Не сопряжённые комплексные корни квадратного уравнения

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, могут ли корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами быть два комплексных числа, которые не являются сопряжёнными?
Если да, то приведите, пожалуйста, пример, а если нет, то поделитесь своими рассуждениями.

@Том Ардер · 08.03.2017, 23:52

Наверное, ТС может даже наизусть изложить формулировку теоремы Виета. Однако, знать её он не знает, поскольку не сумел подумать и применить. Увы, всё печально. И предыдущие вопросы от ТС не давали повода для оптимизма, но этот особенно показателен - школьный ведь уровень, элементарный.

Не по теме:

Вспоминается в книге Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман") его рассказ о студентах в Бразилии и тамошнем образовании.

@palva · 09.03.2017, 01:40

А если у нас есть уравнение с действительными коэффициентами произвольной степени $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=0,$ то из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=0$ следует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overline{f(z)}=\overline 0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\overline z)=0.$ Т. е. если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z$ корень, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overline z$ тоже.

@oobarbazanoo · 09.03.2017, 02:36 **[ТС]**

palva, Вы написали утверждение об истинности которого я и спрашиваю. То есть, Вы лишь уточнили мой вопрос, не дав на него ответа. Или я что-то не так понял?

Добавлено через 2 минуты
Том Ардер, разве теорема Виета гарантирует то, что коэффициенты будут действительными, а не комплексными?

@palva · 09.03.2017, 02:36

Я доказал это утверждение. Я подставил корень в уравнение, а потом взял сопряженное от обеих частей. Получил, что f от сопряженного числа также ноль, то есть тоже является корнем.

@oobarbazanoo · 09.03.2017, 02:43 **[ТС]**

palva, а т.к. имеем ровно два корня и больше быть не может, то значит получаем вывод, что если два комплексных числа являются решением квадратного уравнения с действительными коэффициентами, то данные комплексные числа обязательно сопряжённые. Правильно?

@palva · 09.03.2017, 02:47

Правильно. Если бы они были не сопряженными, то мы бы нашли еще два корня, отличные от первых двух.

@oobarbazanoo · 09.03.2017, 02:50 **[ТС]**

palva, может Вы знаете, как в данной ситуации была бы полезна теорема Виета?

@palva · 09.03.2017, 03:05

Простого доказательства не вижу. Из Виета следует, что сумма и произведение корней действительны.
Сумма действительна, значит, противоположны их мнимые части, и на комплексной плоскости эти корни лежат на двух прямых, параллельных оси Ox и симметричных ей. Произведение действительно, значит у корней противоположные аргументы, значит они лежат на лучах, выходящих из нуля и симметричных относительно Ox. Теперь можно заключить, что эти лучи пересекут прямые в точках с одинаковыми абциссами. То есть действительные части корней равны. А это означает, что корни сопряженные.

Байт · 09.03.2017, 13:41

Сообщение от oobarbazanoo

Подскажите, пожалуйста, могут ли корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами быть два комплексных числа, которые не являются сопряжёнными?
Если да, то приведите, пожалуйста, пример

Чегой-то я не понял, о чем весь сыр-бор.
Вот вам пример
x⁴ + 5x² + 1 = 0
Есть корни i, 2i. Они не являются сопряженными

@palva · 09.03.2017, 13:47

Сообщение от Байт

Они не являются сопряженными

но ходят под ручку сопряженными парами. А для случая квадратного уравнения пара может быть только одна.

Байт · 09.03.2017, 14:05

Том Ардер, А вопрос, видимо, не так уж прост, если даже всеми уважаемые мэтры не смогли найти на него ответа. Впрочем, я склонен отнести это к суете любимого нами всеми праздника

Добавлено через 1 минуту
Ах! Видимо последствия праздника отразились и на мне! Пропустил слово "квадратного". Прошу прощения!

Добавлено через 12 минут

Сообщение от palva

Простого доказательства не вижу.

Корней у квадратного уравнения всего 2. Пусть они есть a + bi, c + di
По теореме Виета (a+c) + (b+d)i = -p - действительное число => b + d = 0 => d = -b
Произведение корней (ac - bd) + (ad + cb) i = q - тоже действительное
0 = ad + cb = b(c-a) => или b=0 (корни действительные) или a=c (корни сопряженные)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Не сопряжённые комплексные корни квадратного уравнения

Решение

Решение

Решение

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Не сопряжённые комплексные корни квадратного уравнения 08.03.2017, 23:08. Показов 2468. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, могут ли корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами быть два комплексных числа, которые не являются сопряжёнными? Если да, то приведите, пожалуйста, пример, а если нет, то поделитесь своими рассуждениями. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	08.03.2017, 23:52
	Наверное, ТС может даже наизусть изложить формулировку теоремы Виета. Однако, знать её он не знает, поскольку не сумел подумать и применить. Увы, всё печально. И предыдущие вопросы от ТС не давали повода для оптимизма, но этот особенно показателен - школьный ведь уровень, элементарный. Не по теме: Вспоминается в книге Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман") его рассказ о студентах в Бразилии и тамошнем образовании. 1

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	09.03.2017, 01:40
	А если у нас есть уравнение с действительными коэффициентами произвольной степени $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=0,$ то из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=0$ следует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overline{f(z)}=\overline 0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\overline z)=0.$ Т. е. если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z$ корень, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overline z$ тоже. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	09.03.2017, 02:36 [ТС]
	palva, Вы написали утверждение об истинности которого я и спрашиваю. То есть, Вы лишь уточнили мой вопрос, не дав на него ответа. Или я что-то не так понял? Добавлено через 2 минуты Том Ардер, разве теорема Виета гарантирует то, что коэффициенты будут действительными, а не комплексными? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	09.03.2017, 02:36
	Я доказал это утверждение. Я подставил корень в уравнение, а потом взял сопряженное от обеих частей. Получил, что f от сопряженного числа также ноль, то есть тоже является корнем. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	09.03.2017, 02:43 [ТС]
	palva, а т.к. имеем ровно два корня и больше быть не может, то значит получаем вывод, что если два комплексных числа являются решением квадратного уравнения с действительными коэффициентами, то данные комплексные числа обязательно сопряжённые. Правильно? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	09.03.2017, 02:47
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Правильно. Если бы они были не сопряженными, то мы бы нашли еще два корня, отличные от первых двух. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	09.03.2017, 02:50 [ТС]
	palva, может Вы знаете, как в данной ситуации была бы полезна теорема Виета? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	09.03.2017, 03:05
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Простого доказательства не вижу. Из Виета следует, что сумма и произведение корней действительны. Сумма действительна, значит, противоположны их мнимые части, и на комплексной плоскости эти корни лежат на двух прямых, параллельных оси Ox и симметричных ей. Произведение действительно, значит у корней противоположные аргументы, значит они лежат на лучах, выходящих из нуля и симметричных относительно Ox. Теперь можно заключить, что эти лучи пересекут прямые в точках с одинаковыми абциссами. То есть действительные части корней равны. А это означает, что корни сопряженные. 1