Посчитать интеграл по контуру

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как посчитать данный интеграл:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2 \pi i}\int_{C}^{}\frac{{e}^{z}dz}{{z}^{2}+{a}^{2}}$
Если C содержит внутри себя круг $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|z|\leq a$ .

У меня вышел ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{e}^{ia}}{2ia}$

А в ответах написано sin a/a. Там так непонятно и написано, то есть я не могу разобрать отношение ли это косинуса и а или это косинус отношения. Тем не менее ни к одному из двух я не смог свести свой ответ. Решал, используя интегральную формулу Коши.

@mathmichel · 17.04.2017, 10:39

Внутри контура не одна, а две особые точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pm ia$ , которые дают два слагаемых: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{ia}}{2ia}+\frac{e^{-ia}}{-2ia}=\frac{sina}{a}$ , которые и дают вышеуказанный ответ

@oobarbazanoo · 17.04.2017, 12:39 **[ТС]**

mathidiot, не могли бы Вы, пожалуйста, объяснить поподробнее почему так.

@mathmichel · 17.04.2017, 12:43

Вы взяли вычет только в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=ia$ , а надо ещё было взять в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-ia$ . Второй вычет получается точно так же, как был найден первый!

@oobarbazanoo · 17.04.2017, 12:54 **[ТС]**

mathidiot, странно, но мы не учили вычеты вовсе.

То есть, при интегрировании должны считать слагаемое для каждой особой точки из области по которой интегрируем, далее находить сумму полученных слагаемых. Верно?

@mathmichel · 17.04.2017, 13:08

Если я правильно понял, Вы сначала просто взяли простой контурный интеграл (контур по окружности фиксированного радиуса, например единичного) вокруг точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=ia$ . Точно также берете любой удобный контурный интеграл вокруг точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-ia$ . По теореме - большой контурный интеграл по области с несколькими особыми точками равен сумме маленьких контурных интегралов вокруг отдельных точек.

@oobarbazanoo · 17.04.2017, 13:22 **[ТС]**

mathidiot, контур по которому беру интеграл должен содержать только одну особую точку. Верно?

@Symon · 18.04.2017, 11:47

Сообщение от oobarbazanoo

контур по которому беру интеграл должен содержать только одну особую точку

Если внутри контура несколько особых точек и не проходили вычеты, то отделяете эти точки дополнительными контурами, заменяя один замкнутый несколькими. См. рис. Интеграл по исходному замкнутому контуру равен сумме интегралов по новым замкнутым контурам (докажите). К каждому контуру применяете теорему Коши.

@Symon · 18.04.2017, 11:49

Сообщение от Symon

См. рис.

@oobarbazanoo · 18.04.2017, 13:35 **[ТС]**

Сообщение от Symon

Интеграл по исходному замкнутому контуру равен сумме интегралов по новым замкнутым контурам (докажите).

Интеграл по хорде данного эллипса берётся два раза в противоположных направлениях. От того он равен нулю. Теперь только не ясно, как взять интеграл по куску эллипса.

@Symon · 18.04.2017, 14:30

Сообщение от oobarbazanoo

интеграл по куску эллипса.

Его и не надо брать. Применяйте т. Коши к каждому замкнутому контуру и со своей осорбой точкой и просуммируйте.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 02:14 **[ТС]**

Symon, если точек будет больше двух, то тот же принцип применять. Никаких там множителей или ещё чего-либо не добавится. Верно?

@Symon · 21.04.2017, 07:18

Сообщение от oobarbazanoo

Верно?

да.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Посчитать интеграл по контуру 17.04.2017, 00:14. Показов 3440. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как посчитать данный интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2 \pi i}\int_{C}^{}\frac{{e}^{z}dz}{{z}^{2}+{a}^{2}}$ Если C содержит внутри себя круг $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|z\|\leq a$ . У меня вышел ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{e}^{ia}}{2ia}$ А в ответах написано sin a/a. Там так непонятно и написано, то есть я не могу разобрать отношение ли это косинуса и а или это косинус отношения. Тем не менее ни к одному из двух я не смог свести свой ответ. Решал, используя интегральную формулу Коши. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11042 / 7346 / 3978 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,759
	17.04.2017, 10:39
	Внутри контура не одна, а две особые точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pm ia$ , которые дают два слагаемых: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{ia}}{2ia}+\frac{e^{-ia}}{-2ia}=\frac{sina}{a}$ , которые и дают вышеуказанный ответ 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	17.04.2017, 12:39 [ТС]
	mathidiot, не могли бы Вы, пожалуйста, объяснить поподробнее почему так. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11042 / 7346 / 3978 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,759
	17.04.2017, 12:43
	Вы взяли вычет только в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=ia$ , а надо ещё было взять в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-ia$ . Второй вычет получается точно так же, как был найден первый! 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	17.04.2017, 12:54 [ТС]
	mathidiot, странно, но мы не учили вычеты вовсе. То есть, при интегрировании должны считать слагаемое для каждой особой точки из области по которой интегрируем, далее находить сумму полученных слагаемых. Верно? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11042 / 7346 / 3978 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,759
	17.04.2017, 13:08
	Если я правильно понял, Вы сначала просто взяли простой контурный интеграл (контур по окружности фиксированного радиуса, например единичного) вокруг точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=ia$ . Точно также берете любой удобный контурный интеграл вокруг точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-ia$ . По теореме - большой контурный интеграл по области с несколькими особыми точками равен сумме маленьких контурных интегралов вокруг отдельных точек. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	17.04.2017, 13:22 [ТС]
	mathidiot, контур по которому беру интеграл должен содержать только одну особую точку. Верно? 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 02:14 [ТС]
	Symon, если точек будет больше двух, то тот же принцип применять. Никаких там множителей или ещё чего-либо не добавится. Верно? 0

Посчитать интеграл по контуру

Решение