Степенной ряд в комплексной области

@dortonyan · Регистрация: 17.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Привет всем. Суть вопроса:
Необходимо найти область сходимости некого степенного ряда, содержащего комплексную переменную:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{{\left( z+i-1\right)}^{n}}{n(n+1)}$

Область сходимости нашел:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1< z+i <2$

А вот при попытке проверить сходимость на конце интервала с помощью признака Даламбера получил результат (для -1):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{}\frac{n(n+1){(i+1)}^{n+1}}{(n+1)(n+2)(i+1)^n}=i+1$

И как определить сходимость по такому результату?
Может есть литература какая более-менее доступная по такому вопросу? У меня сборник леций Д.Письменного, но там этот вопрос как-то не очень внятно разобран.

@Ellipsoid · 21.03.2013, 20:55

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1< z+i <2$

Тут должен быть модуль. Иначе никаких неравенств быть не может.

Добавлено через 4 минуты
Областью сходимости будет внутренность круга $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-1)^2+(y+1)^2=1$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=1$ , то ряд будет иметь вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n(n+1)}$ . Он сходится абсолютно (докажите, используя предельный признак сравнения).

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от dortonyan

Может есть литература какая более-менее доступная по такому вопросу? У меня сборник леций Д.Письменного, но там этот вопрос как-то не очень внятно разобран.

Посмотрите Сборник задач по высшей математике Лунгу (часть 2), там разобрано много примеров (параграф 3 главы 1).

@dortonyan · 21.03.2013, 21:00 **[ТС]**

Сообщение от Ellipsoid

Посмотрите Сборник задач по высшей математике Лунгу (часть 2), там разобрано много примеров (параграф 3 главы 1).

Спасибо, посмотрим.

@Ellipsoid · 21.03.2013, 21:14

Сообщение от Ellipsoid

там разобрано много примеров

Хотя по комплексным рядам - только один.

@helter · 21.03.2013, 21:47

Если от вас требуют исследовать сходимость и на окружности круга сходимости, я вам не завидую. Это сложно. Можете посмотреть кое-какие соображения в книге Шилов. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. 6.48 г.

@Ellipsoid · 21.03.2013, 22:02

Сообщение от helter

Если от вас требуют исследовать сходимость и на окружности круга сходимости, я вам не завидую.

А чего тут сложного? Разве вместо z нельзя подставить 1 и получить числовой ряд?

@helter · 21.03.2013, 22:08

Единицу - можно. Но там же континуум точек, да комплексных. Над нами так не издевались.

@Ellipsoid · 21.03.2013, 22:17

Не по теме:

Сообщение от helter

Но там же континуум точек

Не понял.

@helter · 21.03.2013, 22:49

Если исследовать, то всю окружность.

@dortonyan · 21.03.2013, 22:59 **[ТС]**

По заданию требуется определить просто область сходимости и проверить сходимость в трех точках.
Это я видимо разбежался проверять сходимость на концах интервала комплексной плоскости.

@Ellipsoid · 22.03.2013, 00:51

Сообщение от helter

Если исследовать, то всю окружность.

А я разве не это предложил сделать?

@helter · 22.03.2013, 01:15

А, а я подумал, для одной точки. Вроде как он должен абсолютно сходиться, мажорируется же. Забавно, ведь у аналитической функции на границе круга сходимости должна быть особая точка.

iifat · 23.03.2013, 16:22

Вот, нагуглил на

Не по теме:

другом форуме

. Ссылку не даю, ибо низзя!

Если в данной точке ряд сходится, то это ещё вовсе не означает, что это точка аналитичности. Из сходимости ряда и только сходимости никак не следует, что сумму ряда можно дифференцировать

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@dortonyan 57 / 1 / 1 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 31

	Степенной ряд в комплексной области 21.03.2013, 19:58. Показов 2350. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Привет всем. Суть вопроса: Необходимо найти область сходимости некого степенного ряда, содержащего комплексную переменную: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{{\left( z+i-1\right)}^{n}}{n(n+1)}$ Область сходимости нашел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1< z+i <2$ А вот при попытке проверить сходимость на конце интервала с помощью признака Даламбера получил результат (для -1): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{}\frac{n(n+1){(i+1)}^{n+1}}{(n+1)(n+2)(i+1)^n}=i+1$ И как определить сходимость по такому результату? Может есть литература какая более-менее доступная по такому вопросу? У меня сборник леций Д.Письменного, но там этот вопрос как-то не очень внятно разобран. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	21.03.2013, 21:47
	Если от вас требуют исследовать сходимость и на окружности круга сходимости, я вам не завидую. Это сложно. Можете посмотреть кое-какие соображения в книге Шилов. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. 6.48 г. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	21.03.2013, 22:08
	Единицу - можно. Но там же континуум точек, да комплексных. Над нами так не издевались. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	21.03.2013, 22:49
	Если исследовать, то всю окружность. 0

@dortonyan 57 / 1 / 1 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 31
	21.03.2013, 22:59 [ТС]
	По заданию требуется определить просто область сходимости и проверить сходимость в трех точках. Это я видимо разбежался проверять сходимость на концах интервала комплексной плоскости. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	22.03.2013, 01:15
	А, а я подумал, для одной точки. Вроде как он должен абсолютно сходиться, мажорируется же. Забавно, ведь у аналитической функции на границе круга сходимости должна быть особая точка. 0