Олимпиада УрФУ по математике 24 ноября 2013 г

(Веретенников Б.М.) Пусть Подобрать функцию
, определённую на , такую, чтобы сходился, а расходился.

(Полищук Е.Г.) Доказать, что

(Мохрачева Л.П.) Доказать, что для любых матриц и ,

(Веретенников Б.М.) Решить систему в целых числах

(Мохрачева Л.П.) Найти длину линии пересечения цилиндров

(Смирнова Е.В.) Касательные к параболе в точках образуют треугольник Докажите, что

(Веретенников Б.М.) Для любой вещественной матрицы обозначим - вещественное линейное пространство всех вещественных матриц , перестановочных с , т.е. таких, что Может ли размерность быть равной 3 для какой-либо матрицы 2-ог порядка?

(Нохрин С.Э.) На листе миллиметровой бумаги нарисовали декартову систему координат так, что оси координат проходят по линиям сетки, а длина единичного отрезка 10 см. В этой системе координат изобразили часть параболы - графика функции , лежащую между точками и На этом графике отметили все точки, в которых он пересёкся с линиями миллиметровой сетки(как с вертикальными, так и с горизонтальными). Сколько всего точек отметили?

(Смирнова Е.В.) Пусть - положительные числа. Докажите, что многочлен имеет ровно один положительный корень.

(Мохрачева Л.П.) Функции являются частными решениями линейного неоднородного уравнения второго порядка. Найдите все решения уравнения, которые симметричны относительно прямой

(Ходак Г.Л.) К голодающему студенту один за другим приходят гости. Каждый приносит 5 пирожков. До прихода следующего гостя хозяин и пришедшие успевают съесть по одному пирожку. После прихода последнего гостя пирожков на всех не хватило и их есть не стали. Сколько пирожков осталось?

(Веретенников Б.М.) Доказать, что многочлен нельзя разложить в произведение двух многочленов ненулевых степеней с целыми коэффициентами.

(Мохрачева Л.П.) Вектор имеет равные углы с векторами и При каком значении параметра этот угол будет иметь наименьшее значение?

(Ходак Г.Л.) Решите уравнение

(Веретенников Б.М.) Найти значение производной
в точке

(Полищук Е.Г.) Доказать, что последовательность сходится.

(Расин О.В.) После завершения волейбольного турнира, проведённого по круговой системе (каждая команда встречается с каждой и ничьи не возможны) оказалось, что ни одна из команд не проиграла всех встреч. Доказать, что существуют три команды и такие, что команда выиграла у команды , команда выиграла у команды , а команда выиграла у команды

(Ходак Г.Л.) Даны прямая и две точки Из какой точки прямой отрезок виден под наибольшим углом?

(Веретенников Б.М.) Найти площадь фигуры на плоскости , точки которой имеют вид Вычисления обосновать.

(Мохрачева Л.П.) Точка движется по окружности (м²) со скоростью м/с, а точка по окружности (м²) со скоростью м/с. В момент их координаты равны и , соответственно. Найдите наименьшее значение , при котором расстояние между ними будет наибольшим.