Метод математической индукции

Друзья, помогите пожалуйста понять принцип решения задач на математическую индукцию. В частности этим методом предлагается доказать, что:

При любом целом n>=0 сумма S = 11^(n+2) + 12^(2*n+1) делится на 133



Не могу вывести саму индуктивную формулу. Преподаватель предлагает ДОГАДАТЬСЯ об ее виде. Честно говоря всегда считал, что в математике нет места догадкам, и все можно как-то подвести под логическую опору. Расскажите пожалуйста как и что надо делать =)


* "^" - здесь это возведение в степень.

0

Kizer, метод математической индукции очень сильный и даёт очень много, а берет взамен очень мало - проверка только одной точки заменяет проверку счетного множества чисел. Но конечно, как и всё гениальное, у него есть свои проблемы, а именно доказательство индуктивного допущения. Доказывать его - это своего рода исскуство. Нету каких либо алгоритмов, или методов. В каждой ситуации что-нибудь своё, вот как и в этом примере.
Пускай при n=k 11^(n+2) + 12^(2*n+1) делится на 133
Тогда при n=k+1 11^(n+2) + 12^(2*n+1) тоже делится на 133
Докажем это
11^(n+2) + 12^(2*n+1) = 11^(k+3) + 12^(2*k+3) = 11*11^(k+2) + 12^2*12^(2*k+1) =
11*11^(k+2) + 144*12^(2*k+1) = 11*11^(k+2) + (133+11)*12^(2*k+1) =
11*(11^(k+2) + 12^(2*k+1))+133*12^(2*k+1)
Первое кратно 133 по индуктивному предположению, второе очевидно кратно 133
В плане практики советую Вам доказать, что число 2^(2^n) + 1 всегда заканчивается на цифру 7 при n>=2

2

Eugeniy, Вы меня уже который раз выручаете, спасибо. Я, вроде понял, а в плане практике, у меня еще 5 задачь аналогичных той что я написал выше лежит, потренируюсь )) Я если можно, у Вас в случае чего в этой же теме поинтересуюсь, если вдруг что-то будет мне не понятно ) Еще раз большое спасибо.

0

Kizer, пожалуйста. Всегда рад помочь, и освежить свою методику мат.индукции

0

Вот тоже не получается... =(
Доказать, что при любом четном m m^(3) +20*m делится на 48.

1) проверил при m = 2 - верно
2) предположил что m=k k^3+20*k - делится на 48

3) следующим членом станет k+2 - т.к m-четное.

получаем: (k+2)^(3) +20*(k+2) = k^(3)+6*k^(2) + 12*k +8 +20*k+40 = (k^(3)+20*k) +(6*k^(2) +12k+48)
видно что в первой скобке - как раз таки индуктивное предположение, но как доказать, что вторая скобка при любых четных к делится на 48? если свернуть ее то получаем:
6*(K^2+2k+4) это должно делиться на 48...

0

Kizer, как я и сказал, что здесь нужно проявить сообразительность. Нету никакого единого подхода. Докажем, что 6*k^(2) +12k+48 кратно 48. Для этого достаточно показать, что
6*k^(2) +12k кратно 48.
6*k^(2) +12k = 6*k*(k+2)
k - парное, а значит существует такое u, что k = 2*u u - натуральное
6*k*(k+2) = 12*u*(2*u+2) = 24*u(u+1)
Легко видеть, что u(u+1) при любом натуральном u всегда парное число - это очевидно, а значит его можно представить в виде u(u+1) = 2*a
24*u(u+1) = 48*a
Это число очевидно кратно 48

1

Eugeniy, да-да, спасибо, я уже сам разобрался )

0

Kizer,

в математике нет места догадкам

Это ох как неправильно!
Можно сказать, что вся математика только из догадок и состоит.
Только их еще приходится и доказывать!
Но все равно - желаю успеха

0

помогите пожалуйста решить это,вобще не рублю:

20^(n)+16^(n)-3^(n)
надо доказать что это делится на 323 при n=чётное натуральное

вроде мат.индукцию неплохо знаю но когда чётное/нечётное путаюсь что делать.
спасибо.