базис системы векторов

@Gabberr · Регистрация: 13.10.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

есть 4 вектора a(1,2,-1), b(-2,1,2), c(-8,9,8), d(7,4,-7)
нужно найти базис системы этих векторов, что-то я запутался какую матрицу строить и преобразовывать
такую:
1 2 -1
-2 1 2
.......

или такую:
1 -2 -8 -7
2 1 9 4
-1 2 8 -7

помогите пожалуйста разобраться.

@philat · 24.10.2013, 13:53

Gabberr, так без разницы же. Главное, что в первом случае вы будете оперировать строками, а во втором столбцами.

@Gabberr · 24.10.2013, 14:09 **[ТС]**

отлично!
Дальше получаю, что 2 строки зануляются, это значит что оставшиеся 2 вектора и есть базис?

@helter · 24.10.2013, 23:03

Ставьте в столбцы. Векторы всегда ставят в столбцы. Если не оговорено противное.

Ставьте в столбцы и оперируйте со строками. Тогда найдёте базис.

@Gabberr · 24.10.2013, 23:25 **[ТС]**

получил вот такую матрицу
0 0 0 0
0 5 25 -10
-1 2 8 -7

одна строка занулилась, это означает что эти вектора не образуют базис в 3мером пространстве?

@helter · 24.10.2013, 23:36

Вам надо найти базис не пространства, а системы векторов. Здесь вы видите, что ранг равен 2, и что в первом и втором столбце есть ненулевой минор. Если (я надеюсь) вы производили операции только со строками, то в первом и втором столбцые исходной матрицы тоже есть ненулевой минор. Значит, первый и второй вектор образуют базис данной системы.

Добавлено через 59 секунд
Хотя обычно народ просто к ступенчатому виду приводит методом Гаусса.

@Gabberr · 24.10.2013, 23:45 **[ТС]**

Дальше больше... теперь нужно каждый из этих векторов разложить по этому базису, но по-моему чтоб разложить 3мерный вектрор нужнен базис состоящий из 3 векторов?
Что с этим делать, просто добавить нулевой вектор?

@helter · 24.10.2013, 23:49

Сообщение от Gabberr

3мерный вектрор нужнен базис состоящий из 3 векторов?

Нет.

Преобразуйте дальше вашу матрицу так, чтобы в первом и втором столбце было по одной единице, а остальные были бы нулями. Тогда ответ будет очевиден.

Я когда-то весной дли-инно писал на эту тему.

@Gabberr · 25.10.2013, 00:00 **[ТС]**

хм, если правильно вас понял..
вот такая матрица вышла
1 0 2 3
0 1 5 -2
0 0 0 0

теперь просто раскладывать по базису, как обычно?

@helter · 25.10.2013, 00:29

Присмотритесь внимательно:
c = 2a + 5b
d = 3a - 2b

@Newchap · 26.10.2013, 15:29

Добрый день, апну это тему, поскольку обращаюсь со сходным вопросом.
Допустим, у мне даны 4 вектора( каждый содержит 4 цифры), я записываю их в виде матрицы, затем методом Гаусса или окаймлением, нахожу ранг матрицы.
Но если задача сформулирована так, что нужно найти базис данной системы, или все базисы, то что я должен сделать и что должно быть написано в ответе?

Большое спасибо

@palva · 26.10.2013, 15:50

Newchap, любой базисный минор (если вы делали окаймлением, то вы нашли один из них) находится на пересечении базисных строк и базисных столбцов. Если вы перечислите все базисные миноры, то найдете все базисы. Когда вы знаете ранг r, то ненулевой минор порядка r пробовать на окаймление уже не нужно. Он и так базисный.

@Newchap · 26.10.2013, 17:14

Сообщение от palva

Newchap, любой базисный минор (если вы делали окаймлением, то вы нашли один из них) находится на пересечении базисных строк и базисных столбцов. Если вы перечислите все базисные миноры, то найдете все базисы. Когда вы знаете ранг r, то ненулевой минор порядка r пробовать на окаймление уже не нужно. Он и так базисный.

Т.е. задание найти все базисы стоит понимать как нахождение всех миноров(для матрицы 4 ранга это будут миноры 3 и 2 ранга?), не равных нулю?

В ответ мне нужно выписать будет все эти миноры?

и ещё один вопрос, пожалуйста.
Если я делаю это методом гаусса, что мне писать в ответ и как он должен выглядеть?
а также, как будет отличаться ответ, если я найду, что ранг равен трем??

Извините, если тупняк, бывший лингвист, не врубился толком ещё, а сдавать надо.

@palva · 26.10.2013, 17:31

Сообщение от Newchap

для матрицы 4 ранга это будут миноры 3 и 2 ранга?

Для матрицы ранга 4 это будут миноры 4-го порядка.

Сообщение от Newchap

В ответ мне нужно выписать будет все эти миноры?

Вообще задача не про миноры. И еще вопрос, является ли нахождение ранга через миноры самым эффективным способом. Вы этот способ упомянули, я и ответил. А в ответ нужно написать все подмножества вашего множества векторов, из которых можно составить базис.

Сообщение от Newchap

Если я делаю это методом гаусса, что мне писать в ответ и как он должен выглядеть?

Это я не знаю. Гаусс хорошо подходит, чтобы найти один базис и тем самым найти ранг r. Как найти все базисы - затрудняюсь дать эффективный алгоритм кроме перебора всех подмножеств размера r.

@Newchap · 26.10.2013, 21:49

palva, Большое спасибо.

Добавлено через 4 часа 9 минут
palva, Если не сложно, можно попросить сделать ещё одно пояснение?
я понял, что делать с матрицами квадратичного вида, но как искать ранг и базис в матрицах не квадратичного вида?
Например 5 строк, в каждой по 3 цифры. не совсем понимаю, где в такой матрице проходит главная диагональ.
Был бы признателен, если бы кинули пример.

@palva · 26.10.2013, 22:19

Не надо "главная диагональ". Ваш термин Гаусс - это приведение к ступенчатому виду.
http://www.kakprosto.ru/kak-57... atomu-vidu
Для вашей задачи алгоритм такой: располагаете исходные векторы по столбцам матрицы и приводите ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Ступенька это ненулевой элемент матрицы не имеющий слева от себя ненулевых элементов. Столбцы, содержащие ступеньку являются базисными. Приводить к ступенчатому виду можно разными способами. Разные способы могут дать разный набор базисных столбцов. Имеются онлайновые службы, которые приведут вашу матрицу к ступенчатому виду. Например: http://www.mathforyou.net/MUpperTriangle.html
Правда там она называется верхнетреугольным видом.

@helter · 26.10.2013, 22:23

Они и приводят, наверно, к верхнетреугольному. Матрицу
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $
оставили без изменения.

@palva · 26.10.2013, 22:43

Сообщение от helter

оставили без изменения.

Гады. Поищите другой сайт. Вот этот, например, работает http://matrixcalc.org/

@helter · 26.10.2013, 22:46

На самом деле для понимания было бы полезно самому написать приведение к ступенчатому виду на любом языке, какой нравится. Например, на Хаскелле.

Оно вроде несложно, но нужно делать аккуратно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Архитектура слоя интернета для сервера-слоя. Hrethgir 11.04.2026 В продолжение https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 223907/ 10860. html Знаешь что я подумал? Раз мы все источники пишем в голове ветки, то ничего не мешает добавить в голову такой источник, который сам. . .	Подстановка значения реквизита справочника в табличную часть документа Maks 10.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: при выборе сотрудника (справочник Сотрудники) в ТЧ документа. . .	Очистка реквизитов документа при копировании Maks 09.04.2026 Алгоритм из решения ниже применим как для типовых, так и для нетиповых документов на самых различных конфигурациях. Задача: при копировании документа очищать определенные реквизиты и табличную. . .	модель ЗдравоСохранения 8. Подготовка к разному выполнению заданий anaschu 08.04.2026 https:/ / github. com/ shumilovas/ med2. git main ветка * содержимое блока дэлэй из старой модели теперь внутри зайца новой модели 8ATzM_2aurI
Блокировка документа от изменений, если он открыт у другого пользователя Maks 08.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в конфигурации КА2. Задача: запретить редактирование документа, если он открыт у другого пользователя. / / . . .	Система безопасности+живучести для сервера-слоя интернета (сети). Двойная привязка. Hrethgir 08.04.2026 Далее были размышления о системе безопасности. Сообщения с наклонным текстом - мои. А как нам будет можно проверить, что ссылка наша, а не подделана хулиганами, которая выбросит на другую ветку и. . .	Модель ЗдрввоСохранения 7: больше работников, больше ресурсов. anaschu 08.04.2026 работников и заданий может быть сколько угодно, но настроено всё так, что используется пока что только 20% kYBz3eJf3jQ	Дальние перспективы сервера - слоя сети с космологическим дизайном интефейса карты и логики. Hrethgir 07.04.2026 Дальнейшее ближайшее планирование вывело к размышлениям над дальними перспективами. И вот тут может быть даже будут нужны оценки специалистов, так как в дальних перспективах всё может очень сильно. . .

@Gabberr 105 / 105 / 19 Регистрация: 13.10.2009 Сообщений: 406

	базис системы векторов 24.10.2013, 12:42. Показов 4626. Ответов 18 Метки нет (Все метки) есть 4 вектора a(1,2,-1), b(-2,1,2), c(-8,9,8), d(7,4,-7) нужно найти базис системы этих векторов, что-то я запутался какую матрицу строить и преобразовывать такую: 1 2 -1 -2 1 2 ....... или такую: 1 -2 -8 -7 2 1 9 4 -1 2 8 -7 помогите пожалуйста разобраться. 0

@philat 112 / 112 / 16 Регистрация: 19.08.2013 Сообщений: 298
	24.10.2013, 13:53
	Gabberr, так без разницы же. Главное, что в первом случае вы будете оперировать строками, а во втором столбцами. 1

@Gabberr 105 / 105 / 19 Регистрация: 13.10.2009 Сообщений: 406
	24.10.2013, 14:09 [ТС]
	отлично! Дальше получаю, что 2 строки зануляются, это значит что оставшиеся 2 вектора и есть базис? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.10.2013, 23:03
	Ставьте в столбцы. Векторы всегда ставят в столбцы. Если не оговорено противное. Ставьте в столбцы и оперируйте со строками. Тогда найдёте базис. 1

@Gabberr 105 / 105 / 19 Регистрация: 13.10.2009 Сообщений: 406
	24.10.2013, 23:25 [ТС]
	получил вот такую матрицу 0 0 0 0 0 5 25 -10 -1 2 8 -7 одна строка занулилась, это означает что эти вектора не образуют базис в 3мером пространстве? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.10.2013, 23:36
	Вам надо найти базис не пространства, а системы векторов. Здесь вы видите, что ранг равен 2, и что в первом и втором столбце есть ненулевой минор. Если (я надеюсь) вы производили операции только со строками, то в первом и втором столбцые исходной матрицы тоже есть ненулевой минор. Значит, первый и второй вектор образуют базис данной системы. Добавлено через 59 секунд Хотя обычно народ просто к ступенчатому виду приводит методом Гаусса. 1

@Gabberr 105 / 105 / 19 Регистрация: 13.10.2009 Сообщений: 406
	24.10.2013, 23:45 [ТС]
	Дальше больше... теперь нужно каждый из этих векторов разложить по этому базису, но по-моему чтоб разложить 3мерный вектрор нужнен базис состоящий из 3 векторов? Что с этим делать, просто добавить нулевой вектор? 0

@Gabberr 105 / 105 / 19 Регистрация: 13.10.2009 Сообщений: 406
	25.10.2013, 00:00 [ТС]
	хм, если правильно вас понял.. вот такая матрица вышла 1 0 2 3 0 1 5 -2 0 0 0 0 теперь просто раскладывать по базису, как обычно? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	25.10.2013, 00:29
	Присмотритесь внимательно: c = 2a + 5b d = 3a - 2b 1

@Newchap 4 / 4 / 1 Регистрация: 17.09.2013 Сообщений: 179
	26.10.2013, 15:29
	Добрый день, апну это тему, поскольку обращаюсь со сходным вопросом. Допустим, у мне даны 4 вектора( каждый содержит 4 цифры), я записываю их в виде матрицы, затем методом Гаусса или окаймлением, нахожу ранг матрицы. Но если задача сформулирована так, что нужно найти базис данной системы, или все базисы, то что я должен сделать и что должно быть написано в ответе? Большое спасибо 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	26.10.2013, 15:50
	Newchap, любой базисный минор (если вы делали окаймлением, то вы нашли один из них) находится на пересечении базисных строк и базисных столбцов. Если вы перечислите все базисные миноры, то найдете все базисы. Когда вы знаете ранг r, то ненулевой минор порядка r пробовать на окаймление уже не нужно. Он и так базисный. 1

@Newchap 4 / 4 / 1 Регистрация: 17.09.2013 Сообщений: 179
	26.10.2013, 21:49
	palva, Большое спасибо. Добавлено через 4 часа 9 минут palva, Если не сложно, можно попросить сделать ещё одно пояснение? я понял, что делать с матрицами квадратичного вида, но как искать ранг и базис в матрицах не квадратичного вида? Например 5 строк, в каждой по 3 цифры. не совсем понимаю, где в такой матрице проходит главная диагональ. Был бы признателен, если бы кинули пример. 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	26.10.2013, 22:19
	Не надо "главная диагональ". Ваш термин Гаусс - это приведение к ступенчатому виду. http://www.kakprosto.ru/kak-57... atomu-vidu Для вашей задачи алгоритм такой: располагаете исходные векторы по столбцам матрицы и приводите ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Ступенька это ненулевой элемент матрицы не имеющий слева от себя ненулевых элементов. Столбцы, содержащие ступеньку являются базисными. Приводить к ступенчатому виду можно разными способами. Разные способы могут дать разный набор базисных столбцов. Имеются онлайновые службы, которые приведут вашу матрицу к ступенчатому виду. Например: http://www.mathforyou.net/MUpperTriangle.html Правда там она называется верхнетреугольным видом. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	26.10.2013, 22:23
	Они и приводят, наверно, к верхнетреугольному. Матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 & 1\\<br /> 0 & 0 & 1\\<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}<br />$ оставили без изменения. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	26.10.2013, 22:46
	На самом деле для понимания было бы полезно самому написать приведение к ступенчатому виду на любом языке, какой нравится. Например, на Хаскелле. Оно вроде несложно, но нужно делать аккуратно. 0