Объясните формулы "матрица вращения на плоскости"

@Igor3D · Регистрация: 01.10.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день

Эти формулы приводятся во множестве тьюториалов, часто под видом "матрица вращения на плоскости".

x' = x * cos(a) - y * sin(a)
y' = y * cos(a) + x * sin(a)

Как бы Вы их объяснили первокурсникам? Желательно "под запись", т.е. что должно быть у детей в конспектах?

Спасибо

@Catstail · 27.02.2025, 15:57

Сообщение от Igor3D

Напротив, мне было бы очень интересно увидеть "другой путь", но увы - пока не наблюдаю никаких.

- увидеть "другой путь" очень трудно. В любом случае, это Ваша проблема, а не моя. А Вы перекладываете ее на собеседников.

Сообщение от Igor3D

Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат.

- преобразование 3D-векторов задаются матрицами 3x3.

@Igor3D · 28.02.2025, 21:19 **[ТС]**

Кстати, не желаете продолжить объяснение? (вот видите, перекладывает свои проблемы на собеседников

)

Сообщение от Igor3D

На практике обычно мы имеем не пару векторов, а только один, напр x который нужно повернуть вокруг заданной (вектором) оси. В этом случае ...

@Shamil1 · 28.02.2025, 22:42

Сообщение от Igor3D

На практике обычно мы имеем не пару векторов, а только один

Если вектор один, то умножаем его на матрицу поворота. Если векторов несколько, то выполняем это для каждого вектора.

@Igor3D · 28.02.2025, 23:38 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Если вектор один, то умножаем его на матрицу поворота. Если векторов несколько, то выполняем это для каждого вектора.

С матрицей тут конфуз получился. Я назвал тему просто "Объясните формулы", остальное добавил модератор. Ничего страшного, выражение "на плоскости" остается верным, никто не обещал что это плоскость XY. А вот матрицы нет, та 2х2 что для скаляров не годится для векторов. Ну и умножение на матрицу - формальное решение, используется что залито в матрицу

@u235 · 01.03.2025, 12:17

Сообщение от Catstail

- преобразование 3D-векторов задаются матрицами 3x3.

Чаще всего для линейного преобразования 3D-векторов используют т.н. однородные координаты, при этом используют матрицы 4x4 (в 3D и 3x3 в 2D).

Сообщение от Shamil1

Если векторов несколько, то выполняем это для каждого вектора.

Это вопрос терминалогии. Можно из исходных n векторов сформировать матрицу nx3, умножить эту матрицу на матрицу преобразования 3x3 и получить новую матрицу nx3, состоящуюю из векторов после преобразования.
Кстати, поворот вектора на комплексной плоскости вокруг начала координат это просто умножение его на комплексное число cos(a)+j*sin(a).

@Catstail · 01.03.2025, 12:52

u235, в практике - да, согласен.

@Igor3D · 01.03.2025, 13:17 **[ТС]**

Сообщение от u235

Чаще всего для..

Чтение книг сразу чувствуется, все очень грамотно (в хорошем смысле). Но вот решать задачки книжники обычно не спешат. Давайте все-таки дожмем и покажем как вращать 3D вектор с помощью этих формул. А то

Хмм... два "ортогональных" (перпендикулярных) вектора - а где я их возьму? Мне-то нужно повернуть заданный вектор вокруг заданной оси. Нет, эти формулы - какой-то неправильный, корявый способ. Нужно юзать матрицу поворота как все делают!

Развейте эти сомнения

@VAF34 · 01.03.2025, 14:08

Если возникла конкретная задача: "нужно повернуть заданный вектор вокруг заданной оси". То ее решение легко построить.
Направление вектора "ось" принимаем за ось z. Перпендикулярную плоскость считаем плоскостью (x.y) Проекция вращаемого вектора на плоскость направим по назначенной оси x. Дальше просто.

@Igor3D · 02.03.2025, 15:51 **[ТС]**

Сообщение от VAF34

Направление вектора "ось" принимаем за ось z. Перпендикулярную плоскость считаем плоскостью (x.y) Проекция вращаемого вектора на плоскость направим по назначенной оси x. Дальше просто.

Вероятная реакция

Какая-то "проекция" которую надо куда-то "направлять"... Ни фига не понял. И что "просто"? Скажите, что нам записывать?

И это еще хороший студент который честно пытается понять (ненадолго). Это ведь одна из первых лекций для тех кто учится всего несколько недель. Вероятно понятия алгебры векторов и скалярное/векторное произведение были даны на предыдущей лекции (если он ее посещал). Хорошо если помнит формулы, но никакого практического опыта решения задач у него точно нет. Короче, как часто говорят

Вы можете нормально объяснить, а не выёживаться?

Вот мое объяснение, продолжите его, или, еще лучше, предложите свое. У человека с минимальной подготовкой должен быть такой конспект чтобы сдать экзамен. Нормальный все поймет и сдаст на "отлично", тупой - что-то запомнит и до троечки доползет

Кликните здесь для просмотра всего текста

1.
x' = x * cos(a) - y * sin(a)
y' = x * sin(a) + y * cos(a)

Эти формулы могут быть использованы для поворота 2D вектора/координаты (x, y) вокруг точки (0, 0) на угол a. Положительный угол соответствует вращению против часовой стрелки. Говорят также CCW (CounterColckWise)

2. Доказательство/обоснование. Данные формулы легко получаются из тригонометрических для суммы углов

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
sin(a + b) = cos(a) * sin(b) + sin(a) * cos(b)

В равенствах умножим обе части на r - длину вектора (x, y) и заменим параметрические координаты на декартовы

x = r * cos(b)
y = r * sin(b)

x' = r * cos(a + b)
y' = r * sin(a + b)

3. Данные формулы часто записываются в виде матриц
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}cos(a)& -sin(a)\\sin(a) & cos(a)\end{pmatrix}$
Важно: данная запись в нотации "column major" широко используемой во многих приложениях, напр OpenGL. Матрица применяется "слева", т.е. строка матрицы множится на вектор-столбец (трансформируемой) координаты

4. Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат. В этом случае x и y не числа(скаляры), а ортогональные 3D вектора равной длины (но необязательно единичной). Результатом будет поворот этих векторов вокруг оси проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении z = cross(x, y)

На практике обычно мы имеем не пару векторов, а только один, напр x который нужно повернуть вокруг заданной (вектором) оси. В этом случае ...

Кстати формулировка объяснения (неожиданно) оказалась весьма увлекательным занятием

. Легко "налить воды", а вот написать кратко но полно..

@Shamil1 · 02.03.2025, 17:42

Сообщение от Igor3D

Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат

В этих формулах нет z. Точно можно использовать эти же формулы?

Сообщение от Igor3D

В этом случае x и y не числа(скаляры), а ортогональные 3D вектора равной длины

Каким образом, умножая длину на число (косинус угла), можно получить 3D вектор?

@Igor3D · 02.03.2025, 18:43 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

В этих формулах нет z. Точно можно использовать эти же формулы?

Точно. Ведь 2D вектор - частный случай 3D вектора. Исходные формулы соответствуют повороту в плоскости XY вокруг оси Z. Но формулы можно записать и для других плоскостей

y' = y * cos(a) - z * sin(a) // поворот в плоскости YZ вокруг оси X
z' = z * cos(a) + y * sin(a)

z' = z * cos(a) - x * sin(a) // поворот в плоскости ZX вокруг оси Y
x' = x * cos(a) + z * sin(a)

Сообщение от Shamil1

Каким образом, умножая длину на число (косинус угла),

А нигде не утверждалось что x и y обязательно длины (скаляры)

@Shamil1 · 03.03.2025, 00:09

Сообщение от Igor3D

А нигде не утверждалось что x и y обязательно длины (скаляры)

Мы умножаем длину r на косинус и получаем x.
Поэтому вопрос: Каким образом, умножая длину на число (косинус угла), можно получить 3D вектор?

Сообщение от Igor3D

поворот в плоскости YZ вокруг оси X

А поворот вокруг произвольной оси? Ожидаю увидеть матрицу 3на3. Раз уж Вы завели речь о 3D векторах.
Или хотя бы что-нибудь про композицию трёх поворотов. Это ведь одна из первых лекций для тех кто учится всего несколько недель.

@Igor3D · 03.03.2025, 13:04 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Мы умножаем длину r на косинус и получаем x.
Поэтому вопрос: Каким образом, умножая длину на число (косинус угла), можно получить 3D вектор?

Умножение (знаковой) длины - это подробности доказательства для плоского случая. Доказательство для 3D случая - не стоит его здесь размазывать, достаточно что "это работает". Актуально "как юзать".

Сообщение от Shamil1

А поворот вокруг произвольной оси? Ожидаю увидеть матрицу 3на3. Раз уж Вы завели речь о 3D векторах. Или хотя бы что-нибудь про композицию трёх поворотов. Это ведь одна из первых лекций для тех кто учится всего несколько недель.

К сожалению, про композицию мне в ВУЗе ничего не говорили, и потом мне пришлось набить немало шишек.

Интересно наблюдать как срабатывает "рефлекс". Ага, поворот - значит матрица!

А вот и нет, данные формулы позволяют вращать "без всяких матриц". Ну и опять: само по себе "матрица" ровным счетом ничего не объясняет, ведь матрица - это "откомпилированный" результат содержательного решения. Напр из данных формул можно получить матрицу 3х3 (хотя сделать это "руками" утомительно)

@Shamil1 · 03.03.2025, 16:45

Сообщение от Igor3D

4. Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат. В этом случае x и y не числа(скаляры), а ортогональные 3D вектора равной длины (но необязательно единичной). Результатом будет поворот этих векторов вокруг оси проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении z = cross(x, y)

Первое и последнее предложение при первом прочтении не связались друг с другом. В первом говорится о повороте 3D, а в последнем уточняется, что речь идёт о частном случае - вращении вокруг оси Z.

Было бы понятнее, если это объединить в одно предложение:
"Эти же формулы используются для поворота 3D векторов/координат вокруг оси Z"

Второе предложение (про "ортогональные 3D вектора равной длины") вообще не могу понять.

Сообщение от Igor3D

На практике обычно мы имеем не пару векторов, а только один

Это тоже не могу понять, так как все предыдущие формулы приведены для одного вектора.

Сообщение от Igor3D

Умножение (знаковой) длины

Длина бывает знаковая? Где встречается такая в приведённых формулах?

Сообщение от Igor3D

Ага, поворот - значит матрица! А вот и нет, данные формулы позволяют вращать "без всяких матриц".

Очевидно, что матрица - это компактный способ записи преобразования для вектора, и вместо матрицы можно использовать N формул (для каждой координаты).

@Igor3D · 03.03.2025, 18:50 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Первое и последнее ..

Речь идет о повороте пары взаимо-перпендикулярных 3D векторов вокруг произвольной оси, 3D вектор которой (нормаль к плоскости векторов/вращения) вовсе не обязан совпадать с какой-то осью координат. Называем этот вектор z, по аналогии с x и y, др словами теперь у нас все вектора (кроме sin/cos)

Пара (2 вектора) исходных необходима для расчета, но часто дан один и пересчитать нужно его. Можно "назначить" данный вектор x и, используя известную ось z, посчитать y или наоборот, считать x от y. Результат и расчеты получаются одинаковы, это еще предстоит объяснить.

Длина почти всегда знаковая, напр скаляры x и y.

Сообщение от Shamil1

Очевидно, что матрица - это компактный способ записи преобразования для вектора, и вместо матрицы можно использовать N формул (для каждой координаты).

Само преобразование мало о чем говорит
x' = a * x + b * y + c * z
Откуда взялись (a, b, c) что сидят в матрице? Никакой информации об этом уже нет, восстановить логику решения из/по матрице обычно невозможно. "Достоинства есть продолжения недостатков".

Да, и я упустил одну важную деталь при использовании этих формул для векторов. Ну "еще не вечер"

@VAF34 · 04.03.2025, 09:39

Вектор, относительно которого вращается второй вектор описывается тремя его проекциями на оси заданной неменяющейся системы координат ( x(t), y(t), z(t)). Изменение координат по времен может описывать как вращение вектора, так и изменение его длины. Второй вектор ( x1(t), y1(t), z1(t)).
Уравнения, описывающие его вращение вокруг первогj:
1) постоянство его длины x1(t)**2+y1(t)**2+z1(t)**2=V1 const
2) проекция его на первый вектор постоянна:
x1(t)*x(t)+y1(t)*y(t)+z1(t)*z(t)=x1(0)*x (0)+y1(0)*y(0)+z1(0)*z(0) - это число
Выразим из первого, на пример, x1(t), из второго, на пример, y1(t), мы получаем уравнение для изменения z1(t) с вравой частью, содержащей только параметры движения первого вектора. Считайте!

@Igor3D · 04.03.2025, 16:28 **[ТС]**

Сообщение от VAF34

проекция его на первый вектор постоянна:

На один из векторов, необязательно первый. И следует подробно объяснить почему

Сообщение от VAF34

Считайте!

Ага, подставить человека под тонну алгебры - это так благородно

А здесь еще и неправильно, народная мудрость говорит: не связывайся с длиной/квадратом. Это преобразование/решение НЕлинейно и матрицей не выражается. А матрица вращения точно есть

@VAF34 · 04.03.2025, 20:00

постоянство проекции при постоянстве длины это и есть условие того, что второй вектор может только вращаться вокруг первого.
Если пришлете программу или кусок программы, в который надо вставить вращение вектора вокруг заданного, то я могу помочь. Разговор о матрицах тербует некоторого уровня знаний, но, обладая разумом, без него можно почти всегда обойтись

@Igor3D · 04.03.2025, 21:41 **[ТС]**

Сообщение от VAF34

Если пришлете программу или кусок программы, в который надо вставить вращение вектора вокруг заданного, то я могу помочь.

Нет необходимости что-то присылать. Просто напишите ф-цию принимающую 2 аргумента: ось поворота и поворачиваемый вектор, и возвращающую повёрнутый вектор. Используйте удобный Вам язык и структуры данных, напр для векторов и стандартных операций.

Не по теме:

Не все пишут/постят в надежде получить помощь :)

@u235 · 04.03.2025, 21:48

Сообщение от Igor3D

Просто напишите ф-цию принимающую 2 аргумента

А про величину угла поворота забыли?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
[golang] Угол между стрелками часов alhaos 12.05.2026 По заданным значениям часа и минуты необходимо определить значение меньшего угла между стрелками аналогового циферблата часов. import "math" func angleClock(hour int, minutes int) float64 { . . .	Debian 13: Установка Lazarus QT5 ВитГо 09.05.2026 Эта инструкция моя компиляция инструкций volvo https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 203668/ 10753. html и его же старой инструкции по установке Lazarus с gtk2. . .	Нейросеть на алгоритме "эстафета хвоста" как перспектива. Hrethgir 06.05.2026 На десерт, когда запущу сервер. Статья тут https:/ / habr. com/ ru/ articles/ 1030914/ . Автор я сам, нейросеть только помогает в вопросах которые мне не известны - не знаю людей которые знали-бы. . .	Асинхронный приём данных из COM-порта Argus19 01.05.2026 Асинхронный приём данных из COM-порта Купил на aliexpress термопринтер QR701. Он оказался странным. Поключил к Arduino Nano. Был очень удивлён. Наотрез отказывается печатать русские буквы. Чтобы. . .
попытка написать игровой сервер на C++ pyirrlicht 29.04.2026 попытка написать игровой сервер на плюсах с открытым бесконечным миром. возможно получится прикрутить интерпретатор питон для кастомизации игровой логики. что есть на текущий момент:. . .	Контроль уникальности выбранного документа-основания при изменении реквизита Maks 28.04.2026 Алгоритм из решения ниже разработан на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники", разработанного в КА2. Задача: уведомлять пользователя, если указанная заявка (документ-основание). . .	Благородство как наказание Maks 24.04.2026 У хорошего человека отношения с женщинами всегда складываются трудно. А я человек хороший. Заявляю без тени смущения, потому что гордиться тут нечем. От хорошего человека ждут соответствующего. . .	Валидация и контроль данных табличной части документа перед записью Maks 22.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в КА2. Задача: контроль и валидация данных табличной части документа перед записью с учетом регламента компании. . .

@Igor3D 1975 / 831 / 115 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 5,036 Записей в блоге: 2

	Объясните формулы "матрица вращения на плоскости" 10.02.2025, 22:29. Показов 8786. Ответов 109 Метки нет (Все метки) Добрый день Эти формулы приводятся во множестве тьюториалов, часто под видом "матрица вращения на плоскости". x' = x * cos(a) - y * sin(a) y' = y * cos(a) + x * sin(a) Как бы Вы их объяснили первокурсникам? Желательно "под запись", т.е. что должно быть у детей в конспектах? Спасибо 0

@Catstail Супер-модератор 38204 / 21136 / 4310 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,748 Записей в блоге: 14
	01.03.2025, 12:52
	u235, в практике - да, согласен. 0

@VAF34 59 / 59 / 4 Регистрация: 10.06.2023 Сообщений: 949
	01.03.2025, 14:08
	Если возникла конкретная задача: "нужно повернуть заданный вектор вокруг заданной оси". То ее решение легко построить. Направление вектора "ось" принимаем за ось z. Перпендикулярную плоскость считаем плоскостью (x.y) Проекция вращаемого вектора на плоскость направим по назначенной оси x. Дальше просто. 1

@VAF34 59 / 59 / 4 Регистрация: 10.06.2023 Сообщений: 949
	04.03.2025, 09:39
	Вектор, относительно которого вращается второй вектор описывается тремя его проекциями на оси заданной неменяющейся системы координат ( x(t), y(t), z(t)). Изменение координат по времен может описывать как вращение вектора, так и изменение его длины. Второй вектор ( x1(t), y1(t), z1(t)). Уравнения, описывающие его вращение вокруг первогj: 1) постоянство его длины x1(t)2+y1(t)2+z1(t)*2=V1 const 2) проекция его на первый вектор постоянна: x1(t)x(t)+y1(t)y(t)+z1(t)z(t)=x1(0)x (0)+y1(0)y(0)+z1(0)*z(0) - это число Выразим из первого, на пример, x1(t), из второго, на пример, y1(t), мы получаем уравнение для изменения z1(t) с вравой частью, содержащей только параметры движения первого вектора. Считайте! 0

@VAF34 59 / 59 / 4 Регистрация: 10.06.2023 Сообщений: 949
	04.03.2025, 20:00
	постоянство проекции при постоянстве длины это и есть условие того, что второй вектор может только вращаться вокруг первого. Если пришлете программу или кусок программы, в который надо вставить вращение вектора вокруг заданного, то я могу помочь. Разговор о матрицах тербует некоторого уровня знаний, но, обладая разумом, без него можно почти всегда обойтись 0