Найти остаток от деления на 19

@Nizhikebinesi · Регистрация: 07.12.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем доброго времени суток!

Необходимо найти остаток от деления 79^79⁷⁹ на 19.

Я разложил число так 79^79⁷⁹ = (...(79)⁷⁹...)⁷⁹

79 = 9*8 + 7

Поработав со степенями 79 в Zp, где p = 19, я обнаружил, что 79⁹ = 18 = -1 (19)
79⁷ = 2 (19), тогда дальше приходиться работать с двойкой.

Дальнейшая работа с двойкой приводит к работе с 14, чего мне не хочется.

Пожалуйста, укажите правильный путь решения, при котором не нужно работать с числом 79 раз, в отличие от моего метода.

8-BITOV · 10.01.2016, 23:49

79 = 3 (19)
3⁸ = -1
3¹⁸ = 1
Впрочем, любое число (кроме 0) в 18-й степени дает 1 (mod 19)

@kabenyuk · 11.01.2016, 05:52

Сообщение от 8-BITOV

Впрочем, любое число (кроме 0) в 18-й степени дает 1 (mod 19)

Поэтому вначале найдем остаток от деления 79⁷⁹ на 18. Воспользуемся для этого тем, что 79⁶=1 (mod 18).
Поскольку 79=6*13+1, то a=79⁷⁹=79^6*13+1=79=7 (mod 18).
Значит 79^a=79^18q+7 =79⁷=3⁷=27*81=8*5=40=2 (mod 19).
Ответ 2.

@Nizhikebinesi · 11.01.2016, 12:40 **[ТС]**

Сообщение от 8-BITOV

Впрочем, любое число (кроме 0) в 18-й степени дает 1 (mod 19)

Да, верно, по малой теореме Ферма.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от kabenyuk

Поэтому вначале найдем остаток от деления 7979 на 18. Воспользуемся для этого тем, что 796=1 (mod 18).
Поскольку 79=6*13+1, то a=7979=796*13+1=79=7 (mod 18).
Значит 79a=7918q+7 =797=37=27*81=8*5=40=2 (mod 19).
Ответ 2.

А вот почему ответ 2?

Число то не 79⁷⁹, а 79^79⁷⁹

@mathmichel · 11.01.2016, 13:18

Вы ничего не поняли. Уважаемый kabenyk свел исходную проблему нахождения остатка от деления $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{73}^{{73}^{73}}$ на 19 к проблеме нахождения остатка от деления $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{73}^{73}$ на 18.

@Nizhikebinesi · 11.01.2016, 13:34 **[ТС]**

Сообщение от mathidiot

Вы ничего не поняли.

Вот тут вы абсолютно правы.

Сообщение от mathidiot

Уважаемый kabenyk свел исходную проблему нахождения остатка от деления на 19 к проблеме нахождения остатка от деления на 18.

Извините, но я действительно не понимаю, объясните как.
Все-таки ради того, чтобы это понять я завел эту тему.

Добавлено через 5 минут
Все, теперь похоже понял. Спасибо!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. На мобильном - сканируйте QR-код. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .
Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .

@Nizhikebinesi 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.12.2015 Сообщений: 19

	Найти остаток от деления на 19 10.01.2016, 19:27. Показов 5242. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Всем доброго времени суток! Необходимо найти остаток от деления 79^79⁷⁹ на 19. Я разложил число так 79^79⁷⁹ = (...(79)⁷⁹...)⁷⁹ 79 = 9*8 + 7 Поработав со степенями 79 в Zp, где p = 19, я обнаружил, что 79⁹ = 18 = -1 (19) 79⁷ = 2 (19), тогда дальше приходиться работать с двойкой. Дальнейшая работа с двойкой приводит к работе с 14, чего мне не хочется. Пожалуйста, укажите правильный путь решения, при котором не нужно работать с числом 79 раз, в отличие от моего метода. 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	10.01.2016, 23:49
	79 = 3 (19) 3⁸ = -1 3¹⁸ = 1 Впрочем, любое число (кроме 0) в 18-й степени дает 1 (mod 19) 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	11.01.2016, 13:18
	Вы ничего не поняли. Уважаемый kabenyk свел исходную проблему нахождения остатка от деления $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{73}^{{73}^{73}}$ на 19 к проблеме нахождения остатка от деления $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{73}^{73}$ на 18. 1

Найти остаток от деления на 19

Решение