Вывод формулы для расчета центробежной силы через закон Бернулли

Чтобы вывести формулу центробежной силы напрямую из закона Бернулли, нам нужно рассмотреть поведение микроскопического объема (кусочка) жидкости или газа во вращающемся потоке (вихре).
Сделать это в лоб для твердого тела не получится, так как закон Бернулли описывает движущуюся среду. Но для жидкой или
газообразной среды связь между центробежной силой и давлением Бернулли выводится математически безупречно.
Вот как выглядит этот вывод и итоговая формула.
Шаг 1. Исходная точка (Закон Бернулли)
Закон Бернулли для горизонтального потока идеальной несжимаемой
жидкости имеет вид:
Где p — статическое давление, ρ— плотность, υ — скорость.
Если мы рассмотрим два близких слоя во вращающемся вихре на расстоянии r и r + dr от центра, то изменение давления (dp) при изменении скорости (dυ) между этими слоями будет равно:

dp = - ρ* υ * dυ

Шаг 2. Условие вихря (Закон сохранения момента импульса)
В свободном вихре (например, в водовороте) скорость частиц распределена по закону потенциального вращения: чем ближе к
центру, тем быстрее. Математически это описывается как υ*r = const.
Если продифференцировать это выражение, мы получим связь изменения скорости и радиуса:

dυ = - (υ/r)* dr

Шаг 3. Объединение с законом Бернулли
Подставим полученное dυ в дифференциальную форму закона Бернулли:

dp = - ρ* υ* [(- υ/r)* dr ]; или dp = (ρ* υ²/r) *dr

Поделим обе части на dr и получим градиент давления Бернулли по радиусу:

dp/dr = ρ * υ²/ r

Шаг 4. Переход к силе («Центробежная сила равна...»)
Величина dp/dr показывает, с какой силой давление Бернулли «выталкивает» наружу или удерживает внутри элемент жидкости. Чтобы перейти от давления к чистой центробежной силе (Fцб), действующей на конкретный выделенный объем жидкости V (обладающий массой m = ρV), мы умножаем этот градиент на объем:

Fцб = (dp/dr)* V = (ρ* υ² / r) *V

Поскольку ρ*V = m (масса этого кусочка жидкости), мы получаем искомую формулу.
Итоговая формула
Если выражать центробежную силу через перепад давления Бернулли во вращающейся среде, формула выглядит так:

Fцб = (dp/dr)*(m/ρ)

Или, если расписать её в привычном виде через параметры потока Бернулли:

Fцб = m*υ²/r

Физический смысл этой формулы: Центробежная сила во вращающейся среде равна произведению изменения
Бернуллиевского давления по радиусу (dp/dr) на объем занимаемого телом пространства (m/ρ). То есть, центробежная
выталкивающая сила — это буквально сила, порождаемая радиальным градиентом давления, который возник из-за разности
скоростей течения по закону Бернулли.

Подробный разбор перехода от формулыFцб = (dp/dr)*(m/ρ) к формуле Fцб = m*υ²/r
Давайте разберем этот переход шаг за шагом. Это чистая математическая подстановка, где одно выражение раскрывает
физический смысл другого. Вся магия кроется в величине dr/dp (градиенте давления). Давайте распишем подробно, откуда она берется и как превращается в привычные нам переменные.
Шаг 5: Исходная позиция
Мы имеем формулу, связывающую силу с изменением Бернуллиевского давления:

Fцб = (dp/dr)*(m/ρ)

Наша задача — подставить вместо изменения давления dr/dp его значение, полученное из закона Бернулли.
Шаг 6: Вспоминаем закон Бернулли
Закон Бернулли для движущейся по окружности жидкости (или газа) связывает статическое давление (p) и динамическое давление (ρ*υ²/2 ):

p + ρ* υ²/2 = const

Если мы хотим посмотреть, как меняется давление (dp) при переходе от одного радиуса вращения к другому, нам нужно взять производную(дифференциал) от обеих частей этого уравнения:

dp+d( ρ* υ²/2) = 0

Так как плотность ρ — величина постоянная, выносим её за знак
дифференциала.
Производная от υ² равна 2υ*dυ. Двойки сокращаются, и мы получаем:

Dp +ρ*υ*dυ = 0 или dp = − ρ*υ*dυ

Шаг 7: Учитываем геометрию вращения (вихря)
Во вращающемся потоке скорость частиц зависит от расстояния до центра (r). По закону сохранения момента импульса, чем ближе к центру, тем быстрее вращается жидкость. Математически это постоянство момента импульса записывается так:

υ*r = const

Давайте найдем, как связаны изменения скорости (dυ) и радиуса (dr). Для этого выразим скорость:υ = const /r и возьмем производную по r: dυ = − (const/r²) * dr
Поскольку const/r — это и есть наша скорость υ, подставим её обратно:
dυ = − (υ/r) *dr
Шаг 8: Соединяем Бернулли и Геометрию вращения
Теперь подставим полученное значение dυ в наше уравнение из
Шага 2 (dp = − ρ*υ*dυ):

dp = − ρ*υ*(− (υ/r) *dr)

Минус на минус дает плюс, а υ превращается в υ²:

Dp = (ρ*υ²/r)* dr

Если мы перенесем dr в левую часть (поделим на него), мы получим точное выражение для dp/dr:

dp/dr = ρ*υ²/r

Шаг 9: Финальная подстановка в итоговую формулу
Возвращаемся к нашей самой первой формуле и вместо выражения dp/dr подставляем то, что мы только что вывели:

Fцб = (ρ*υ²/r)*m/ρ

Теперь посмотрите на получившееся выражение: плотность ρ (ро) есть и в числителе первого дроби, и в знаменателе второй. Они взаимно сокращаются. Остаются только масса, квадрат скорости и радиус:

Fцб = m*υ²/r

Что это означает простыми словами?
Плотность среды (ρ) полностью исчезла из финального уравнения. Это доказывает, что неважно, какая среда вращается (тяжелая вода или легкий газ) — перепад давления Бернулли подстраивается под плотность таким образом, что на выходе для
любого кусочка массы m центробежная сила всегда будет равна классической ньютоновской величине
Центробежная сила является реальной силой и может быть рассчитана по известной формуле: Fцб = m*υ²/r

Для справки: Первым, кто математически вывел и сформулировал закон центробежной силы, был голландский физик
и математик Христиан Гюйгенс в 1659 году (хотя опубликовал он её чуть позже, в 1673 году в труде «Часы с маятником»).Правда, Гюйгенс записал её не совсем так, как мы привыкли, а словами и в виде пропорций. В привычных нам буквах его закон утверждал, что центробежное ускорение прямо пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу: ac= v²/R.
Чуть позже, в 1687 году, Исаак Ньютон в своих знаменитых «Математических началах натуральной философии» связал это
ускорение с массой (F = ma[SUP]) и ввёл понятие центростремительной силы. Именно тогда формула обрела свой окончательный физический смысл: F = mv²/R

0

Сообщение от axti Однако их можно изящно связать, если рассмотреть модель твердотельного вращения (когда жидкость вращается вокруг оси как единое целое, имитируя поведение твердого тела) и применить уравнение Бернулли во вращающейся системе координат.

Ну вот, теперь окончательно приехали. Вы выводите выражение для центробежной силы, зная потенциал центробежных сил:

Сообщение от axti Во вращающейся с угловой скоростью ω системе координат уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости плотностью ρ дополняется потенциалом центробежных сил и принимает вид

Не смешно?

Если выражение для потенциала (в данном случае плотности потенциальной энергии) центробежной силы откуда-то уже известно, то центробежная сила получается проще - дифференцированием оного выражения и домножением на минус объем, все остальные пляски с вихрями и бубнами совершенно ни к чему.

0

Не пойму, что вас опять не устраивает. Можно проще? - Наверно. Главное что цель вывода формулы ЦБ силы через закон Бернулли достигнута!

0

Сообщение от axti Не пойму, что вас опять не устраивает.

Прискорбно.

1

Сообщение от axti Чтобы вывести формулу центробежной силы напрямую из закона Бернулли,. . . . . . Чуть позже, в 1687 году, Исаак Ньютон в своих знаменитых «Математических началах натуральной философии» связал это ускорение с массой (F = ma[SUP]) и ввёл понятие центростремительной силы. ......

- - - - -
Прежде чем писать теории определитесь: о какой силе вы нам хотите рассказать: о ЦБС или о ЦСС.
И еще надо бы знать теоретикам, что никакого закона Бернулли в природе нет.
Есть "уравнение" Бернулли для сказочной несжимаемой жидкости, которое утверждает, что давление в потоке жидкости не зависит от скорости потока (всегда равно константе).
Так вы лично о чем?

0