Вычислить интеграл с применением интегральной формулы Коши

@Rikcoh · Регистрация: 12.03.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Задание во вложении
Ошибка в условии. e^(1/3z), а не "e^(1/3x)".

@mathmichel · 10.03.2016, 09:56

Уточните формулировку задачи, потому что с вычислением вычета в точке z=0 возникают очень большие проблемы с нахождением разложения в ряд Лорана из-за знаменателя. Последний разлагается в ряд: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{z}{3}+\frac{z^2}{9}-\frac{z^3}{27}+... \right)$ . А числитель имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z\cdot e^{\frac{1}{3z}}=z\left(1+\frac{1}{3z}+\frac{1}{2!{(3z)}^2}+... \right)$ . Чтобы получить вычет в точке z=0 теперь надо перемножить эти два ряда и выделить слагаемые с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z}$ , суммарный коэффициент и даст вычет в точке z=0. С вычислением вычета в точке z=3 проблем не возникает. Интеграл будет равен суммарным вычетам в этих точках, умноженным на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i$ . Кстати, значение вычета в точке z=0 определяется в основном третьим членом разложения в ряде для экспоненты и первым членом для знаменателя (погрешность единица в четвертой цифре)

@rurenko · 13.06.2016, 13:01

Разве Вы не почитали формулу Коши, ведь надо просто в числитель подынтегральной функции подставить z=-3 и умножить на 2iпи и это и будет ответ, знаменатель отбрасывайте.

@Rikcoh · 13.06.2016, 13:21 **[ТС]**

Сообщение от rurenko

Разве Вы не почитали формулу Коши, ведь надо просто в числитель подынтегральной функции подставить z=-3 и умножить на 2iпи и это и будет ответ, знаменатель отбрасывайте.

Вообще-то, читал. Хотелось бы ответы сравнить. У меня получилось 6iпи

Добавлено через 12 минут
Пересчитал. Там, на самом деле, получается ответ "0".

@rurenko · 13.06.2016, 13:32

-6iпиe^(-1/9)

@Rikcoh 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.03.2015 Сообщений: 15
		1
	Вычислить интеграл с применением интегральной формулы Коши 08.03.2016, 15:47. Показов 1589. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Задание во вложении Ошибка в условии. e^(1/3z), а не "e^(1/3x)". Изображения 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10450 / 6931 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,916
	10.03.2016, 09:56	2
	Уточните формулировку задачи, потому что с вычислением вычета в точке z=0 возникают очень большие проблемы с нахождением разложения в ряд Лорана из-за знаменателя. Последний разлагается в ряд: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{z}{3}+\frac{z^2}{9}-\frac{z^3}{27}+... \right)$ . А числитель имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z\cdot e^{\frac{1}{3z}}=z\left(1+\frac{1}{3z}+\frac{1}{2!{(3z)}^2}+... \right)$ . Чтобы получить вычет в точке z=0 теперь надо перемножить эти два ряда и выделить слагаемые с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z}$ , суммарный коэффициент и даст вычет в точке z=0. С вычислением вычета в точке z=3 проблем не возникает. Интеграл будет равен суммарным вычетам в этих точках, умноженным на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i$ . Кстати, значение вычета в точке z=0 определяется в основном третьим членом разложения в ряде для экспоненты и первым членом для знаменателя (погрешность единица в четвертой цифре) 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	13.06.2016, 13:01	3
	Разве Вы не почитали формулу Коши, ведь надо просто в числитель подынтегральной функции подставить z=-3 и умножить на 2iпи и это и будет ответ, знаменатель отбрасывайте. 0

@Rikcoh 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.03.2015 Сообщений: 15
	13.06.2016, 13:21 [ТС]	4
	Сообщение от rurenko Разве Вы не почитали формулу Коши, ведь надо просто в числитель подынтегральной функции подставить z=-3 и умножить на 2iпи и это и будет ответ, знаменатель отбрасывайте. Вообще-то, читал. Хотелось бы ответы сравнить. У меня получилось 6iпи Добавлено через 12 минут Пересчитал. Там, на самом деле, получается ответ "0". 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	13.06.2016, 13:32	5
	-6iпиe^(-1/9) 1