
Затем после внесения суммы под скобки
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=k\left(n\sigma ^{2}-\left[x_{1}-\mu \right]^{2}+n\sigma ^{2}-\left[x_{n}-\mu \right]^{2}-2\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left[x_{i+1}-\mu \right]\left[x_{i}-\mu \right]\right)$

Не знаю что можно сделать с последней суммой

@myn · 26.06.2014, 20:24

Во-первых, много странностей. Где знак мат. Ожидания? Откуда тогда взялась дисперсия, если его нет. А про последнее слагаемое - надо вспомнить что такое мат. Ожидание от такого произведения центрированных случайных величин

Добавлено через 1 минуту
И слагаемых в сумме не n, a n-1

@Vova12 · 26.06.2014, 22:45 **[ТС]**

myn,
переписал
После того, как я внёс сумму под скобки, я прибавил и отнял (x[1] - u)^2 к первому и (x[n] - u)^2 ко второму слагаемому, чтобы сумма была до n, а потом ещё домножил и поделил на n оба слагаемых, отсюда и получилась дисперсия. Конечно может быть зря я так сделал)
Что-то я не очень понял про центрированную случайную величину... тоесть последняя сумма будет равно нулю?

@myn · 27.06.2014, 01:40

Ну да, все верно теперь
То что вы отняли - даст еще одну дисперсию сигма квадрат и их все равно будет (n-1) штук

так что отнимать не надо было ничего))
А мат. Ожидание произведения центрированных св (св, из которых вычли их матожидание) - это ничто иное, как ковариация. Т.к. выборка случайна и все xi независимы, ковариация равна нулю.

Добавлено через 16 минут
Мне кажется, вы что-то недопонимаете с дисперсией.. Ваши рассуждения про n...
Доказательство основано на том что:
1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\left(X-\mu \right)^2=\sigma ^2$
2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\left(\sum_{i=1}^{n-1} (X_i-\mu)^2 \right)= \sum_{i=1}^{n-1} E(X_i-\mu)^2 =\sum_{i=1}^{n-1} \sigma ^2 =(n-1)\sigma ^2$

@Vova12 · 27.06.2014, 18:50 **[ТС]**

оу, я действительно что-то не понимал про дисперсию)
Получается ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2k{\sigma}^{2} (n-1)$ и отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k = 1/2{\sigma}^{2} (n-1)$ ?
Кстати, эта оценка не должна совпадать с обычной несмещённой оценкой дисперсии?
Извиняюсь за помарки)

@myn · 28.06.2014, 16:26

Вы еще кое-что не понимаете про несмещенность)))
Оценка параметра называется несмещенной, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. в среднем все полученные выборочные оценки дают параметр, никуда не смещается ничего, т.е.:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\left(\hat{\sigma}^2 \right)=\sigma^2$

Поэтому, чтобы оценка была несмещенной, ваша константа д.б. равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\frac{1}{2(n-1)}$

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Vova12

Кстати, эта оценка не должна совпадать с обычной несмещённой оценкой дисперсии?

нет, это совсем другая оценка, только через наблюдения, а обычная несмещенная дисперсия считается через х среднее
несмещенных оценок м.б. много)))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Жизнь в неопределённости kumehtar 23.03.2026 Жизнь — это постоянное существование в неопределённости. Например, даже если у тебя есть список дел, невозможно дойти до точки, где всё окончательно завершено и больше ничего не осталось. В принципе,. . .	Модель здравоСохранения: работники работают быстрее после её введения. anaschu 23.03.2026 geJalZw1fLo Корпорация до введения программа здравоохранения имела много невыполненных работниками заданий, после введения программы количество заданий выросло. Но на выплатах по больничным это. . .	1С: Контроль уникальности заводского номера Maks 23.03.2026 Алгоритм контроля уникальности заводского (или серийного) номера на примере документа выдачи шин для спецтехники с табличной частью. Данные берутся из регистра сведений, по которому настроено. . .	Хочу заставить корпорации вкладываться в здоровье сотрудников: делаю мат модель здравосохранения anaschu 22.03.2026 e7EYtONaj8Y Z4Tv2zpXVVo https:/ / github. com/ shumilovas/ med2. git
1С: Программный отбор элементов справочника по группе Maks 22.03.2026 Установка программного отбора элементов справочника "Номенклатура" из модуля формы документа. В качестве фильтра для отбора справочника служит группа номенклатуры. Отбор по наименованию группы. . .	Как я обхитрил таблицу Word Alexander-7 21.03.2026 Когда мигает курсор у внешнего края таблицы, и нам надо перейти на новую строку, а при нажатии Enter создается новый ряд таблицы с ячейками, то мы вместо нервных нажатий Энтеров мы пишем любые буквы. . .	Krabik - рыболовный бот для WoW 3.3.5a AmbA 21.03.2026 без регистрации и смс. Это не торговля, приложение не содержит рекламы. Выполняет свою непосредственную задачу - автоматизацию рыбалки в WoW - и ничего более. Однако если админы будут против -. . .	1С: Программный отбор элементов справочника по значению перечисления Maks 21.03.2026 Установка программного отбора элементов справочника "Сотрудники" из модуля формы документа. В качестве фильтра для отбора служит значение перечислений. / / Событие "НачалоВыбора" реквизита на форме. . .

@Vova12 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.06.2014 Сообщений: 4

	Несмещённая оценка дисперсии 25.06.2014, 20:04. Показов 2205. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу: Пусть x₁,...,x_i,...,x_n - выборка из генеральной совокупности. Вычислить значение k, чтобы получить несмещённую оценку дисперсии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sigma}^{2} = k\sum_{i=1}^{n-1}{({x}_{i+1} - {x}_{i})}^{2}$ Никак не могу преобразовать её =( 0

@myn 832 / 679 / 101 Регистрация: 11.11.2012 Сообщений: 1,800
	25.06.2014, 21:15
	При нахождении мат. ожидания от этой статистики $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\left(\hat{\sigma} ^2 \right)$ (т.к. это выборочная оценка она, кстати, не может обозначаться как параметр распределения - должна быть крышечка, тильда, звездочка или спец. обозначение, S например) в скобках прибавьте и вычтите мат. ожидание $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu$ и раскройте квадрат разности. 1

@Vova12 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.06.2014 Сообщений: 4
	26.06.2014, 15:42 [ТС]
	myn, спасибо, но у меня возникают проблемы с самим преобразованием. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left(\left[x_{i+1}-\mu \right]+\left[\mu -x_{\dot{i}}\right]\right)^{2} = k\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left(\left[x_{i+1}-\mu \right]^{2}+\left[x_{i}-\mu \right]^{2}-2\left[x_{i+1}-\mu \right]\left[x_{i}-\mu \right]\right)=$ Затем после внесения суммы под скобки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=k\left(n\sigma ^{2}-\left[x_{1}-\mu \right]^{2}+n\sigma ^{2}-\left[x_{n}-\mu \right]^{2}-2\sum \limits_{i=1}^{n-1} \left[x_{i+1}-\mu \right]\left[x_{i}-\mu \right]\right)$ Не знаю что можно сделать с последней суммой 0

@myn 832 / 679 / 101 Регистрация: 11.11.2012 Сообщений: 1,800
	26.06.2014, 20:24
	Во-первых, много странностей. Где знак мат. Ожидания? Откуда тогда взялась дисперсия, если его нет. А про последнее слагаемое - надо вспомнить что такое мат. Ожидание от такого произведения центрированных случайных величин Добавлено через 1 минуту И слагаемых в сумме не n, a n-1 0

@Vova12 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.06.2014 Сообщений: 4
	26.06.2014, 22:45 [ТС]
	myn, переписал После того, как я внёс сумму под скобки, я прибавил и отнял (x[1] - u)^2 к первому и (x[n] - u)^2 ко второму слагаемому, чтобы сумма была до n, а потом ещё домножил и поделил на n оба слагаемых, отсюда и получилась дисперсия. Конечно может быть зря я так сделал) Что-то я не очень понял про центрированную случайную величину... тоесть последняя сумма будет равно нулю? 0

@myn 832 / 679 / 101 Регистрация: 11.11.2012 Сообщений: 1,800
	27.06.2014, 01:40
	Сообщение было отмечено Vova12 как решение Решение Ну да, все верно теперь То что вы отняли - даст еще одну дисперсию сигма квадрат и их все равно будет (n-1) штук так что отнимать не надо было ничего)) А мат. Ожидание произведения центрированных св (св, из которых вычли их матожидание) - это ничто иное, как ковариация. Т.к. выборка случайна и все xi независимы, ковариация равна нулю. Добавлено через 16 минут Мне кажется, вы что-то недопонимаете с дисперсией.. Ваши рассуждения про n... Доказательство основано на том что: 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\left(X-\mu \right)^2=\sigma ^2$ 2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\left(\sum_{i=1}^{n-1} (X_i-\mu)^2 \right)= \sum_{i=1}^{n-1} E(X_i-\mu)^2 =\sum_{i=1}^{n-1} \sigma ^2 =(n-1)\sigma ^2$ 1

@Vova12 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.06.2014 Сообщений: 4
	27.06.2014, 18:50 [ТС]
	оу, я действительно что-то не понимал про дисперсию) Получается ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2k{\sigma}^{2} (n-1)$ и отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k = 1/2{\sigma}^{2} (n-1)$ ? Кстати, эта оценка не должна совпадать с обычной несмещённой оценкой дисперсии? Извиняюсь за помарки) 0

Несмещённая оценка дисперсии

Решение