Решение квадратного уравнения в натуральных числах

@Alexgera · Регистрация: 11.11.2019

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток!
Ни кто не сталкивался с уравнением 2*a^2+b^2=c^2
Раньше находил, теперь не могу найти решение данного уравнения. Интересует решение только в натуральных числах.
У этого уравнения единственное общее решение или нет?
Может кто сталкивался, автора не подскажете?
Заранее спасибо.

Байт · 11.11.2019, 14:20

Alexgera, у меня вроде получилось, что решений кроме тривиальных (a = 0) нет

Добавлено через 10 минут
Нет, уверенность пропала. В рассуждениях допустил ошибку.
Но как-то здесь с четностью можно поиграть...

@angor6 · 11.11.2019, 15:11

Сообщение от Байт

Alexgera, у меня вроде получилось, что решений кроме тривиальных (a = 0) нет

Всё-таки есть. Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=2$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c=3.$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2a^2+b^2=2 \cdot 2^2+1^2=9$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c^2=3^2=9.$

@wer1 · 11.11.2019, 17:23

Alexgera,
это уравнение имеет огромное количество ненулевых решений.
Мало того, если (a, b, c) - решение данного уравнения, то
(an, bn, cn) - тоже решение этого же уравнения
...
во всех решениях переменная а - чётное натуральное число.

@angor6 · 11.11.2019, 18:52

Возможно, если записать заданное уравнение так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2+b^2=(c-a)(c+a),$ то поиск его корней можно подчинить некоторой теории. Несколько лет назад я прочитал в Интернете статью из журнала "Квант", посвящённую чему-то похожему. За давностью и в связи с собственными скудными познаниями в теории чисел я затрудняюсь дать точную ссылку. Помню только, что в статье было утверждение, по-моему, такого смысла: натуральное число можно представить в виде суммы двух квадратов тогда, когда в его разложение простое число вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4k+3$ входит в чётной степени (за точность формулировки не ручаюсь)...

Байт · 11.11.2019, 18:58

Сообщение от wer1

Мало того, если (a, b, c) - решение данного уравнения, то (an, bn, cn) - тоже решение этого же уравнения

Это великое открытие, конечно! Сами догадались, или вычитали в интернете?

Сообщение от wer1

переменная а - чётное натуральное число.

Спорить трудно. Но "открытие" того же порядка...

Добавлено через 5 минут

Сообщение от angor6

простое число вида 4k+3

. Да, это еще Гаусс показал, что простые видов 4k+3 и 4k+1 здорово отличаются друг от дружки. Это как бы разные сущности. Вот как разные сущности - четные и нечетные. С точки зрения Теории Чисел, конечно...

@Alexgera · 12.11.2019, 22:55 **[ТС]**

Да, это уравнение имеет огромное количество ненулевых решений.
Я нашел общее решение этого уравнения. Но буду признателен, если кто подскажет, есть ли где в литературе общее решение этого уравнения. Мне очень нужно знать оно единственное общее решение или нет!

Байт · 12.11.2019, 23:04

Сообщение от Alexgera

огромное количество ненулевых решений.

Огромное - это как? в стиле x*n, y*n, z*n?
Это ерунда и никому не интересно. Интересны решения базисные. Те, где у a, b, c нет общих делителей
И начинать надо так. Пусть у натуральных a, b, c нет общего делителя. Найти такие, что ... (ваше уравнение)
Удачи!

@Alexgera · 12.11.2019, 23:14 **[ТС]**

Общее это так.
Есть две переменные одно любое натуральное число. второе четное натуральное число.
так вот эти переменные участвуют в нахождении x,y,z. Взяв любые эти переменные можно найти x,y,z . Тоесть найти решение уравнения

@kabenyuk · 13.11.2019, 06:20

Сообщение от Alexgera

Общее

Вот вам общее решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=xy,\ b=\pm\frac{2x^2-y^2}{2},\ c=\frac{2x^2+y^2}{2}$
Считайте, что это в литературе.

@Alexgera · 13.11.2019, 17:24 **[ТС]**

А с таким не сталкивались очень нужно
a^2+b^2=2*c^2

Байт · 13.11.2019, 17:58

a = b - тривиальный случай.
Предположим поэтому b > a (ищем нетривиальные решения)
Легко показать, что b > c > a и (b-c)(b+c) = (c-a)(c+a)
Может быть что-то можно извлечь отсюда?

@angor6 · 14.11.2019, 11:29

Сообщение от Alexgera

А с таким не сталкивались очень нужно
a^2+b^2=2*c^2

Это уравнение можно преобразовать так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2-c^2=c^2-b^2{.}$ Или так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c^2-a^2=b^2-c^2{.}$

Рассмотрим уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2-c^2=c^2-b^2{.}$ Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b<c<a.$ Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=c-p$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=c+q$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b \geq 1$ и имеются в виду натуральные числа. Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( c+q \right)^2-c^2=c^2- \left( c-p \right)^2{,}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2cq+q^2=2cp-p^2{,}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2+q^2=2c(p-q),$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c=\frac{p^2+q^2}{2 \left( p-q \right)}.$

Последняя формула, по-моему, даёт возможность подобрать нужные числа.

@kabenyuk · 14.11.2019, 13:45

Сообщение от angor6

нужные числа

Да, например, p=4, q=2 ==> c=5, a=1, b=7. Но непросто подбирать p и q.

Но вот более или менее общая формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=x^2-y^2+2xy,\ b=x^2-y^2-2xy,\ c=x^2+y^2.$

@SSC · 14.11.2019, 14:59

Вот великим математикам дополнительная информация от счетоводов
Вот решения
1 7 5
2 14 10
3 21 15
4 28 20
и тд
но вот еще интересные варианты
17 31 25
7 17 13

Это для уравнения
a^2+b^2=2*c^2

@kabenyuk · 14.11.2019, 15:23

Сообщение от SSC

варианты

Найдите свои:

Кликните здесь для просмотра всего текста

XML
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x   y   a   b   c
2   1   7   1   5
4   1   23  7   17
6   1   47  23  37
8   1   79  47  65
10  1   119 79  101
2   3   7   17  13
2   5   1   41  29
2   7   17  73  53
2   9   41  113 85
2   11  73  161 125
2   3   7   17  13
4   3   31  17  25
6   3   63  9   45
8   3   103 7   73
10  3   151 31  109
12  3   207 63  153

@SSC · 14.11.2019, 15:59

Сообщение от kabenyuk

Найдите свои:

Да есть у Вас
Ну тогда такой
1 239 169

@Alexgera · 14.11.2019, 17:10 **[ТС]**

Доброго времени суток!
для уравнения 2*a^2+b^2=c^2 как правильно написал kabenyuk есть общее решение. Но мне нужно сослаться на литературу.
для уравнения a^2+b^2=2*c^2 тоже есть решение - зная решение одного можно найти решение другого и наоборот.

@kabenyuk · 14.11.2019, 17:29

Сообщение от SSC

такой

Получается при х=12 y=5. Все решения исчерпываются формулами из поста № 14.

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Alexgera

сослаться

Пожалуйста Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Издат. – технико – теорет. Лит., 1957, стр 20.

Байт · 14.11.2019, 20:59

Сообщение от Alexgera

нужно сослаться на литературу

Еак сошлитесь на этот форум! Inline-материалы ноне в большом почете!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Alexgera 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.11.2019 Сообщений: 9

	Решение квадратного уравнения в натуральных числах 11.11.2019, 13:45. Показов 2927. Ответов 19 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток! Ни кто не сталкивался с уравнением 2*a^2+b^2=c^2 Раньше находил, теперь не могу найти решение данного уравнения. Интересует решение только в натуральных числах. У этого уравнения единственное общее решение или нет? Может кто сталкивался, автора не подскажете? Заранее спасибо. 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	11.11.2019, 14:20
	Alexgera, у меня вроде получилось, что решений кроме тривиальных (a = 0) нет Добавлено через 10 минут Нет, уверенность пропала. В рассуждениях допустил ошибку. Но как-то здесь с четностью можно поиграть... 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	11.11.2019, 17:23
	Alexgera, это уравнение имеет огромное количество ненулевых решений. Мало того, если (a, b, c) - решение данного уравнения, то (an, bn, cn) - тоже решение этого же уравнения ... во всех решениях переменная а - чётное натуральное число. 2

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	11.11.2019, 18:52
	Возможно, если записать заданное уравнение так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2+b^2=(c-a)(c+a),$ то поиск его корней можно подчинить некоторой теории. Несколько лет назад я прочитал в Интернете статью из журнала "Квант", посвящённую чему-то похожему. За давностью и в связи с собственными скудными познаниями в теории чисел я затрудняюсь дать точную ссылку. Помню только, что в статье было утверждение, по-моему, такого смысла: натуральное число можно представить в виде суммы двух квадратов тогда, когда в его разложение простое число вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4k+3$ входит в чётной степени (за точность формулировки не ручаюсь)... 1

@Alexgera 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.11.2019 Сообщений: 9
	12.11.2019, 22:55 [ТС]
	Да, это уравнение имеет огромное количество ненулевых решений. Я нашел общее решение этого уравнения. Но буду признателен, если кто подскажет, есть ли где в литературе общее решение этого уравнения. Мне очень нужно знать оно единственное общее решение или нет! 0

@Alexgera 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.11.2019 Сообщений: 9
	12.11.2019, 23:14 [ТС]
	Общее это так. Есть две переменные одно любое натуральное число. второе четное натуральное число. так вот эти переменные участвуют в нахождении x,y,z. Взяв любые эти переменные можно найти x,y,z . Тоесть найти решение уравнения 0

@Alexgera 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.11.2019 Сообщений: 9
	13.11.2019, 17:24 [ТС]
	А с таким не сталкивались очень нужно a^2+b^2=2*c^2 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	13.11.2019, 17:58
	a = b - тривиальный случай. Предположим поэтому b > a (ищем нетривиальные решения) Легко показать, что b > c > a и (b-c)(b+c) = (c-a)(c+a) Может быть что-то можно извлечь отсюда? 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	14.11.2019, 14:59
	Вот великим математикам дополнительная информация от счетоводов Вот решения 1 7 5 2 14 10 3 21 15 4 28 20 и тд но вот еще интересные варианты 17 31 25 7 17 13 Это для уравнения a^2+b^2=2*c^2 1

@Alexgera 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.11.2019 Сообщений: 9
	14.11.2019, 17:10 [ТС]
	Доброго времени суток! для уравнения 2a^2+b^2=c^2 как правильно написал kabenyuk есть общее решение. Но мне нужно сослаться на литературу. для уравнения a^2+b^2=2c^2 тоже есть решение - зная решение одного можно найти решение другого и наоборот. 0