Существуют ли два квадратных трёхчлена и с целочисленными коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

@Xenia1996 · Регистрация: 23.10.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Существуют ли два квадратных трёхчлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a{x}^{2}+bx+c$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a+1){x}^{2}+(b+1)x+(c+1)$ с целочисленными коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Я рассуждала следующим образом.
У одного из этих трёхчленов есть нечётный свободный член. Значит, оба его корня должны быть нечётными. Но тогда два других коэффициента этого трёхчлена должны быть разной чётности. Но тогда и у другого трёхчлена тоже коэффициенты при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}$ и при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ обладают разной чётностью. Таким образом, либо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b$ чётно и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ нечётно (и тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b+1$ нечётно и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a+1$ чётно), либо наоборот. По теореме Виета, сумма корней противоположна частному от деления этих двух коэффициентов. Чётное число можно разделить на нечётное, а вот наоборот -- вряд ли :wink: Выходит, у одного из этих трёхчленов сумма корней не будет целым числом, а значит, он не сможет иметь два целых корня.

Где ошибка в этих рассуждениях и почему у автора другое, не понятное мне, решение?

@Igor · 23.10.2012, 20:12

Xenia1996, авторское решение показалось проще.

@Xenia1996 · 23.10.2012, 20:51 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Xenia1996, авторское решение показалось проще.

Спасибо!
А в моём точно нет ошибки?

Байт · 23.10.2012, 21:21

Xenia1996, В вашем решении я ошибок не нашел (хотя это не значит, что их нет

) Решение вашего оппонента как-будто тоже правильное. Мне показались излишними его общие соображения о делимости, тк в данном случае работает "четность - не четность" (частный и более простой случай). Но излишние не значит - неправильные. И еще у него есть хитрый педагогический приемчик: "без ограничения общности..." И рассуждения становятся более прозрачными...
Удачи!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! */ #include <iostream> #include <stack> #include <cctype>. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@Xenia1996 151 / 28 / 3 Регистрация: 23.10.2012 Сообщений: 328

	Существуют ли два квадратных трёхчлена и с целочисленными коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня? 23.10.2012, 16:47. Показов 1742. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Существуют ли два квадратных трёхчлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a{x}^{2}+bx+c$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a+1){x}^{2}+(b+1)x+(c+1)$ с целочисленными коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня? Я рассуждала следующим образом. У одного из этих трёхчленов есть нечётный свободный член. Значит, оба его корня должны быть нечётными. Но тогда два других коэффициента этого трёхчлена должны быть разной чётности. Но тогда и у другого трёхчлена тоже коэффициенты при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}$ и при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ обладают разной чётностью. Таким образом, либо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b$ чётно и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ нечётно (и тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b+1$ нечётно и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a+1$ чётно), либо наоборот. По теореме Виета, сумма корней противоположна частному от деления этих двух коэффициентов. Чётное число можно разделить на нечётное, а вот наоборот -- вряд ли :wink: Выходит, у одного из этих трёхчленов сумма корней не будет целым числом, а значит, он не сможет иметь два целых корня. Где ошибка в этих рассуждениях и почему у автора другое, не понятное мне, решение? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	23.10.2012, 20:12
	Сообщение было отмечено как решение Решение Xenia1996, авторское решение показалось проще. 3

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	23.10.2012, 21:21
	Сообщение было отмечено как решение Решение Xenia1996, В вашем решении я ошибок не нашел (хотя это не значит, что их нет ) Решение вашего оппонента как-будто тоже правильное. Мне показались излишними его общие соображения о делимости, тк в данном случае работает "четность - не четность" (частный и более простой случай). Но излишние не значит - неправильные. И еще у него есть хитрый педагогический приемчик: "без ограничения общности..." И рассуждения становятся более прозрачными... Удачи! 3