Определитель n порядка

@coder300 · Регистрация: 09.11.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пожалуйста, помогите решить. Преподаватель говорит, что он тривиальный и надо думать, но у меня что-то не выходит.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}{0}&&{a}_{2}&&{a}_{3}&&{a}_{4}&& ... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ {b}_{1}&&0&&{a}_{3}&&{a}_{4}&&... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ {b}_{1}&&{b}_{2}&&0&&{a}_{4}&&... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ &&\\&&\\...&&...&&...&&...&&...&&...&&...\\ &&\\&&\\{b}_{1}&&{b}_{2}&&{b}_{3}&&{b}_{4}&&... &&{0}&&{a}_{n} \\ {b}_{1}&&{b}_{2}&&{b}_{3}&&{b}_{4}&&... &&{b}_{n-1}&&{0} \end{vmatrix}$

@palva · 04.12.2013, 18:13

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? D_n=\begin{vmatrix}0&a_2&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&0&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&b_2&0&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\\,&\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\&\\b_1&b_2&b_3&b_4&\ldots&0&a_n\\b_1&b_2&b_3&b_4&\ldots&b_{n-1}&0\end{vmatrix}$
Из последней строки вычитаем предпоследнюю, из предпоследней вычитаем третью с конца и т. д. до верха матрицы. У нас останется неизменной первая строка, а остальные строки будут содержать по два ненулевых элемента.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? D_n=\begin{vmatrix}0&a_2&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&-a_2&0&0&\ldots&0&0\\0&b_2&-a_3&0&\ldots&0&0\\&\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\&\\0&0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\\0&0&0&0&\ldots&b_{n-1}&-a_n\end{vmatrix}$
Раскладываем по последнему столбцу. Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}b_1\cdots b_{n-1}a_n-D_na_n$
Далее последовательно выписываем, проверяя первые строки непосредственным вычислением, и догадываясь, каким будет общий закон:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \\D_1=0\\ D_2=-b_1a_2\\ D_3=b_1b_2a_3+b_1a_2a_3\\ \ldots\\ D_n=(-1)^{n+1}(b_1\cdots b_{n-1}a_n+b_1\cdots b_{n-2}a_{n-1}a_n+b_1a_2\cdots a_n)$
В последней строке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ слагаемых. Ответ можно представить при помощи символов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\prod\cdot\prod$

Добавлено через 7 минут
Поправка:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}b_1\cdots b_{n-1}a_n-D_{n-1}a_n$

Добавлено через 5 часов 8 минут
Еще одна поправка окончательного ответа:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}(b_1\cdots b_{n-1}a_n+b_1\cdots b_{n-2}a_{n-1}a_n+\ldots+b_1a_2\cdots a_n)$

@coder300 · 14.12.2013, 08:16 **[ТС]**

palva
Большое спасибо. Снова прошу помощи: теперь преподаватель требует доказать это по мат. индукции.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@coder300 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2013 Сообщений: 7

	Определитель n порядка 04.12.2013, 06:43. Показов 1223. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Пожалуйста, помогите решить. Преподаватель говорит, что он тривиальный и надо думать, но у меня что-то не выходит. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}{0}&&{a}_{2}&&{a}_{3}&&{a}_{4}&& ... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ {b}_{1}&&0&&{a}_{3}&&{a}_{4}&&... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ {b}_{1}&&{b}_{2}&&0&&{a}_{4}&&... &&{a}_{n-1}&&{a}_{n}\\ &&\\&&\\...&&...&&...&&...&&...&&...&&...\\ &&\\&&\\{b}_{1}&&{b}_{2}&&{b}_{3}&&{b}_{4}&&... &&{0}&&{a}_{n} \\ {b}_{1}&&{b}_{2}&&{b}_{3}&&{b}_{4}&&... &&{b}_{n-1}&&{0} \end{vmatrix}$ 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	04.12.2013, 18:13
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> D_n=\begin{vmatrix}0&a_2&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&0&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&b_2&0&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\\,&\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\&\\b_1&b_2&b_3&b_4&\ldots&0&a_n\\b_1&b_2&b_3&b_4&\ldots&b_{n-1}&0\end{vmatrix}$ Из последней строки вычитаем предпоследнюю, из предпоследней вычитаем третью с конца и т. д. до верха матрицы. У нас останется неизменной первая строка, а остальные строки будут содержать по два ненулевых элемента. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> D_n=\begin{vmatrix}0&a_2&a_3&a_4&\ldots&a_{n-1}&a_n\\b_1&-a_2&0&0&\ldots&0&0\\0&b_2&-a_3&0&\ldots&0&0\\&\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\&\\0&0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\\0&0&0&0&\ldots&b_{n-1}&-a_n\end{vmatrix}$ Раскладываем по последнему столбцу. Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}b_1\cdots b_{n-1}a_n-D_na_n$ Далее последовательно выписываем, проверяя первые строки непосредственным вычислением, и догадываясь, каким будет общий закон: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \\D_1=0\\<br /> D_2=-b_1a_2\\<br /> D_3=b_1b_2a_3+b_1a_2a_3\\<br /> \ldots\\<br /> D_n=(-1)^{n+1}(b_1\cdots b_{n-1}a_n+b_1\cdots b_{n-2}a_{n-1}a_n+b_1a_2\cdots a_n)$ В последней строке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ слагаемых. Ответ можно представить при помощи символов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\prod\cdot\prod$ Добавлено через 7 минут Поправка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}b_1\cdots b_{n-1}a_n-D_{n-1}a_n$ Добавлено через 5 часов 8 минут Еще одна поправка окончательного ответа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=(-1)^{n+1}(b_1\cdots b_{n-1}a_n+b_1\cdots b_{n-2}a_{n-1}a_n+\ldots+b_1a_2\cdots a_n)$ 6

@coder300 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2013 Сообщений: 7
	14.12.2013, 08:16 [ТС]
	palva Большое спасибо. Снова прошу помощи: теперь преподаватель требует доказать это по мат. индукции. 0

Определитель n порядка

Решение