Как школьник должен решать данное уравнение?

@Павлушечка · Регистрация: 17.11.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Имеется уравнение x^(x-1) = 1. С одной стороны, ввиду того, что область определения показательной функции - множество всех положительных чисел без единицы, то x = 1 не входит в ОДЗ, и уравнение не имеет решения. Но с другой стороны, если мы подставим единицу в уравнение, то получим верное равенство, и следовательно оно имеет решение x = 1. Какое из данных рассуждений верно, может я что-то неправильно понимаю?

@angor6 · 03.09.2016, 09:43

Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.

Байт · 03.09.2016, 09:52

Сообщение от Павлушечка

область определения показательной функции - множество всех положительных чисел без единицы

Немного путаетесь. Для показательной функции a^x ОДЗ a > 0. Значит, для x^x-1 ОДЗ x > 0. Решение x = 1 никаких возражений с точки зрения ОДЗ не вызывает

@Павлушечка · 03.09.2016, 13:40 **[ТС]**

Я немного неправильно написал. Я имел ввиду не ОДЗ, а само определение показательной функции, в котором сказано, что основание должно быть больше нуля, и не равно 1 (такое определение встречается во многих местах). Но наверное из этого не следует, что в моем примере мы должны исключать 1 из ОДЗ, просто при x = 1 функция не будет называться показательной, и это не значит, что уравнение при таком значении теряет смысл?

@jogano · 03.09.2016, 14:02

Павлушечка, по определению основание может быть равно 1, просто функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=1^x$ не рассматривают в силу её тривиальности. Это основание логарифма не может быть равно 1.
Так что ответ х=1.
Если взять что-то более сложное, например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(3x-4 \right)^{2x^2+2}=\left(3x-4 \right)^{5x}$ , то это уравнение в школе решают так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}\begin{cases}3x-4=1\\ x \in D\left(2x^2+2 \right)\cap D\left(5x \right) \end{cases}\\ \begin{cases}3x-4>0\\ 3x-4 \neq 1 \\2x^2+2=5x \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\ x \in R \end{cases}\\ \begin{cases}x>\frac{4}{3}\\ x \neq \frac{5}{3} \\2x^2-5x+2=0 \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}x=\frac{5}{3}\\ \begin{cases}x>\frac{4}{3}\\ x \neq \frac{5}{3} \\x \in \left{\frac{1}{2};2 \right} \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}x=\frac{5}{3}\\ x=2\end{matrix} \right.$ . Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left{\frac{5}{3};2 \right}$

@Павлушечка · 03.09.2016, 14:05 **[ТС]**

Всем спасибо, все прояснилось)

@angor6 · 03.09.2016, 15:51

Павлушечка,

Не по теме:

и заметьте, пожалуйста, что рассмотренная Вами функция не показательная, а показательно-степенная, или сложно-показательная, функция.

echs · 03.09.2016, 20:14

Павлушечка
Вы меня извините, но вы не полностью решили это уравнение.
Решением данного уравнения является еще x = -1.
В самом деле (-1)^-2 = 1
...
В ОДЗ данного уравнения входит не только x>0, но и
1. x = 0 (если показатель положительное число)
2. x < 0 (если показатель рациональное число)

@Павлушечка · 03.09.2016, 21:39 **[ТС]**

Не по теме:

Да, жизнь хороша, но удивительна)

Байт · 03.09.2016, 21:57

Сообщение от echs

2. x < 0 (если показатель рациональное число)

С нечетным знаменателем, я надеюсь

Добавлено через 16 минут
echs, Такое расширенное толкование приводит к любопытным противоречиям. Так (-1)^1/3 вполне может определена. А что делать с (-1)^2/6 ? Ведь знаменатель четный! А 2/6 = 1/3 - от этого никуда не деться. (я догадываюсь, как вы можете разрешить этот ньанс, но ведь это требуем специальных оговорок). Это не говоря уже о том, что область определения получается весьма странная топологически. И нельзя вести никаких разговоров о непрерывности в классическом представлении, а значит и о производной и прочих прелестях матанализа. Поэтому классическая математика просто постановила, что ОДЗ функции f(x)^g(x): f(x) > 0. Чтоб не связываться. Вот и все. Так функция определена - любите и жалуйте.
А рассуждения на тему, а что будет, если f(x) < 0 оставляются различным умникам от философии (вы догадываетесь, о ком речь

), и место для их рассуждений в разделе "Обо всем"

echs · 04.09.2016, 08:18

Байт
Вы конечно умный человек. И мне тоже известно, что
2/6 = 1/3. Но в математике давно определили, что дробь
должна быть несократимой. В противном случае даже
такая функция как кубический корень окажется неопределенной
для отрицательного аргумента...

примечание
Не вижу проблемы. Мы ведь оба знаем о чем идет речь. Не так ли?

iifat · 04.09.2016, 09:19

Сообщение от echs

Мы ведь оба знаем о чем идет речь

Байт-то знает. Уверен.

Сообщение от echs

в математике давно определили, что дробь должна быть несократимой

Кто? Когда? Я что, другую математику изучал? 2/6=1/3 — это да. И процесс, скажем, возведения в степень должен давать один и тот же результат — это да. А если не даёт — что-то не так с этим вашим возведением...

Байт · 04.09.2016, 10:10

Сообщение от echs

Но в математике давно определили, что дробь должна быть несократимой.

???
Это иногда предполагается для доказательств разных вещей, но ничего такого никакие математики не определяли.

Сообщение от echs

В противном случае даже такая функция как кубический корень окажется неопределенной для отрицательного аргумента...

Вот именно этот "противный" случай мы и имеем.

Добавлено через 10 минут
На всякий случай напомню определение такой простой вещи, как функция.
Функция задается тремя объектами.
1.Множество определения А.
2.Множество значений В
3.Инъективным Отображением A -> B
Пункт 1 входит в задание функции, об этом иногда забывают.
Так вот, показательно-степенная функция задана именно так, что основание больше нуля.
Вы безусловно, вправе задавать другие функции. С другим множеством А. Только это уже другая функция. Можете ей свое название придумать, скажем, Е-показательная. И изучать ее вполне интересные свойства. И даже сказать, что обычная п-с функция есть сужение Е-показательной на подмножество - это правда!
Но функция это - другая.

echs · 04.09.2016, 10:16

Байт
Скажите, это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]x=x^{\frac13}$ одна и та же функция?

Байт · 04.09.2016, 10:22

Сообщение от echs

одна и та же функция?

Хороший вопрос. Раньше я не задумывался над этим. А теперь склоняюсь к тому, что это функции разные. Именно из-за Области Определений. (-1)^1/3 - запись недопустимая. В то время как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{-1}= -1$ - пожалуйста!

magirus · 04.09.2016, 10:26

если придерживаться буквы вопроса - школьник должен решать уравнение способом который ему преподавали.
а то я как то брату решил уравнение, способом который преподавали на втором курсе ВУЗа.

сказали правильно, но вы это не проходили.

@Puporev · 04.09.2016, 11:21

Не по теме:

Так это учитель спрашивает...

@jogano · 04.09.2016, 16:04

Сообщение от echs

Скажите, это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ одна и та же функция?

Разные области определения. У функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt[3]{x}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D\left(y \right)=R$ , а у $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D\left(y \right)=\left(0;+\infty \right)$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Учёным и волонтёрам проекта «Einstein@home» удалось обнаружить четыре гамма-лучевых пульсара в джете Млечного Пути Programma_Boinc 01.01.2026 Учёным и волонтёрам проекта «Einstein@home» удалось обнаружить четыре гамма-лучевых пульсара в джете Млечного Пути Сочетание глобально распределённой вычислительной мощности и инновационных. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .
Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .

@Павлушечка 8 / 8 / 0 Регистрация: 17.11.2012 Сообщений: 159

	Как школьник должен решать данное уравнение? 03.09.2016, 00:22. Показов 759. Ответов 17 Метки нет (Все метки) Имеется уравнение x^(x-1) = 1. С одной стороны, ввиду того, что область определения показательной функции - множество всех положительных чисел без единицы, то x = 1 не входит в ОДЗ, и уравнение не имеет решения. Но с другой стороны, если мы подставим единицу в уравнение, то получим верное равенство, и следовательно оно имеет решение x = 1. Какое из данных рассуждений верно, может я что-то неправильно понимаю? 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,369
	03.09.2016, 09:43
	Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел. 1

@Павлушечка 8 / 8 / 0 Регистрация: 17.11.2012 Сообщений: 159
	03.09.2016, 13:40 [ТС]
	Я немного неправильно написал. Я имел ввиду не ОДЗ, а само определение показательной функции, в котором сказано, что основание должно быть больше нуля, и не равно 1 (такое определение встречается во многих местах). Но наверное из этого не следует, что в моем примере мы должны исключать 1 из ОДЗ, просто при x = 1 функция не будет называться показательной, и это не значит, что уравнение при таком значении теряет смысл? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	03.09.2016, 14:02
	Павлушечка, по определению основание может быть равно 1, просто функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=1^x$ не рассматривают в силу её тривиальности. Это основание логарифма не может быть равно 1. Так что ответ х=1. Если взять что-то более сложное, например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(3x-4 \right)^{2x^2+2}=\left(3x-4 \right)^{5x}$ , то это уравнение в школе решают так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}\begin{cases}3x-4=1\\ x \in D\left(2x^2+2 \right)\cap D\left(5x \right) \end{cases}\\ \begin{cases}3x-4>0\\ 3x-4 \neq 1 \\2x^2+2=5x \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\ x \in R \end{cases}\\ \begin{cases}x>\frac{4}{3}\\ x \neq \frac{5}{3} \\2x^2-5x+2=0 \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}x=\frac{5}{3}\\ \begin{cases}x>\frac{4}{3}\\ x \neq \frac{5}{3} \\x \in \left{\frac{1}{2};2 \right} \end{cases}\end{matrix} \right. \: \Leftrightarrow \: \left[\begin{matrix}x=\frac{5}{3}\\ x=2\end{matrix} \right.$ . Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left{\frac{5}{3};2 \right}$ 1

@Павлушечка 8 / 8 / 0 Регистрация: 17.11.2012 Сообщений: 159
	03.09.2016, 14:05 [ТС]
	Всем спасибо, все прояснилось) 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,369
	03.09.2016, 15:51
	Павлушечка, Не по теме: и заметьте, пожалуйста, что рассмотренная Вами функция не показательная, а показательно-степенная, или сложно-показательная, функция. 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	03.09.2016, 20:14
	Павлушечка Вы меня извините, но вы не полностью решили это уравнение. Решением данного уравнения является еще x = -1. В самом деле (-1)^-2 = 1 ... В ОДЗ данного уравнения входит не только x>0, но и 1. x = 0 (если показатель положительное число) 2. x < 0 (если показатель рациональное число) 1

@Павлушечка
	03.09.2016, 21:39 [ТС]
	Не по теме: Да, жизнь хороша, но удивительна) 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	04.09.2016, 08:18
	Байт Вы конечно умный человек. И мне тоже известно, что 2/6 = 1/3. Но в математике давно определили, что дробь должна быть несократимой. В противном случае даже такая функция как кубический корень окажется неопределенной для отрицательного аргумента... примечание Не вижу проблемы. Мы ведь оба знаем о чем идет речь. Не так ли? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	04.09.2016, 10:16
	Байт Скажите, это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]x=x^{\frac13}$ одна и та же функция? 1

magirus Почетный модератор 28049 / 15785 / 983 Регистрация: 15.09.2009 Сообщений: 67,752 Записей в блоге: 78
	04.09.2016, 10:26
	если придерживаться буквы вопроса - школьник должен решать уравнение способом который ему преподавали. а то я как то брату решил уравнение, способом который преподавали на втором курсе ВУЗа. сказали правильно, но вы это не проходили. 0

@Puporev
	04.09.2016, 11:21
	Не по теме: Так это учитель спрашивает... 0