Найти вероятность выигрыша для игрока А

@taoariya · Регистрация: 09.10.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Три игрока а, в, с участвуют в игре по схеме. Сначала играет в и в, затем победитель с с и т. Д., т.е. В каждом туре играет победитель предыдущего тура и игрок, не игравший в предыдущего туре. Игра продолжается до двух побед подряд одного из игроков. Найти вероятность выигрыша для игрока А, если все игроки имеют одинаковую успешность.

Байт · 22.01.2020, 11:45

Сообщение от taoariya

Сначала играет в и в,

Тут, наверное, описочка

@taoariya · 22.01.2020, 11:46 **[ТС]**

Ох, да, ошибка. Сначала играют а и в

Байт · 22.01.2020, 11:57

Имхо, там должна получится геометрическая прогрессия типа 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + ...
Ее сумма = 1/3
Что немного странно. Ибо из общих соображений шансы а и в должны быть равны, а шансы с чуток поменьше.
Видимо, где-то общие соображения слегка хромают...

Добавлено через 2 минуты
А вот нет ли ненулевой вероятности, что игра не кончится никогда?

@taoariya · 22.01.2020, 12:00 **[ТС]**

Честно, не знаю. Но мне кажется, что такое возможно.

@SSC · 22.01.2020, 12:36

Моделирование дает
PA=PB=0.357143
PC=0.285714

Байт · 22.01.2020, 14:08

Сообщение от SSC

Моделирование дает

Да, сумма близка к 1
И вероятность бесконечной игры = 1/2*1/2*1/2 ... -> 0
Тогда, если мои соображения и расчеты в посте 4 верны, получается PA = PB = PC = 1/3
Но интуитивно-то ясно, что шансы С ниже...
Тут могут такие альтернативы.
1. Неверны интуиция и ваша модель.
2. Неверны мои соображения и расчеты
Я больше склоняюсь к альтернативе 2. Но в чем же ошибка?

Добавлено через 14 минут
Заметил что
PC=0.285714 = 2/7
PA=PB=0.357143 = 5/14

Добавлено через 36 минут
Да, я был не прав.
Вот какие последовательности приводят к победе "а"

Code
1
2
3
4
5
6
Игроки Выигр Игроки Выигр Игроки Выигр
  ав         а         ав        в         ав        а
  ас         а         вс        с         ас        с
                       са        а         св        в
                       ав        а         ва        а
                                           ас        а

А это уже дает 1/4 + 1/16 + 1/32
Следующая последовательность, приводящая к победе "а" в 7-м туре
(ав)в - (вс)с - (са)а - (ав)в - (вс)с - (са)а - (ав)а
дает + 1/128
Аналогично, в 8-м туре + 1/258
Получается что-то вроде 1/4 + 3/32 + 3/256 +
Эту прогрессию тоже можно посчитать, и, похоже, она даст результат, совпадающий с моделированием уважаемого SSC,

Добавлено через 26 минут
Тут 1/4 стоит особняком, потому что в 1-м туре можно себе позволить и проиграть. В последующих это приводит к победе соперника в турнире. У "с" такой послабки нет.

@jogano · 23.01.2020, 00:57

Можно применить такую схему для перехода между играми (см. рис.)
Игра начинается в верхней вершине треугольника. По условию вероятность перехода по каждой из 6-и стрелок по 1/2.
Чтобы выиграл игрок а два раза подряд, необходимо сделать подряд два перехода - по левой синей и левой красной стрелке, или в обратном порядке, причём внутри игры не должно быть таких же переходов подряд по двум противоположным стрелкам (иначе победит другой игрок и игра закончится). Для определения вероятности победы игрока а рассматриваем два случая:
1) синий контур (обход против часовой стрелки). Тогда вероятность победы будет равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{8^2} \cdot \frac{1}{4}+...=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7}=\frac{2}{7}$ . Здесь 1/8 - вероятность обойти полный круг из верхней вершины в неё же, 1/4 - вероятность в конце каждого такого круга пройти по левой синей стрелке и затем по левой красной.
2) красный контур (обход по часовой стрелке). Вероятность победы а в этом случае равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2^8} \cdot \frac{1}{4}+...=\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{16} \cdot \frac{8}{7}=\frac{1}{14}$
Сумма двух вероятностей 2/7+1/14=5/14.
В силу симметрии игры для игрока b вероятность победить та же. Для игрока с 1-5/14-5/14=4/14.

@jogano · 23.01.2020, 01:06

Более того, эту игру можно обобщить, если вероятности побед не одинаковы и задаются таблицей (слева - победитель, сверху - проигравший):

	a	b	c
a	---	p1	p2
b	1-p1	---	p3
c	1-p2	1-p3	---

На эти три вероятности pi не накладывается никаких других ограничений, кроме нахождения каждой от 0 до 1.
Тогда вероятность победы а , применяя тот же подход, равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p_1p_2}{1-p_1\left(1-p_2 \right)p_3}+\frac{p_1\left(1-p_1 \right)p_2\left(1-p_3 \right)}{1-\left(1-p_1 \right)p_2\left(1-p_3 \right)}$
Вероятность победы b равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p_1\left(1-p_1 \right)\left(1-p_2 \right)p_3}{1-p_1\left(1-p_2 \right)p_3}+\frac{\left(1-p_1 \right)p_3}{1-\left(1-p_1 \right)p_2\left(1-p_3 \right)}$

Байт · 23.01.2020, 10:39

Сообщение от jogano

эту игру можно обобщить,

По жизни напрашивается еще одно обобщение. Мы когда-то играли по такой схеме в бадмингтон. Когда собиралось всего трое. Но это игра, требующая существенных затрат энергии. И победитель очередной партии был уже несколько измотан. И его шансы, и шансы отдохнувшего игрока были разными. Подсчитать по схеме, предложенной уважаемым jogano, наверное, несложно.
Но тут вполне реальной становится ненулевая вероятность бесконечного турнира.

@SSC · 23.01.2020, 10:52

Сообщение от Байт

Подсчитать по схеме, предложенной уважаемым jogano, наверное, несложно.

Байт, Ваша задача несколько сложнее, чем рассмотренная jogano, т.к. вероятности победы а во встречах a-b и b-a разные.
Поэтому после выяснения исхода 1-ой встречи a-b (кстати еще с другой вероятностью выигрыша а, тк оба игрока отдохнувшие), надо для каждого исхода воспользоваться свое таблицей jogano для расчета вероятностей

Байт · 23.01.2020, 11:11

Сообщение от SSC

задача несколько сложнее,

Я думаю, что можно нарисовать подобную схему, только узлы будут описываться 3-мя элементами типа (a-b-a) Последний - кто свежий. Всего 6 узлов. Плюс еще начальный узел (a-b-0) с равной вероятностью выигрыша.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .

@taoariya 2 / 2 / 0 Регистрация: 09.10.2017 Сообщений: 132

	Найти вероятность выигрыша для игрока А 22.01.2020, 10:14. Показов 2903. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Три игрока а, в, с участвуют в игре по схеме. Сначала играет в и в, затем победитель с с и т. Д., т.е. В каждом туре играет победитель предыдущего тура и игрок, не игравший в предыдущего туре. Игра продолжается до двух побед подряд одного из игроков. Найти вероятность выигрыша для игрока А, если все игроки имеют одинаковую успешность. 0

@taoariya 2 / 2 / 0 Регистрация: 09.10.2017 Сообщений: 132
	22.01.2020, 11:46 [ТС]
	Ох, да, ошибка. Сначала играют а и в 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	22.01.2020, 11:57
	Имхо, там должна получится геометрическая прогрессия типа 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + ... Ее сумма = 1/3 Что немного странно. Ибо из общих соображений шансы а и в должны быть равны, а шансы с чуток поменьше. Видимо, где-то общие соображения слегка хромают... Добавлено через 2 минуты А вот нет ли ненулевой вероятности, что игра не кончится никогда? 0

@taoariya 2 / 2 / 0 Регистрация: 09.10.2017 Сообщений: 132
	22.01.2020, 12:00 [ТС]
	Честно, не знаю. Но мне кажется, что такое возможно. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.01.2020, 00:57
	Можно применить такую схему для перехода между играми (см. рис.) Игра начинается в верхней вершине треугольника. По условию вероятность перехода по каждой из 6-и стрелок по 1/2. Чтобы выиграл игрок а два раза подряд, необходимо сделать подряд два перехода - по левой синей и левой красной стрелке, или в обратном порядке, причём внутри игры не должно быть таких же переходов подряд по двум противоположным стрелкам (иначе победит другой игрок и игра закончится). Для определения вероятности победы игрока а рассматриваем два случая: 1) синий контур (обход против часовой стрелки). Тогда вероятность победы будет равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{8^2} \cdot \frac{1}{4}+...=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7}=\frac{2}{7}$ . Здесь 1/8 - вероятность обойти полный круг из верхней вершины в неё же, 1/4 - вероятность в конце каждого такого круга пройти по левой синей стрелке и затем по левой красной. 2) красный контур (обход по часовой стрелке). Вероятность победы а в этом случае равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2^8} \cdot \frac{1}{4}+...=\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{16} \cdot \frac{8}{7}=\frac{1}{14}$ Сумма двух вероятностей 2/7+1/14=5/14. В силу симметрии игры для игрока b вероятность победить та же. Для игрока с 1-5/14-5/14=4/14. Миниатюры 1