Объясните формулы "матрица вращения на плоскости"

Добрый день

Эти формулы приводятся во множестве тьюториалов, часто под видом "матрица вращения на плоскости".

x' = x * cos(a) - y * sin(a)
y' = y * cos(a) + x * sin(a)

Как бы Вы их объяснили первокурсникам? Желательно "под запись", т.е. что должно быть у детей в конспектах?

Спасибо

0

Вот, вместе с тангенсом суммы аргументов.

0

Сообщение от Cyborg Drone Вот, вместе с тангенсом суммы аргументов.

Ну и как, много ли Вы поняли в этом доказательстве? Мне в 1977 понять так и не удалось, сейчас тем более (сильно отупел). Правда научился выводить эти формулы "по чертежу и Пифагору", длинно но хоть понятно. Теперь пожуем красивое доказательство.

Возьмем 2 единичных радиус-вектора, они соответствуют углам a и b

v1 = (cos(a), sin(a))
v2 = (cos(b), sin(b))

Их скалярное произведение: dot(v1, v2) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Это косинус угла между этими (единичными) векторами: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
Заменим знак используя sin(-b) = -sin(b), итого

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Quod erat demonstrandum

0

Сообщение от Igor3D Ну и как, много ли Вы поняли в этом доказательстве?

Всё понял. Где-то в 1979 году.

0

Сообщение от Igor3D Мне в 1977 понять так и не удалось,

Сообщение от Cyborg Drone Всё понял. Где-то в 1979 году.

В 2011 я вывел формулу приближенного вычисления угла ( arccos(alpha)), по сути, исходя из катета. (формула опубликована на сайте наука и жизнь, hatch assembler и ещё там где-то - не помню....
Т.е. управляя переменным резистором (грубо говоря) можно управлять закрылками ракеты, например, без микроконтроллера, т.е. напрямую. (просто аналоговой техникой со скоростью нано). Точность 10 -4 степени на дельта углах до 30 градусов.
А вот эти формулы (igor3d), хорошее кстати доказательство, это просто переход в другую плоскость...

0

Сообщение от Cyborg Drone Всё понял.

Ну хорошо если так Не исключено что в учебнике какое-то "классическое" доказательство используемое уже сотни лет. Как-то оно напоминает кватернионы и Гамильтона. Это просто у меня такое впечатление

Однако ж мы отклонились от темы. Все ли мы объяснили/дали первокурснику ? Увы, на полное объяснение "под запись" не разорился никто. Разобрались с доказательством/обоснованием этих формул - дело хорошее, нужное. Но и тупенько их запомнить - особого греха не вижу. Главное - уметь (эффективно) юзать. Тут, на мой взгляд, упущена важная вещь. Какие будут мнения?

0

Сообщение от Igor3D Их скалярное произведение: dot(v1, v2) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b) Это косинус угла между этими (единичными) векторами: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Эквивалентность этих двух определений требует доказательства.

Доказательство можно посмотреть тут:
Скалярное произведение векторов

0

Сообщение от Shamil1 Эквивалентность этих двух определений требует доказательства.

Любое доказательство по меньшей мере "имеет право" ссылаться на уже доказанное, в том числе и на "официальные" определения. Иначе цепь доказательств станет невыносимой Хотя да, с "эквивалентностью" мне тоже не все ясно

Сообщение от Shamil1 Доказательство можно посмотреть тут: Скалярное произведение векторов

Не увидел что хотелось бы. Есть два определения, (6) и (7) в статье. Первое - длины на косинус. Второе - сумма произведений. Каким образом из первого следует второе или наоборот? В статье многообещающая фраза

Кажущееся привычным перемножение скобок ... не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения.

Но дальше доказывается умножение (a + b)(c + d), нафиг это надо?

Все-таки все хорошо в меру, и логика тоже. Где-то надо остановиться и тупенько запомнить

0

Доказательства всех четырёх формул.

1) По теореме Пифагора квадрат расстояния между двумя точками P_α и P_β на единичной окружности:
(cosβ - cosα)² + (sinα - sinβ)²
То же расстояние после поворота на угол β (вычтем β из обоих углов):
(1 - cos(α - β))² + (sin(α - β) - 0)²
Отсюда, с учётом cos²x + sin²x = 1, получаем:
2 - 2(cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 - 2 cos(α - β)
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

2) Так как cos(-x) = cosx и sin(-x) = -sinx, то:
cos(α + β) = cosα cos(-β) + sinα sin(-β)
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

3) cos(π/2 - x) = cos(π/2) cosx + sin(π/2) sinx = sinx
Подставляя x = π/2 - y, получим:
sin(π/2 - y) = cos(π/2 - (π/2 - y)) = cosy
С учётом этих тождеств:
sin(α - β) = cos(π/2 - (α - β)) = cos((π/2 - α) + β)) = cos(π/2 - α) cosβ - sin(π/2 - α) sinβ = sinα cosβ - cosα sinβ
sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ

4) Так как cos(-x) = cosx и sin(-x) = -sinx, то:
sin(α + β) = sinα cos(-β) - cosα sin(-β)
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

1

Сообщение от Igor3D Любое доказательство по меньшей мере "имеет право" ссылаться на уже доказанное

Не совсем. Например, при доказательстве теоремы Пифагора нельзя ссылаться на (уже доказанную кем-то ранее) теорему Пифагора.

Сообщение от Igor3D Каким образом из первого следует второе или наоборот?

Сразу за (7) идёт доказательство эквивалентности с использованием разложения на единичные векторы.

Сообщение от Igor3D Но дальше доказывается умножение (a + b)(c + d), нафиг это надо?

Доказывается, что это (справедливое для чисел) тождество выполняется также и для скалярного произведения векторов.

0

Сообщение от Shamil1 Сразу за (7) идёт доказательство эквивалентности с использованием разложения на единичные векторы.

Это доказательство самого (7) (сумма квадратов длин), оно никак не связано с (6) (косинус на длины)

Сообщение от Shamil1 Доказывается, что это (справедливое для чисел) тождество выполняется также и для скалярного произведения векторов.

Да, и при этом используется (6) косинус (в виде "проекция на длину"), но без всяких доказательств эквивалентности

0

Сообщение от Igor3D Да, и при этом используется (6) косинус (в виде "проекция на длину"), но без всяких доказательств эквивалентности

(6) - это основное определение (при данном подходе).

Дальше даётся альтернативное определение (7).
Приводится доказательство его эквивалентности:

(строчные буквы - вектора, большие - модули, то есть, числа)
a*b = (A_xi + A_xj) * (B_xi + B_xj) = ... = A_x*B_x + A_y*B_y

Сообщение от Igor3D Да, и при этом используется (6) косинус (в виде "проекция на длину"), но без всяких доказательств эквивалентности

Первое определение верно, не зависимо от того, верно ли (эквивалентно ли первому) второе определение.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Igor3D Заметим что чем дальше вопрос от жизни/практики - тем охотнее он обсуждается.

ИМХО Вы путаете следствие и корреляцию.
Чем чётче и проще сформулированы условия задачи, тем охотнее она обсуждается.

0

Сообщение от Shamil1 Дальше даётся альтернативное определение (7). Приводится доказательство его эквивалентности: (строчные буквы - вектора, большие - модули, то есть, числа) a*b = (Axi + Axj) * (Bxi + Bxj) = ... = Ax*Bx + Ay*By

Правду сказать, никогда не понимал что тут "доказывается". Ну ввели правила i, j, здесь ортогональные/независимые компоненты дают нулевое произведение. И получили что хотели. На здоровье, но это просто "волевое решение". Вот если за исходные принять формулы стартового поста - тогда да, выходит что косинус равен сумме произведений.

Сообщение от Shamil1 ИМХО Вы путаете следствие и корреляцию. Чем чётче и проще сформулированы условия задачи, тем охотнее она обсуждается.

"Достоинства являются продолжением недостатков" и наоборот. "В пределе" идеальная задача совершенно бесполезна Взглянуть по-новому на скалярное произведение конечно небезынтересно (во всяком случае мне), но практическая польза равна нулю. Впрочем с популярными здесь комбинаторными задачами - то же самое. Дальше "гимнастики ума" дело не идет.

Практическая задача - совершенно иное дело. Вот мое "решение" для стартового поста (копия чтобы было под рукой)
Тут не хватает "доброй половины", и дело совсем не в доказательстве простых формул (оно здесь не так уж важно). Может Вы считаете упущенное столь очевидным что и упоминать не стоит? Поверьте, вчерашний школьник этого не знает. Или в самом деле не видите? (не верю)

0

0

Апну темку

Сообщение от Catstail вращения даже трехмерного пространства (не говоря уже о бОльших размерностях) - более сложная задача. Имеет место замечательная теорема примерно такого содержания "Два поворота вокруг двух векторов, исходящих из начала координат эквивалентны повороту на некоторый угол вокруг некоторого вектора". Найти этот вектор и этот угол - довольно сложная задача. И здесь очень может помочь алгебра кватернионов.

Во-первых, спасибо за ссылку, книженция очень неплохая. "Быстро проглотить" конечно не получится, но любой параграф можно понять/осмыслить. Оказывается, в 1973 люди писали гораздо лучше!

Но вот все остальное от том "как это сложно" мне напомнило старый анекдот

- Ах как красиво вы работаете! А вот если бы вы стакан маханули - вы бы так работать уже не смогли! Верно, товарищ рабочий? - Та нет, думаю - смог бы

0

Сообщение от Igor3D Та чего же все-таки там не хватает?

- кому??? Лично мне - всего достаточно.

0

Сообщение от Catstail - кому??? Лично мне - всего достаточно.

Так уж и всего. Вас не насторожила эта фраза?

Сообщение от Igor3D Эти формулы могут быть использованы для поворота 2D вектора/координаты (x, y) вокруг точки (0, 0) на угол a.

И вспомним классику

У тебя там не закрытый, а открытый перелом!

0

Igor3D, фраза верная. Что тут должно насторожить?

0

Сообщение от Catstail фраза верная. Что тут должно насторожить?

Ну вот это осторожное "могут быть использованы", ведь не утверждается что "они (именно) для этого предназначены". Могут быть и для другого использованы

Сказать/озвучить мне конечно не жалко, но тогда

- ну это само собой - это очевидно.. - так я об этом и говорил.. - и это все? - кого ты этим хотел удивить? - он что, делится опытом?

И.т.д. И.т.п. Все становятся очень, ну очень умными "задним числом", когда "правильный ответ" известен А вот без него как-то "приходится наслаждаться тишиной" Это нормально, такова природа человека

0

Igor3D, я, кажется, понимаю, к чему сводится дискуссия. К тому, что Вы требуете от сознания собеседников, чтобы оно (их сознание) прошло тем же путем, что и Ваше... А это - достаточно редкая ситуация. Путь понимания у каждого свой. И Вы (подсознательно) это и сами понимаете, когда пишете "вы скажете - ну, это само собой".

Линейная алгебра возникла в 17-м веке, у истоков стоял Эйлер. Именно он ввел понятие аффинного преобразования. С тех прошло в круглых цифрах 300 лет. Все значимое на эту тему давно сказано. Вы считаете, что открыли что-то новое? Ну, огласите! А я найду Вам источник, где это сказано до Вас. Найду с высокой вероятностью.

Без этого считаю дальнейшую дискуссию бессмысленной.

0

Сообщение от Catstail Вы считаете, что открыли что-то новое?

Нет конечно Понятно что аналитическая геометрия - довольно консервативная дисциплина где все известно уже сотни лет (и в этом немало плюсов).

Вернемся к теме. Считаю что препод обязан добавить самое главное

Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат. В этом случае x и y не числа(скаляры), а ортогональные 3D вектора равной длины (но необязательно единичной). Результатом будет поворот этих векторов вокруг оси проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении z = cross(x, y) На практике обычно мы имеем не пару векторов, а только один, напр x который нужно повернуть вокруг заданной (вектором) оси. В этом случае ...

Ну и дальше подробно, на примере, разжевать использование. (Коротенько так, минут на 40, больше не нужно)

Сообщение от Catstail А я найду Вам источник, где это сказано до Вас. Найду с высокой вероятностью.

Я "открыл" эти формулы (вернее эту особенность, сами формулы знал) в середине 90-х лазая по каким-то исходникам. С тех пор я применял их в своем коде много сотен раз для векторов, а вот для скаляров - ну может и было но не помню. При желании можно вращать только ими, но впадать в крайность не стоит, матрица и кватернион - тоже вещь. Доказательством особо не интересовался (главное работает), открывал вику, очень похоже выглядит "формула Родриго". Как уже говорил, создал эту тему после чтения одной (весьма художественной) статьи на хабре.

Сообщение от Catstail К тому, что Вы требуете от сознания собеседников, чтобы оно (их сознание) прошло тем же путем, что и Ваше...

Напротив, мне было бы очень интересно увидеть "другой путь", но увы - пока не наблюдаю никаких. Ну и не то чтобы я такой уж "защитник молодежи", но как-то досадно: вместо того чтобы пояснить базовую вещь - тыкнут в морду 2 слайда, и все дела

0