Задача про пары победителей

@vadim_2014 · Регистрация: 03.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дана корзина, в которой размещены и случайно перемешаны M шариков N цветов: M = s₁+s₂+...+s_N, где s_k – количество шариков цвета k. Ведущий делает 2 хода. На первом из корзины наугад извлекается один шарик, после чего все шары того же цвета, что и у извлечённого, удаляются из корзины. На втором ходе из корзины снова наугад извлекается один шарик. Цвета обоих выбранных на 1 и 2 ходах шариков считаются цветами-победителями.
Вопрос, какова (при заданных N, M и s₁...s_N) вероятность того, что i-ый цвет окажется цветом-победителем в игре.

Добавлено через 1 час 52 минуты
Кажется, рассчитал для частного случая - 3 цветов.
Пусть s₁, s₂, s₃ - количество шаров цветов A, B, C, соответственно.
Тогда вероятности для каждого цвета победить на 1 ходу составят P₁(A)=s₁/M, P₁(B)=s₂/M, P₁(C)=s₃/M.
C учётом того, что каждый цвет может быть не вытянут на 1 ходу, «дополнительные» вероятности для 2-го хода составят:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{2}(A)=\frac{{s}_{1}}{M-{s}_{2}}\times {P}_{1}(B) + \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{3}}\times {P}_{1}(C) - \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{2}}\times \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{3}}$

Т.е. вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий: выбор цвета А при выборе на 1 ходе цвета B и выбор цвета А при выборе на 1 ходе цвета C.
По аналогии получим формулы для P₂(B) и P₂(C).
Тогда P(A)=P₁(A)+P₂(A).
Аналогично вычислим и P(B), P(C). Причём, P(A)+P(B)+P(C)=2

Непонятно, как в общем случае будут считаться «дополнительные» вероятности для случая 4 и большего количества цветов?

@philat · 04.10.2013, 12:19

vadim_2014, Не очень понятно, что в вашей формуле для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(A)$ делает слагаемое с минусом. У меня получилось так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1(i) = \frac {s_i} {M}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(i) = \sum_{j=1, j\neq i}^{N}\frac {s_j} {M}*\frac {s_i} {M - s_j}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(i) = P_1(i) + P_2(i)$

@vadim_2014 · 04.10.2013, 16:27 **[ТС]**

Спасибо

Добавлено через 59 минут

Сообщение от philat

У меня получилось так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1(i) = \frac {s_i} {M}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(i) = \sum_{j=1, j\neq i}^{N}\frac {s_j} {M}*\frac {s_i} {M - s_j}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(i) = P_1(i) + P_2(i)$

Попробовал рассчитать для 3 цветов (N=3). M=10, s₁=2, s₂=3, s₃=5.
Получил P(1)=0.486, P(2)=0.675, P(3)=0.782.
Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum P(i) < 2$
Должна быть равна 2.

@philat · 05.10.2013, 00:09

vadim_2014, Из каких соображений Вы решили, что сумма вероятностей будет 2?

Добавлено через 26 минут
vadim_2014, Извините, что написал, не подумав. Но действительно, сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(i)$ будет равна двум. Честно, не охота считать все в десятичных дробях, поэтому просто приведу док-во для Вашего примера:
(если понять его, то можно и понять почему в общем случае искомая сумма будет равна двум)
Очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^n P_1(i) = 1$
Тогда, (0 введен для дальнейшего удобства)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(1) =\quad0\quad+ \frac {3} {10} * \frac {2} {7} + \frac {5} {10} * \frac {2} {5}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(2) = \frac {2} {10} * \frac {3} {8} \quad+ 0 \quad+\quad \frac {5} {10} * \frac {3} {5}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(3) = \frac {2} {10} * \frac {5} {8} + \frac {3} {10} * \frac {5} {7}+ 0$
(ссори за небольшую корявость, надо было сделать так, чтобы каждое слагаемое находилось ровно под тем что выше)
Тогда складывая в столбик, так чтобы первые слагаемые сложить с первыми, вторые со вторыми, третьи с третьими, получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^n P_2(i) = \frac {2} {10}+\frac {3} {10}+ \frac {5} {10}=\sum_{i=1}^n P_1(i) = 1$

@vadim_2014 · 09.10.2013, 10:19 **[ТС]**

Всё верно, неправильно просуммировал в 3-м сообщении)

Спасибо

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Изучаю kubernetes lagorue 13.01.2026 А пригодятся-ли мне знания kubernetes в России?	Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .
Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .

@vadim_2014 1 / 1 / 0 Регистрация: 03.10.2013 Сообщений: 8

	Задача про пары победителей 03.10.2013, 18:23. Показов 1176. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Дана корзина, в которой размещены и случайно перемешаны M шариков N цветов: M = s₁+s₂+...+s_N, где s_k – количество шариков цвета k. Ведущий делает 2 хода. На первом из корзины наугад извлекается один шарик, после чего все шары того же цвета, что и у извлечённого, удаляются из корзины. На втором ходе из корзины снова наугад извлекается один шарик. Цвета обоих выбранных на 1 и 2 ходах шариков считаются цветами-победителями. Вопрос, какова (при заданных N, M и s₁...s_N) вероятность того, что i-ый цвет окажется цветом-победителем в игре. Добавлено через 1 час 52 минуты Кажется, рассчитал для частного случая - 3 цветов. Пусть s₁, s₂, s₃ - количество шаров цветов A, B, C, соответственно. Тогда вероятности для каждого цвета победить на 1 ходу составят P₁(A)=s₁/M, P₁(B)=s₂/M, P₁(C)=s₃/M. C учётом того, что каждый цвет может быть не вытянут на 1 ходу, «дополнительные» вероятности для 2-го хода составят: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{2}(A)=\frac{{s}_{1}}{M-{s}_{2}}\times {P}_{1}(B) + \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{3}}\times {P}_{1}(C) - \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{2}}\times \frac{{s}_{1}}{M-{s}_{3}}$ Т.е. вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий: выбор цвета А при выборе на 1 ходе цвета B и выбор цвета А при выборе на 1 ходе цвета C. По аналогии получим формулы для P₂(B) и P₂(C). Тогда P(A)=P₁(A)+P₂(A). Аналогично вычислим и P(B), P(C). Причём, P(A)+P(B)+P(C)=2 Непонятно, как в общем случае будут считаться «дополнительные» вероятности для случая 4 и большего количества цветов? 0

@philat 112 / 112 / 16 Регистрация: 19.08.2013 Сообщений: 298
	04.10.2013, 12:19
	vadim_2014, Не очень понятно, что в вашей формуле для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(A)$ делает слагаемое с минусом. У меня получилось так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1(i) = \frac {s_i} {M}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(i) = \sum_{j=1, j\neq i}^{N}\frac {s_j} {M}*\frac {s_i} {M - s_j}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(i) = P_1(i) + P_2(i)$ 0

@philat 112 / 112 / 16 Регистрация: 19.08.2013 Сообщений: 298
	05.10.2013, 00:09
	vadim_2014, Из каких соображений Вы решили, что сумма вероятностей будет 2? Добавлено через 26 минут vadim_2014, Извините, что написал, не подумав. Но действительно, сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(i)$ будет равна двум. Честно, не охота считать все в десятичных дробях, поэтому просто приведу док-во для Вашего примера: (если понять его, то можно и понять почему в общем случае искомая сумма будет равна двум) Очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^n P_1(i) = 1$ Тогда, (0 введен для дальнейшего удобства) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(1) =\quad0\quad+ \frac {3} {10} * \frac {2} {7} + \frac {5} {10} * \frac {2} {5}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(2) = \frac {2} {10} * \frac {3} {8} \quad+ 0 \quad+\quad \frac {5} {10} * \frac {3} {5}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_2(3) = \frac {2} {10} * \frac {5} {8} + \frac {3} {10} * \frac {5} {7}+ 0$ (ссори за небольшую корявость, надо было сделать так, чтобы каждое слагаемое находилось ровно под тем что выше) Тогда складывая в столбик, так чтобы первые слагаемые сложить с первыми, вторые со вторыми, третьи с третьими, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^n P_2(i) = \frac {2} {10}+\frac {3} {10}+ \frac {5} {10}=\sum_{i=1}^n P_1(i) = 1$ 1

@vadim_2014 1 / 1 / 0 Регистрация: 03.10.2013 Сообщений: 8
	09.10.2013, 10:19 [ТС]
	Всё верно, неправильно просуммировал в 3-м сообщении) Спасибо 0