Вычислить контурный интеграл

@2k_tm · Регистрация: 18.01.2021

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Ну могу решить пример по "Радиотехническим сигналам"

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{\left|z-1 \right|=1}\frac{dz}{1+z^4}$

@mathmichel · 19.01.2021, 09:34

Сначала находим нули знаменателя как корни уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^4=-1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_{1,2,3,4}=e^{\frac{\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}$ . Внутрь контура попадают первый и четвёртый корни. Дальше берём вычеты в этих точках, равные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}} \right)}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}} \right)}$ , соответственно. Складываем и умножаем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i$ , в итоге интеграл будет равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{2}\pi i$ . Примечание: при вычислении лучше воспользоваться тригонометрической формой, например: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}=\cos \left(\frac{\pi \cdot i}{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi \cdot i}{4} \right)$ .

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10450 / 6931 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,916
	19.01.2021, 09:34	2
	Сообщение было отмечено 2k_tm как решение Решение Сначала находим нули знаменателя как корни уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^4=-1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_{1,2,3,4}=e^{\frac{\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}},\: e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}$ . Внутрь контура попадают первый и четвёртый корни. Дальше берём вычеты в этих точках, равные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}} \right)}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{3\pi \cdot i}{4}} \right)\cdot \left(e^{\frac{7\pi \cdot i}{4}}-e^{\frac{5\pi \cdot i}{4}} \right)}$ , соответственно. Складываем и умножаем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i$ , в итоге интеграл будет равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{2}\pi i$ . Примечание: при вычислении лучше воспользоваться тригонометрической формой, например: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{\frac{\pi \cdot i}{4}}=\cos \left(\frac{\pi \cdot i}{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi \cdot i}{4} \right)$ . 1

Вычислить контурный интеграл

Решение