Найти обратную матрицу LU-факторизацией

@Simply me · Регистрация: 05.05.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста! Нужно найти обратную матрицу LU-факторизацией. LU-разложение нашла, а как из матриц L и U получить обратную матрицу, не знаю.
Нашла формулы на этом сайте: http://algorithmlib.org/lu_inverse
Там сказано, что все элементы A^(-1) можно получить из уравнений U*A^(-1)=L^(-1), L*A^(-1)=U^(-1)
Из первого я нашла только x[1][n],x[2][n],...,x[n][n]. Из второго ничего не получается найти, слишком много неизвестных.

@cmath · 10.04.2015, 17:21

А сама матрица-то где?

@Simply me · 10.04.2015, 19:01 **[ТС]**

Я хочу решиь в общем виде. Пока решаю для частного случая n=4. Расписала эти 2 системы с сайта. Получилось по 16 уравнений. Из первой системы нашла х14, х24, х34, х44. Из второй системы ничего не могу найти. На этом сайте из второй находят х21, используя х11, найденный, видимо, из первой системы. А у меня не получается найти х11.

@helter · 11.04.2015, 03:27

Весь смысл в том, что когда LU-разложение найдено, решать ничего не надо. Остаётся просто считать по формулам, они там выписаны. Обратите внимание, что в формулах (1)-(3) элемент матрицы X определяется только по элементам своего столбца, стоящих ниже, или своей строки, стоящих правее. То есть, например, x_nn можно найти сразу. Через x_nn можно найти x_n,n-1. Через эти два - x_n,n-2. И так далее.

@Simply me · 11.04.2015, 12:27 **[ТС]**

А у меня все равно не получается

Расписала первую систему для n=4. Нашла x14, x24, x34, x44. Больше ничего не находится. Раскрасила известные синим, неизвестные красным.
u[1][1]*x[1][1]+u[1][2]*x[2][1]+u[1][3]*x[3][1]+u[1][4]*x[4][1]=1 (1r,1c)
u[1][1]*x[1][2]+u[1][2]*x[2][2]+u[1][3]*x[3][2]+u[1][4]*x[4][2]=0 (1r, 2c)
u[1][1]*x[1][3]+u[1][2]*x[2][3]+u[1][3]*x[3][3]+u[1][4]*x[4][3]=0 (1r, 3c)
u[1][1]*x[1][4]+u[1][2]*x[2][4]+u[1][3]*x[3][4]+u[1][4]*x[4][4]=0 (1r, 4c)
0+u[2][2]*x[2][1]+u[2][3]*x[3][1]+u[2][4]*x[4][1]=l'[2][1] (2r, 1c)
0+u[2][2]*x[2][2]+u[2][3]*x[3][2]+u[2][4]*x[4][2]=1 (2r, 2c)
0+u[2][2]*x[2][3]+u[2][3]*x[3][3]+u[2][4]*x[4][3]=0 (2r,3c)
0+u[2][2]*x[2][4]+u[2][3]*x[3][4]+u[2][4]*x[4][4]=0 (2r,4c)
u[3][3]*x[3][1]+u[3][4]*x[4][1]=l'[3][1] (3r,1c)
u[3][3]*x[3][2]+u[3][4]*x[4][2]=l'[3][2] (3r, 2c)
u[3][3]*x[3][3]+u[3][4]*x[4][3]=1 (3r, 3c)
u[3][3]*x[3][4]+u[3][4]*x[4][4]=0 (3r, 4c)
u[4][4]*x[4][1]=l'[4][1] (4r, 1c)
u[4][4]*x[4][2]=l'[4][2] (4r, 2c)
u[4][4]*x[4][3]=l'[4][3] (4r, 3c)
u[4][4]*x[4][4]=1 (4r, 4c)

@Simply me · 14.04.2015, 16:30 **[ТС]**

Что я не так делаю?
Допустим, n=3.
Первая система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (u_{11} u_{12} u_{13}\\ 0 u_{22} u_{23}\\0 0 u_{33} \right ) \left (x_{11} x_{12} x_{13}\\ x_{21} x_{22} x_{23}\\ x_{31} x_{32} x_{33} \right )=\left( 1 0 0 \\ l'_{21} 1 0\\l'_{31} l'_{32} 1 \right)$
Вторая система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (1 0 0\\ l_{21} 1 0\\l_{31} l_{32} 1 \right ) \left (x_{11} x_{12} x_{13}\\ x_{21} x_{22} x_{23}\\ x_{31} x_{32} x_{33} \right )=\left( u'_{11} u'_{12} u'_{13}\\ 0 u'_{22} u'_{23}\\0 0 u'_{33} \right)$

Не по теме:

Забыла, как в Latex пробелы поставить.

Из первой нашла x33, x23, x13. Как найти из второй x32 и x31? Известны l, u и третий столбец иксов. l', u' и остальные иксы неизвестны.

iifat · 14.04.2015, 17:31

Сообщение от Simply me

Забыла, как в Latex пробелы поставить

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}\\\end{pmatrix}=<br />$
ну и так далее (обрати внимание, после latex и перед /latex лучше перевести строку, а не то возникают непонятные фантомы).
Касательно x-ов: очевидно, первая строка матрицы U совпадает с первой же строкой матрицы X; вторая строка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{2j}=u'_{2j}-l_{2j}x_{1j}$ ; третья аналогично.

@helter · 14.04.2015, 18:23

В принципе, из первой системы всё находится. Умножаем третью строчку матрицы U на столбцы - находим третью строчку неизвестной матрицы. Умножаем вторую строчку и учитываем, что третья строчка матрицы X уже известна - находим вторую строчку матрицы Х. Потом первую. Навроде обратного хода метода Гаусса.

Только я не очень понимаю, зачем это делать. Если математически, A^-1 = U^-1L^-1 - достаточно перемножить две матрицы, проще некуда. Если писать программу, я бы забил сами формулы, по которым вычисляются элементы матрицы X.

@Simply me · 14.04.2015, 19:02 **[ТС]**

Я все-таки не очень понимаю

Как из моей системы найти? Мне кажется, из моей тоже можно получить все иксы:
u11*x11+u12*x21+u13*x31=1
u11*x12+u12*x22+u13*x32=0
u11*x13+u12*x23+u13*x33=0
0*x11+u22*x21+u23*x31=l'21
0*x12+u22*x22+u23*x32=1
0*x13+u22*x23+u23*x33=0
0*x11+0*x21+u33*x31=l'31
0*x12+0*x22+u33*x32=l'32
0*x13+0*x23+u33*x33=1

Из 9 ур-ния нашла х33. Из 6 ур-ния нашла х23. Из 3 ур-ния нашла х13. Больше ничего не находится. Из второй системы тоже ничего не находится:
х11=u'11
x12=u'12
x13=u'13
l21*x11+x21=0
l21*x12+x22=u'22
l21*x13+x23=u'23
l31*x11+l32*x21+x31=0
l31*x12+l32*x22+x32=0
l31*x13+l32*x23+x33=u'33

Отсюда ничего не получается найти

хотя по идее из 2 системы находятся х32 и х31, затем из 1 находятся х22 и х21, затем из 2 - х21 и из первой х11.

iifat · 14.04.2015, 19:50

Таки, во-первых, напоминаю: пользование редактором формул — обязательно.
Во-вторых, таки не пойму, что за проблем.

Сообщение от Simply me

Из 9 ур-ния нашла х33. Из 6 ур-ния нашла х23. Из 3 ур-ния нашла х13

Ну и? А из 8, 5, 2 уравнений что найдёшь?
И, кстати, ты что, думаешь, x-ы в этих двух системах одинаковые? Нет же ж, сначала надо решить вторую, и её поставить в правую часть! $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l'_{32}$ , к примеру, — это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{32}$ из второй системы.

Добавлено через 26 минут

Сообщение от helter

Если математически, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1} = U^{-1}L^{-1}$ - достаточно перемножить две матрицы, проще некуда

В сущности, так оно и происходит, только чуток поэкономнее по памяти и побыстрее. Берём единичную матрицу, решаем вторую систему — получаем на том же месте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^{-1}$ . Берём её правой частью, решаем первую — получаем на том же месте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U^{-1}L^{-1}$ .

@Simply me · 15.04.2015, 06:07 **[ТС]**

Сообщение от iifat

ты что, думаешь, x-ы в этих двух системах одинаковые

Вот первая система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UA^{-1}=L^{-1}$
Вот вторая система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LA^{-1}=U^{-1}$
Я считаю, что иксы - одинаковые. Иксы - это компоненты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}$ Если они не одинаковые, то получается в 2 раза больше неизвестных.

Сообщение от iifat

А из 8, 5, 2 уравнений что найдёшь?

Из 8 уравнения первой системы у меня не получается найти x32, потому что не понимаю, как найти l'32. l'32 встречается только в 8 уравнении первой системы. По идее находятся в таком порядке: (1)->x33, x23, x13, (2)->x32, x31, (1)->x22,x12, (2)->x21, (1)->x11.

iifat · 15.04.2015, 13:50

Как всё запущено.
Вот смотри:
Мы решаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=E$ , решением коего является как раз обратная матрица. Для этого представляем матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=LU$ . Вводим новую матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=UX$ , подставляя, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$ .
Теперь решаем сначала второе уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$ , находим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y$ потом первое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UX=Y$ с уже известным $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y$ — находим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ .

@Simply me · 15.04.2015, 19:37 **[ТС]**

iifat, просто я делала по формулам с этого сайта: http://algorithmlib.org/lu_inverse
Там сказано, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$ Дальше это равенство умножают на U и L, и получают 2 системы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UA^{-1}=L^{-1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LA^{-1}=U^{-1}$ . Я пыталась из этих систем выразить иксы и не получалось. Сейчас попробовала сделать, как Вы сказали. Так действительно все иксы находятся

Вот так получилось для n=3:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{33}=1/u_{33}\\x_{32}=-l_{32}/u_{33}\\x_{31}=(-l_{31}+l_{21}l_{32})/u_{33}\\x_{23}=-u_{23}x_{33}/u_{22}\\x_{22}=(1-u_{23}x_{32})/u_{22}\\x_{21}=-(l_{21}+u_{23}x_{31})/u_{22}\\x_{13}=-(u_{12}x_{23}+u_{13}x_{13})/u_{11}\\x_{12}=-(u_{12}x_{22}+u_{13}x_{32})/u_{11}\\x_{11}=(1-(u_{12}x_{21}+u_{13}x_{31}))/u_{11}\\$
А переделать для общего случая - это уже дело техники

iifat · 16.04.2015, 04:17

Да, не повезло. Бред какой-то. Поищи чего другого.

@Simply me · 21.04.2015, 18:37 **[ТС]**

Реализовала обращение с помощью LU-разложения. Получается плохая точность для плохо обусловленных матриц. Решила сделать с выбором опорного элемента. Нашла L, U и P, такие что PA=LU. Из каких уравнений теперь найти обратную матрицу? Получается, A=P^(-1)*L*U. Думала, обозначить L1=P^(-1)*L. Тогда A=L1*U. Дальше хотела по аналогии с предыдущим случаем. Но так не получается. L1 не нижнетреугольная, а зависит от P, и предыдущие формулы не работают.

iifat · 22.04.2015, 04:00

Сообщение от Simply me

плохая точность для плохо обусловленных матриц

А то ж. Плохо обусловленные матрацы — гарантированная головная боль

Дальнейший, прости, бред читать не стану.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?PA=LU$ . что ещё нужно? Насколько помню, P — матрица перестановок не то строк, не то столбцов, не то тех и других. Обратная к ней — не то она же транспонированная, не то ещё чего-то простенькое. То бишь, идём по предлагаемой схеме, только в конце надо домножить слева на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P^{-1}$ , про которую уже всё сказал.
И научись же таки по-человечески писать формулы.

@Simply me · 22.04.2015, 16:03 **[ТС]**

iifat, у меня все равно не получается. Нашла матрицы P, L, U.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=E\Rightarrow PAX=PE\Rightarrow LUX=PE$

Ввожу замену: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=UX$ .

Из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=PE$ нахожу Y, из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UX=Y$ нахожу X. Но у меня Y находится неправильно и поэтому X получается , такой что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=$ [1 0 0; 0 0 1; 0 0 1] вместо единичной.
Y ищу по аналогии с предыдущим случаем.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{11}=1\\{y}_{1j}=0, j=2,...,n\\{y}_{ij}=E_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{kj}, i=2,...,n, j=1,...,n$

Вот так решаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=PE$ :

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{1j}={(PE)}_{1j}, j=1,...,n\\{y}_{ij}={(PE)}_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{kj}, i=2,...,n, j=1,...,n$

И Y неправильно находится.

iifat · 22.04.2015, 16:41

Вот так, навскидку, смысл в том, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?PE$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=P$ !) — не треугольная и так это не решится. Завтра повспоминаю. Ну, то бишь, общий смысл я уже сказал, а конкретности посмотрю.

@Simply me · 22.04.2015, 18:36 **[ТС]**

Спасибо, iifat, правильно считается обратная матрица. Я просто в коде по ошибке написала

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{1j}=(PE)_{ij}$ вместо

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{1j}=(PE)_{1j}$

Исправила. Теперь правильно считает для хорошо обусловленных матриц. Жаль только, что для плохо обусловленной плохо.

iifat · 23.04.2015, 04:22

Сообщение от iifat

смысл в том, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?PE$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=P$ !) — не треугольная и так это не решится

Да, это я чушь написал.

Сообщение от Simply me

правильно считается

С чем тебя и поздравляю

Сообщение от Simply me

Жаль только, что для плохо обусловленной плохо

Ну, повторюсь, на то они и плохо обучловленные чтоб с ими было всё плохо. Единственннное, что с ними можно хоть как-то сделать — перейти к рациональным многократной точности. Это если хотя б исходная матрица задана без погрешностей.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521

	Найти обратную матрицу LU-факторизацией 10.04.2015, 06:48. Показов 2435. Ответов 25 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите, пожалуйста! Нужно найти обратную матрицу LU-факторизацией. LU-разложение нашла, а как из матриц L и U получить обратную матрицу, не знаю. Нашла формулы на этом сайте: http://algorithmlib.org/lu_inverse Там сказано, что все элементы A^(-1) можно получить из уравнений UA^(-1)=L^(-1), LA^(-1)=U^(-1) Из первого я нашла только x[1][n],x[2][n],...,x[n][n]. Из второго ничего не получается найти, слишком много неизвестных. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	10.04.2015, 17:21
	А сама матрица-то где? 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	10.04.2015, 19:01 [ТС]
	Я хочу решиь в общем виде. Пока решаю для частного случая n=4. Расписала эти 2 системы с сайта. Получилось по 16 уравнений. Из первой системы нашла х14, х24, х34, х44. Из второй системы ничего не могу найти. На этом сайте из второй находят х21, используя х11, найденный, видимо, из первой системы. А у меня не получается найти х11. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	11.04.2015, 03:27
	Весь смысл в том, что когда LU-разложение найдено, решать ничего не надо. Остаётся просто считать по формулам, они там выписаны. Обратите внимание, что в формулах (1)-(3) элемент матрицы X определяется только по элементам своего столбца, стоящих ниже, или своей строки, стоящих правее. То есть, например, x_nn можно найти сразу. Через x_nn можно найти x_n,n-1. Через эти два - x_n,n-2. И так далее. 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	11.04.2015, 12:27 [ТС]
	А у меня все равно не получается Расписала первую систему для n=4. Нашла x14, x24, x34, x44. Больше ничего не находится. Раскрасила известные синим, неизвестные красным. u[1][1]x[1][1]+u[1][2]x[2][1]+u[1][3]x[3][1]+u[1][4]x[4][1]=1 (1r,1c) u[1][1]x[1][2]+u[1][2]x[2][2]+u[1][3]x[3][2]+u[1][4]x[4][2]=0 (1r, 2c) u[1][1]x[1][3]+u[1][2]x[2][3]+u[1][3]x[3][3]+u[1][4]x[4][3]=0 (1r, 3c) u[1][1]x[1][4]+u[1][2]x[2][4]+u[1][3]x[3][4]+u[1][4]x[4][4]=0 (1r, 4c) 0+u[2][2]x[2][1]+u[2][3]x[3][1]+u[2][4]x[4][1]=l'[2][1] (2r, 1c) 0+u[2][2]x[2][2]+u[2][3]x[3][2]+u[2][4]x[4][2]=1 (2r, 2c) 0+u[2][2]x[2][3]+u[2][3]x[3][3]+u[2][4]x[4][3]=0 (2r,3c) 0+u[2][2]x[2][4]+u[2][3]x[3][4]+u[2][4]x[4][4]=0 (2r,4c) u[3][3]x[3][1]+u[3][4]x[4][1]=l'[3][1] (3r,1c) u[3][3]x[3][2]+u[3][4]x[4][2]=l'[3][2] (3r, 2c) u[3][3]x[3][3]+u[3][4]x[4][3]=1 (3r, 3c) u[3][3]x[3][4]+u[3][4]x[4][4]=0 (3r, 4c) u[4][4]x[4][1]=l'[4][1] (4r, 1c) u[4][4]x[4][2]=l'[4][2] (4r, 2c) u[4][4]x[4][3]=l'[4][3] (4r, 3c) u[4][4]x[4][4]=1 (4r, 4c) 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	14.04.2015, 16:30 [ТС]
	Что я не так делаю? Допустим, n=3. Первая система: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (u_{11} u_{12} u_{13}\\ 0 u_{22} u_{23}\\0 0 u_{33} \right ) \left (x_{11} x_{12} x_{13}\\ x_{21} x_{22} x_{23}\\ x_{31} x_{32} x_{33} \right )=\left( 1 0 0 \\ l'_{21} 1 0\\l'_{31} l'_{32} 1 \right)$ Вторая система: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (1 0 0\\ l_{21} 1 0\\l_{31} l_{32} 1 \right ) \left (x_{11} x_{12} x_{13}\\ x_{21} x_{22} x_{23}\\ x_{31} x_{32} x_{33} \right )=\left( u'_{11} u'_{12} u'_{13}\\ 0 u'_{22} u'_{23}\\0 0 u'_{33} \right)$ Не по теме: Забыла, как в Latex пробелы поставить. Из первой нашла x33, x23, x13. Как найти из второй x32 и x31? Известны l, u и третий столбец иксов. l', u' и остальные иксы неизвестны. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.04.2015, 18:23
	В принципе, из первой системы всё находится. Умножаем третью строчку матрицы U на столбцы - находим третью строчку неизвестной матрицы. Умножаем вторую строчку и учитываем, что третья строчка матрицы X уже известна - находим вторую строчку матрицы Х. Потом первую. Навроде обратного хода метода Гаусса. Только я не очень понимаю, зачем это делать. Если математически, A^-1 = U^-1L^-1 - достаточно перемножить две матрицы, проще некуда. Если писать программу, я бы забил сами формулы, по которым вычисляются элементы матрицы X. 1

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	14.04.2015, 19:02 [ТС]
	Я все-таки не очень понимаю Как из моей системы найти? Мне кажется, из моей тоже можно получить все иксы: u11x11+u12x21+u13x31=1 u11x12+u12x22+u13x32=0 u11x13+u12x23+u13x33=0 0x11+u22x21+u23x31=l'21 0x12+u22x22+u23x32=1 0x13+u22x23+u23x33=0 0x11+0x21+u33x31=l'31 0x12+0x22+u33x32=l'32 0x13+0x23+u33x33=1 Из 9 ур-ния нашла х33. Из 6 ур-ния нашла х23. Из 3 ур-ния нашла х13. Больше ничего не находится. Из второй системы тоже ничего не находится: х11=u'11 x12=u'12 x13=u'13 l21x11+x21=0 l21x12+x22=u'22 l21x13+x23=u'23 l31x11+l32x21+x31=0 l31x12+l32x22+x32=0 l31x13+l32x23+x33=u'33 Отсюда ничего не получается найти хотя по идее из 2 системы находятся х32 и х31, затем из 1 находятся х22 и х21, затем из 2 - х21 и из первой х11. 0

iifat 2899 / 1933 / 209 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,687
	15.04.2015, 13:50
	Как всё запущено. Вот смотри: Мы решаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=E$ , решением коего является как раз обратная матрица. Для этого представляем матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=LU$ . Вводим новую матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=UX$ , подставляя, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$ . Теперь решаем сначала второе уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$ , находим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y$ потом первое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UX=Y$ с уже известным $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y$ — находим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ . 1

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	15.04.2015, 19:37 [ТС]
	iifat, просто я делала по формулам с этого сайта: http://algorithmlib.org/lu_inverse Там сказано, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$ Дальше это равенство умножают на U и L, и получают 2 системы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UA^{-1}=L^{-1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LA^{-1}=U^{-1}$ . Я пыталась из этих систем выразить иксы и не получалось. Сейчас попробовала сделать, как Вы сказали. Так действительно все иксы находятся Вот так получилось для n=3: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{33}=1/u_{33}\\x_{32}=-l_{32}/u_{33}\\x_{31}=(-l_{31}+l_{21}l_{32})/u_{33}\\x_{23}=-u_{23}x_{33}/u_{22}\\x_{22}=(1-u_{23}x_{32})/u_{22}\\x_{21}=-(l_{21}+u_{23}x_{31})/u_{22}\\x_{13}=-(u_{12}x_{23}+u_{13}x_{13})/u_{11}\\x_{12}=-(u_{12}x_{22}+u_{13}x_{32})/u_{11}\\x_{11}=(1-(u_{12}x_{21}+u_{13}x_{31}))/u_{11}\\$ А переделать для общего случая - это уже дело техники 0

iifat 2899 / 1933 / 209 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,687
	16.04.2015, 04:17
	Да, не повезло. Бред какой-то. Поищи чего другого. 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	21.04.2015, 18:37 [ТС]
	Реализовала обращение с помощью LU-разложения. Получается плохая точность для плохо обусловленных матриц. Решила сделать с выбором опорного элемента. Нашла L, U и P, такие что PA=LU. Из каких уравнений теперь найти обратную матрицу? Получается, A=P^(-1)LU. Думала, обозначить L1=P^(-1)L. Тогда A=L1U. Дальше хотела по аналогии с предыдущим случаем. Но так не получается. L1 не нижнетреугольная, а зависит от P, и предыдущие формулы не работают. 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	22.04.2015, 16:03 [ТС]
	iifat, у меня все равно не получается. Нашла матрицы P, L, U. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=E\Rightarrow PAX=PE\Rightarrow LUX=PE$ Ввожу замену: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=UX$ . Из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=PE$ нахожу Y, из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?UX=Y$ нахожу X. Но у меня Y находится неправильно и поэтому X получается , такой что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX=$ [1 0 0; 0 0 1; 0 0 1] вместо единичной. Y ищу по аналогии с предыдущим случаем. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=E$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{11}=1\\{y}_{1j}=0, j=2,...,n\\{y}_{ij}=E_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{kj}, i=2,...,n, j=1,...,n$ Вот так решаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?LY=PE$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{1j}={(PE)}_{1j}, j=1,...,n\\{y}_{ij}={(PE)}_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{kj}, i=2,...,n, j=1,...,n$ И Y неправильно находится. 0

iifat 2899 / 1933 / 209 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,687
	22.04.2015, 16:41
	Вот так, навскидку, смысл в том, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?PE$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=P$ !) — не треугольная и так это не решится. Завтра повспоминаю. Ну, то бишь, общий смысл я уже сказал, а конкретности посмотрю. 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	22.04.2015, 18:36 [ТС]
	Спасибо, iifat, правильно считается обратная матрица. Я просто в коде по ошибке написала $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{1j}=(PE)_{ij}$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{1j}=(PE)_{1j}$ Исправила. Теперь правильно считает для хорошо обусловленных матриц. Жаль только, что для плохо обусловленной плохо. 0