Интеграл от иррациональной функции

@comandante4 · Регистрация: 29.09.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброй ночи.
Требуется помощь: не знаю, как вообще подступиться к интегралу. Посоветуйте, пожалуйста, что-то хорошее.

Байт · 30.01.2018, 23:00

Сообщение от comandante4

что-то хорошее.

Первая подстановка напрашивается x = t² - 1
После нее остается внизу sqrt(2- u²) + еще кое что. Опять же напрашивается u = sqrt(2) sin t
От иррациональностей мы так освободимся.
Сделайте эти подстановки и покажите, что получается. Тогда будем думать дальше...

@jogano · 30.01.2018, 23:41

1-я замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\cos t, \: t \in \left[0;\pi \right]$ , сводим к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin t dt}{1+\sqrt{2} \sin \left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4} \right)}$ , вторая замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}$ , сводим к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int \frac{\cos 2u du}{1+\sqrt{2} \sin u }$ . Дальше в числителе применяем формулу косинуса двойного угла, сокращаем и получаем предответ через u. Возвращаясь к х, получаем ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{2}} arccos x+\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+C$

Байт · 30.01.2018, 23:57

jogano, Да, так здорово красивше! Но это надо еще увидеть, то есть иметь опыт, сравнимый с вашим. Я предложил "школьный", "лобовой" путь. Надеюсь, он приведет к похожему результату. Только пусть арифметику ТС возьмет на себя. Ну, вы же знаете...

И ему - не без пользы...

@jogano · 31.01.2018, 00:03

Байт, пусть ТС возблагодарит Создателя, что не написано вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-x}$ так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x-1}$ , тогда пришлось бы делать гиперболическую замену

Байт · 31.01.2018, 00:28

Сообщение от jogano

тогда пришлось бы делать гиперболическую замену

Да я бы на месте ТС на создателя даже бы слегка обиделся. С гиперболическими функциями работать легко и приятно (как правду говорить

) А если он с ними еще не знаком, так это знакомство совершенно необременительно, и опять же, приятно. И поучительно. В том смысле, что рядом есть двери, которые открываются от легкого толчка.

@golatin · 31.01.2018, 09:00

Умножить и разделить на сопряженное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}-\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$ . В знаменателе получится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2\sqrt{1-{x}^{2}}$ , и разбить на сумму трех интегралов, вроде, каждый из которых табличный.

@comandante4 2 / 2 / 0 Регистрация: 29.09.2016 Сообщений: 52
		1
	Интеграл от иррациональной функции 30.01.2018, 22:01. Показов 546. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Доброй ночи. Требуется помощь: не знаю, как вообще подступиться к интегралу. Посоветуйте, пожалуйста, что-то хорошее. Изображения 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	30.01.2018, 23:00	2
	Сообщение от comandante4 что-то хорошее. Первая подстановка напрашивается x = t² - 1 После нее остается внизу sqrt(2- u²) + еще кое что. Опять же напрашивается u = sqrt(2) sin t От иррациональностей мы так освободимся. Сделайте эти подстановки и покажите, что получается. Тогда будем думать дальше... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.01.2018, 23:41	3
	1-я замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\cos t, \: t \in \left[0;\pi \right]$ , сводим к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin t dt}{1+\sqrt{2} \sin \left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4} \right)}$ , вторая замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}$ , сводим к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int \frac{\cos 2u du}{1+\sqrt{2} \sin u }$ . Дальше в числителе применяем формулу косинуса двойного угла, сокращаем и получаем предответ через u. Возвращаясь к х, получаем ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{2}} arccos x+\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+C$ 2

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	30.01.2018, 23:57	4
	jogano, Да, так здорово красивше! Но это надо еще увидеть, то есть иметь опыт, сравнимый с вашим. Я предложил "школьный", "лобовой" путь. Надеюсь, он приведет к похожему результату. Только пусть арифметику ТС возьмет на себя. Ну, вы же знаете... И ему - не без пользы... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	31.01.2018, 00:03	5
	Байт, пусть ТС возблагодарит Создателя, что не написано вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-x}$ так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x-1}$ , тогда пришлось бы делать гиперболическую замену 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	31.01.2018, 00:28	6
	Сообщение от jogano тогда пришлось бы делать гиперболическую замену Да я бы на месте ТС на создателя даже бы слегка обиделся. С гиперболическими функциями работать легко и приятно (как правду говорить) А если он с ними еще не знаком, так это знакомство совершенно необременительно, и опять же, приятно. И поучительно. В том смысле, что рядом есть двери, которые открываются от легкого толчка. 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	31.01.2018, 09:00	7
	Умножить и разделить на сопряженное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}-\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$ . В знаменателе получится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2\sqrt{1-{x}^{2}}$ , и разбить на сумму трех интегралов, вроде, каждый из которых табличный. 3