Производящая функция моментов (Moment generating function)

@K_A · Регистрация: 14.05.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

На сайте википедии написано "Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов M(t), то моменты могут быть вычислены по следующей формуле"

Ссылка: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%BD%D1%8B

Мой вопрос:

1) почему моменты первого, второго и т.д. порядков вычисляются именно для t=0, а не, предположим, для t=5 .....

2) производящая функция моментов определяется только в окрестности нуля получается, в других окрестностях она не существует?

Где бы я не смотрела, всюду производящая функция моментов рассчитывается для t=0 ....

Заранее спасибо за разъяснения!

@Mysterious Light · 17.04.2018, 22:42

Давайте подставим и посмотрим.

Пусть некоторая случайная величина X имеет распределение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{P}$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{M}$ обозначает матожидание.

Производящая функция случайной величины:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(t) = \mathbb{M} e^{tX} = \int e^{tx} \mathbb{P}(dx)$
первое равенство по опр. производящей функции, второе по опр. матожидания.

Значение производящей функции в нуле:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(0) = \mathbb{M} e^{0X} = \mathbb{M} 1 = 1$

Общий вид первой производной (при выполнении определённых условий)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M'(t) = \frac{d}{dt} \mathbb{M} e^{tX} = \frac{d}{dt} \int e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \int \frac{d}{dt} e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \int x e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \mathbb{M} X e^{tX}$
Значение в нуле:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M'(0) = \mathbb{M} X e^{0X} = \mathbb{M} X$
Внезапно, M'(0) это матожидание рассматриваемого распределения.

Собственно, легко показать, что k-я производная M в точке t=0 выражается той же формулой, что k-й момент.

Вторая часть вопроса:
Производящая функция может быть (не)определена в любых точках, всё определяется (не)существованием вышезаписанного интеграла.
Если M определена в окрестности некоторого t, то вблизи этого t можно проносить дифференцирование под интеграл, что было сделано выше.
Я не эксперт в вопросе формальных условий, при которых возможно дифференцировать интерграл по параметру, тем паче когда интеграл не обязательно риманов. Возможно, условие определённости в окрестности действительно достаточно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Программа принимает математическое выражение в виде строки и выдаёт его производную в виде строки и вычисляет значение производной при заданном х Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) -. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@K_A 1 / 1 / 0 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 21

	Производящая функция моментов (Moment generating function) 17.04.2018, 21:02. Показов 903. Ответов 1 Метки нет (Все метки) На сайте википедии написано "Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов M(t), то моменты могут быть вычислены по следующей формуле" Ссылка: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%BD%D1%8B Мой вопрос: 1) почему моменты первого, второго и т.д. порядков вычисляются именно для t=0, а не, предположим, для t=5 ..... 2) производящая функция моментов определяется только в окрестности нуля получается, в других окрестностях она не существует? Где бы я не смотрела, всюду производящая функция моментов рассчитывается для t=0 .... *Заранее спасибо за разъяснения!* 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,204 Записей в блоге: 24
	17.04.2018, 22:42
	Давайте подставим и посмотрим. Пусть некоторая случайная величина X имеет распределение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{P}$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{M}$ обозначает матожидание. Производящая функция случайной величины: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(t) = \mathbb{M} e^{tX} = \int e^{tx} \mathbb{P}(dx)$ первое равенство по опр. производящей функции, второе по опр. матожидания. Значение производящей функции в нуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(0) = \mathbb{M} e^{0X} = \mathbb{M} 1 = 1$ Общий вид первой производной (при выполнении определённых условий) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M'(t) = \frac{d}{dt} \mathbb{M} e^{tX} = \frac{d}{dt} \int e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \int \frac{d}{dt} e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \int x e^{tx} \mathbb{P}(dx) = \mathbb{M} X e^{tX}$ Значение в нуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M'(0) = \mathbb{M} X e^{0X} = \mathbb{M} X$ Внезапно, M'(0) это матожидание рассматриваемого распределения. Собственно, легко показать, что k-я производная M в точке t=0 выражается той же формулой, что k-й момент. Вторая часть вопроса: Производящая функция может быть (не)определена в любых точках, всё определяется (не)существованием вышезаписанного интеграла. Если M определена в окрестности некоторого t, то вблизи этого t можно проносить дифференцирование под интеграл, что было сделано выше. Я не эксперт в вопросе формальных условий, при которых возможно дифференцировать интерграл по параметру, тем паче когда интеграл не обязательно риманов. Возможно, условие определённости в окрестности действительно достаточно. 0