Объясните формулы "матрица вращения на плоскости"

Формулы поворота

1. Сами формулы
x' = x * cos(a) - y * sin(a)
y' = x * sin(a) + y * cos(a)

Эти формулы могут быть использованы для поворота 2D вектора/координаты (x, y) вокруг точки (0, 0) на угол a. Положительный угол соответствует вращению против часовой стрелки. Говорят также CCW (CounterColckWise)

2. Доказательство/обоснование. Данные формулы легко получаются из тригонометрических для суммы углов

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
sin(a + b) = cos(a) * sin(b) + sin(a) * cos(b)

В равенствах умножим обе части на r - длину вектора (x, y) и заменим параметрические координаты на декартовы

x = r * cos(b)
y = r * sin(b)

x' = r * cos(a + b)
y' = r * sin(a + b)

3. Данные формулы часто записываются в виде матриц

Важно: данная запись в нотации "column major" широко используемой во многих приложениях, напр OpenGL. Матрица применяется "слева", т.е. строка матрицы множится на вектор-столбец (трансформируемой) координаты

4. Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат. В этом случае x и y не числа(скаляры), а взаимо-перпендикулярные 3D вектора равной длины (но необязательно единичной). Других ограничений на исходные вектора не накладывается, их координаты могут быть любыми, необязательно совпадать с осями/плоскостями СК.

Вращение происходит в плоскости определяемой этой парой векторов и проходящей через начало координат (0, 0, 0). Осью вращения будет нормаль к этой плоскости проходящая через начало координат. Вектор нормали z вычисляется как z = cross(x, y)

5. На практике часто возникает задача повернуть один вектор (считаем его вектором x) вокруг заданной заданной оси z. Для упрощения расчетов всегда считаем вектор z единичным/номированным.

5.1 Сначала рассмотрим частный случай когда x и z перпендикулярны. Считаем что вектора x, y и z образуют "правую" тройку. Для нее каждая ось получается векторным произведением двух предыдущих, т.е.

x = cross(y, z)
y = cross(z, x)
z = cross(x, y)

Отсюда нужный y = cross(z, x) и повернутый вектор
x' = x * cos(a) - y * sin(a)

Положительный угол поворота a здесь соответствует вращению по часовой (ось z направлена на наблюдателя). Можно было считать исходным вектор y, вычислить x для правой тройки и применить вторую формулу. Расчеты и результат получаются те же

5.2 Теперь рассмотрим общий случай: повернуть вектор x вокруг заданной заданной оси z причем эти вектора (в общем случае) не перпендикулярны
В этом случае вращается лишь часть вектора: его проекция на плоскость вращения. При этом угол между исходным и повернутым векторами может быть от заданного a (если ось перпендикулярна) до нуля (если ось коллинеарна). Представим x в виде суммы 2 векторов: проекцию на ось поворота и проекцию на плоскость поворота

x1 = z * dot(x, z) // x1 = проекция на ось поворота, она не вращается
x2 = x - x1 // оставшаяся часть x2 = проекция на плоскость поворота, вращаем ее (см 5.1)

// повернутый вектор
x' = x1 + x2 * cos(a) + cross(z, x2) * sin(a)

Разложение вектора на 2 части/компоненты - очень простой но и очень эффективный (базовый) прием