Наибольшее возможное значение вероятности

@Vlad1993 · Регистрация: 08.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Даны три попарно независимых события A, B, C, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность p, найти наибольшее возможное значение p.
Решение.
Так как события попарно независимы и Р(А)=P(B)=P(C)=р, также верно P(AB)=P(BC)=P(AC)=р^2 .
Обозначим P(A+B+C)=k. Выразим k через p, пользуясь теоремой сложения для трёх несовместных событий:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3p-p^2.
Решив это уравнение относительно k, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p= (1\pm(sqrt(1-4k/3)))/2 .$ .
Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1-sqrt(1-4k/3))/2$ ,то р достигает максимального значения 1/2 (при k=3/4 ).
Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1+sqrt(1-4k/3))/2$ , то, на первый взгляд, p $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 1/2 . Покажем, что допущение приводит к противоречию. Действительно, при условии, что 1-4k/3 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0; или, так как k=3p-p^2, при условии, что p^2-p+1/4 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0 . Отсюда p=1/2 .
Итак, наибольшее возможное значение 1/2.

Непонятно, почему из того, что p^2-p+1/4 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0 и p $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 1/2 следует что p=1/2. Мне кажется, что это неправильно. Как тогда решить задачу в случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1+sqrt(1-4k/3))/2$ ?

@algebraist · 01.06.2013, 21:16

Да никак не следует. Всеми любимый решебник Гмурмана

.

Вы, кстати, уравнение на k и p переписали неправильно: тройку потеряли. В этом единственном уравнении k=3p(1-p), и ничего не мешает p быть сколь угодно большим, а 1-p сколь угодно маленьким и наоборот. Искать противоречий следует из иных уравнений/неравенств. Например, куски B и C внутри A не должны пересекаться, поэтому если их оба вычесть, останется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq P(A \bar B \bar C)=P(A)-P(AB)-P(AC)=p-2p^2$ , откуда сразу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p\leq 1/2$ . Безо всяких корней.
Чтобы показать, что максимально возможное значение - это именно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p =1/2$ , а не ещё меньше, следует строить таковые события. Скажем, изобразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ в виде квадрата (для удобства), левую его половину обозвать A, верхнюю - B, а два квадратика вдоль главной диагонали - левый нижний и правый верхний - C. Вот события, удовлетворяющие условию.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Vlad1993 7 / 3 / 0 Регистрация: 08.08.2012 Сообщений: 63

	Наибольшее возможное значение вероятности 01.06.2013, 15:44. Показов 11411. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Даны три попарно независимых события A, B, C, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность p, найти наибольшее возможное значение p. Решение. Так как события попарно независимы и Р(А)=P(B)=P(C)=р, также верно P(AB)=P(BC)=P(AC)=р^2 . Обозначим P(A+B+C)=k. Выразим k через p, пользуясь теоремой сложения для трёх несовместных событий: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3p-p^2. Решив это уравнение относительно k, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p= (1\pm(sqrt(1-4k/3)))/2 .$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1-sqrt(1-4k/3))/2$ ,то р достигает максимального значения 1/2 (при k=3/4 ). Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1+sqrt(1-4k/3))/2$ , то, на первый взгляд, p $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 1/2 . Покажем, что допущение приводит к противоречию. Действительно, при условии, что 1-4k/3 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0; или, так как k=3p-p^2, при условии, что p^2-p+1/4 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0 . Отсюда p=1/2 . Итак, наибольшее возможное значение 1/2. Непонятно, почему из того, что p^2-p+1/4 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 0 и p $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\geq$ 1/2 следует что p=1/2. Мне кажется, что это неправильно. Как тогда решить задачу в случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=(1+sqrt(1-4k/3))/2$ ? 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	01.06.2013, 21:16
	Да никак не следует. Всеми любимый решебник Гмурмана . Вы, кстати, уравнение на k и p переписали неправильно: тройку потеряли. В этом единственном уравнении k=3p(1-p), и ничего не мешает p быть сколь угодно большим, а 1-p сколь угодно маленьким и наоборот. Искать противоречий следует из иных уравнений/неравенств. Например, куски B и C внутри A не должны пересекаться, поэтому если их оба вычесть, останется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq P(A \bar B \bar C)=P(A)-P(AB)-P(AC)=p-2p^2$ , откуда сразу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p\leq 1/2$ . Безо всяких корней. Чтобы показать, что максимально возможное значение - это именно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p =1/2$ , а не ещё меньше, следует строить таковые события. Скажем, изобразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ в виде квадрата (для удобства), левую его половину обозвать A, верхнюю - B, а два квадратика вдоль главной диагонали - левый нижний и правый верхний - C. Вот события, удовлетворяющие условию. 0