Вероятность вытащить "k" красных шаров из ящика, где "K" красных шаров (а всего "N")

В ящике N шаров, из них K красных, остальные черные. Вытаскиваем n шаров (случайным образом, без возврата). Какая вероятность, что k из них красные? Для решения используем одну из ключевых формул комбинаторики: количество способов вытащить n шаров из N без учета порядка вытаскивания (и без возврата) равно - это называется "число сочетаний из N по n". Доказательство легко найти в интернете. Для справки: , где N!=1*2*3...N (считается, что 0!=1)

Итак, общее количество способов (комбинаций) при вытаскивании n шаров из нашего ящика (неважно, какого цвета и в каком порядке) . Кто не понял, прочитайте предыдущий абзац. Теперь надо найти, сколько среди этих комбинаций содержат ровно k красных шаров ("нужные" комбинации).

Мысленно разложим шары в ящике на 2 кучи - в одной K красных шаров, в другой N-K черных.
Способов вытащить из первой кучи k красных шаров .
Соответственно, способов вытащить из второй кучи (n-k) черных шаров . Значит, общее количество "нужных" комбинаций, содержащих ровно k красных шаров из n выращенных равно (поскольку каждой такой комбинации соотвествует одна из комбинации "выбор k красных из K" и одна из комбинаций "выбор n-k черных из N-K".

Искомая вероятность - это отношение количества "нужных" комбинаций к общему числу комбинаций, т.е.

Вместо шаров могут быть карты, студенты, детали - что угодно..
Вместо "красных" шаров могут быть, масти, тузы, отличники, брак и т.д.

16

СkK у нас будет = 1 ?

0

zer0mail, Вы не будете возражать, если я дополню вашу темку примером? Уж больно часто такие задачки публикуют..

Пример. В ящике 10 шаров, из них 4 красных, остальные черные. Вытаскиваем 5 шаров (случайным образом, без возврата). Какая вероятность, что 2 из них красные?
Решение.
1 способ. Комбинаторика (изложенный выше).
Общее число вариантов - число способов вытащить 5 шаров из 10 - число сочетаний из 10 по 5:

Число благоприятных вариантов - число способов вытащить 2 красных из 4 имеющихся, умноженное на число способов вытащить еще оставшиеся 3 шара из 6 черных:

Вероятность искомого события А={из 5 извлеченных шаров будет ровно 2 красных} равна:


2 способ. Теоремы сложения-умножения
А={из 5 извлеченных шаров будет ровно 2 красных}

и таких С₅²=10 вариантов, в каком порядке могут доставаться 2 красных и 3 черных шарика.
где A_i - i-й красный шарик
Поэтому по теореме сложения для несовместных событий и теореме умножения для зависимых событий вероятность события А равна:

6

Решить такого вида задачу можно также в EXCEL с использованием статистической функуии ГИПЕРГЕОМЕТ, поскольку вероятность описывается гипергеометрическим распределением. Конечно, при этом надо знать формулы комбинаторики и понимать логику решения, но использование EXCEL может значительно облегчить расчёты, особенно при больших численных значениях исходных данных, например, при расчётах по статистическому контролю качества. Так, вероятность того, что в выборке из парти продукции не более 2 дефектных изделий, определяется суммой вероятностей того, что в выборке 0, 1 и 2 дефектных изделмя.
Если объём выборки не превышает 0,1 объёма партии, гипергеометрическое распределение можно с хорошим приближением заменить биномиальным (функция БИНОМРАСП). Если при этом доля дефектных изделий в партии не превышает 0,1, можно использовать распределение Пуассона (функция ПУАССОН).
Более подробно о расчётах по статистическому контролю качества можно посмотреть на http://statmetkach.com/lab2.html.

1

Если уж речь пошла об Экселе, то по функции ГИПЕРГЕОМЕТ можно всегда находить точное значение. В ней же можно задать интегральный вид, тогда сложение вероятностей вам и возвернётся.

1

Интегральный вид гипергеометрического распределения можно задать в последних версиях Excel при использовании функции ГИПЕРГЕОМ.РАСП. Но очень многие работают в версии 2003, где есть только ГИПЕРГЕОМЕТ, по которой рассчитывается лишь дифференциальная функция. Кроме того, у многих довольно старое "железо", в котором ГИПЕРГЕОМЕТ при больших значениях исходных данных не поддаётся расчёту. В этих случаях удобно БИНОМРАСП или ПУАССОН. При этом возникающая неточность, учитывая вероятностный характер результата, несущественна.

0

Сообщение от retros Интегральный вид гипергеометрического распределения можно задать в последних версиях Excel при использовании функции ГИПЕРГЕОМ.РАСП. Но очень многие работают в версии 2003, где есть только ГИПЕРГЕОМЕТ, по которой рассчитывается лишь дифференциальная функция.

Поставьте в последней строчке 1 вместо 0 и получите интегральную формулу.

0

Очевидно, Вы имеете в виду ГИПЕРГЕОМ.РАСП. В ГМПЕРГЕОМЕТ такой возможности нет. Почему часто необходимо использовать ГИПЕРГЕОМЕТ, БИНОМРАСП или ПУАССОН, я пояснил выше.

1

Странная штука получается. Три темы попали в раздел "важное!" и у них в сумме >20тыс просмотров. А "Спасибов" <20, т.е. меньше 1 на 1000 просмотров (КПД даже с паровозом не сравнить) .
Может, я не так пишу или не туда...

0

Всё так, спасибо. Но, видимо, многие спрашивающие или не находят (например, не хотят находить) эти статьи, или не хотят решать сами, или не могут понять, о чём вообще речь.

0

Я не про тех, кто не находит. Я про тех, кто просмотрел (их>20тыс). Может, я пишу не только не так и не туда, но и не тем?

0

Думаю, высокая посещаемость оттого, что много заходит просто любопытствующих, привлечённых заголовком "Важно". И потом, "Спасибо" ставят гораздо чаще за конкретное решение, а не за методику решения или объяснение общих положений. По-моему, всё на месте. Это только моё мнение.

0

Вот смотрите: у нас есть тот же пример с корзиной и шарами, но достаем мы их кучей, у них не существует порядка и они ничем не различаются. Единственное, что мы знаем, это состав текущей кучи. Рассмотрим второй вариант приведенного Вами решения.
Вот вопрос: почему мы должны складывать вероятности вариантов последовательностей или как в этом случае считать вероятности? Ведь по факту кучи и неразличимы.

0

но это разные варианты развития событий, которые приведут к благоприятному для нас варианту.

когда используете комбинаторику - берете шары кучей.

когда используем теоремы сложения-умножения - вы разбиваете ваше искомое сложное событие на комбинацию каких-то элементарных, которые к нему приведут. Т.е. рассматриваете их как некую последовательность во времени - "первым достали красный шар, вторым черный или первым черный, вторым красный".
потому что, если рассматривать два извлечения, и вероятности исходов таких событий как:
А₁="при вытаскивании 2 шаров будет один красный один черный"
А₂=" -//- два красных "
А₃=" - //- два черных"
пеовому варианту будет соответствовать два способа появления шаров: первый красный, второй черный ИЛИ первый черный, второй красный. И оба этих способа приведут к событию А₁.
А если вы не будете этого учитывать, вы просто совершенно несправедливо уменьшите вероятность появления такого событий в 2 раза.

0

Вам правильно говорят, что такие задачи легко решаются с помощью гипергеометрического распределения.

Например, чтобы вычислить вероятность в Wolfram Mathematica, нужно ввести:

(можно также воспользоваться функцией Probability, хотя она предназначена для более сложных задач, например, для расчета вероятности, что красных шаров будет >, <, >=, <= k и т.п. Если нам нужно посчитать вероятность, что ровно k шаров из вытащенных n будут красными, то достаточно обычной PDF).

Maple также способна рассчитать вероятность.

либо Опять же, для вероятности, что ровно k шаров будут красными, достаточно функции PDF, а для сложных случаев можно использовать Probability.

Если нет вышеперечисленных коммерческих СКА, то можно вычислить и с помощью бесплатной Maxima:

В Maxima нет функции Probability, поэтому можем использовать лишь функцию PDF. Для нашей задачи этого достаточно, но для сложных примеров нужно немного повозиться.

Например, представим ситуацию, что нужно вычислить вероятность того, что из вытащенных n шаров будет не более k красных (включительно).

В Mathematica можно легко написать:

В Maple тоже можно:

А вот в Maxima нужно проделать k сложений:

0