Проверка на делимость суммы заданного множества чисел

@Lord_Voodoo · Регистрация: 07.03.2007

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Если взять цифры от 1 до 5 и составить из них всевозможные пятизначные числа, чтобы каждая цифра встречалась только один раз, а потом сложить эти числа, на какие из нижеперечисленные числа будет делиться эта сумма. (А - 18, Б - 27, В - 36, Г - 45, Д - 48)

Вот такую дивную задачу пришлось вчера решать. Ну из меня комбинатор великий не получился, поэтому я на сайте по комбинаторике онлайн сначала получил множество чисел из задачи - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C^{5}_5$ . Получилось 120 чисел, которые я просуммировал в эксель. Ну а дальше проверил, что нацело делиться 18, 36 и 45. Подскажите, как правильно решаются подобные задачи и какой правильный ответ у этой задачи. Заранее благодарен.

Байт · 21.05.2019, 12:04

Lord_Voodoo, Количество чисел подсчитана верно (120), но формула не правильна. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_5^5 = 1$
А тут 5! (это факториал, а не выражение эмоций) = 1*2*3*4*5 = 120

Добавлено через 7 минут
Подход тут такой. Надо понять, на какие числа из набора 3, 9, 2, 4, 8, 16, 5 делится результат
По признаку делимости на 9 - на 9 (а значит и на 3) делится. Сумма цифр = 15*120 на 9 делится.
На остальные числа из набора есть свои несложные признаки. И вот надо как-то их проанализировать...
Да, еще 27 остается... Тут надо как-то подумать...

Добавлено через 33 минуты

Сообщение от Байт

Да, еще 27 остается...

Тут тоже просто. При делении на 9 каждое число дает остаток 6 (он равен тому остатку, которую дает сумма цифр)
6*120 делится на 3. Похоже, что 27 вы пропустили...

@Lord_Voodoo · 21.05.2019, 12:09 **[ТС]**

Байт, просто сумма у меня получилась сумма чисел - 3999960... Да и если уж быть совсем корректным, то условие задания мне кажется с подвохом. Потому что любое число можно поделить на другое. А вот деление без остатка - это уже мое творческое переосмысление.

Написал примитивный код, не знаю, как оно работает на сайте, но результат у меня получился идентичный. Поэтому похоже на правду мое решение. Но вот как это описать математически, загадка.
Получается 120 чисел.

Код:

C++ (Qt)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
    qint64 sum = 0, cnt = 0;
    for(qint64 number = 11111; number <= 55555; number++)
    {
        QString txt = QString::number(number);
 
        if(!(txt.contains("1") && txt.contains("2") && txt.contains("3") && 
            txt.contains("4") && txt.contains("5"))) continue;
 
        bool isDublicate = false;
        for(int i = 0; i < txt.size(); i++)
        {
            for(int j = 0; j < txt.size(); j++)
            {
                if(i != j && txt.at(i) == txt.at(j))
                {
                    isDublicate = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if(isDublicate)
            continue;
        else
        {
            sum += number;
            cnt++;
            qDebug() << "Number: " << txt << sum << cnt;
        }
    }
 
    qDebug() << "Sum: " << sum << " Count: " << cnt;

Результаты:

Кликните здесь для просмотра всего текста

Number: "12345" 12345 1
Number: "12354" 24699 2
Number: "12435" 37134 3
Number: "12453" 49587 4
Number: "12534" 62121 5
Number: "12543" 74664 6
Number: "13245" 87909 7
Number: "13254" 101163 8
Number: "13425" 114588 9
Number: "13452" 128040 10
...
Number: "53142" 3461340 110
Number: "53214" 3514554 111
Number: "53241" 3567795 112
Number: "53412" 3621207 113
Number: "53421" 3674628 114
Number: "54123" 3728751 115
Number: "54132" 3782883 116
Number: "54213" 3837096 117
Number: "54231" 3891327 118
Number: "54312" 3945639 119
Number: "54321" 3999960 120
Sum: 3999960 Count: 120

@jogano · 21.05.2019, 15:16

Lord_Voodoo, сумма правильная. Раскладываем её на простые множители (интересуют только простые множители, входящие в состав данных пяти 2-значных чисел, то есть 2, 3 и 5): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3'999'960=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11'111$
Данные потенциальные делители имеют такие разложения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?18=2 \cdot 3^2\\27=3^3\\36=2^2 \cdot 3^2\\45=3^2 \cdot 5\\48=2^4 \cdot 3$
Значит, делимость (имеется в виду нацело) может быть только на делители, в которых все простые делители (2, 3, 5) входят в степени не большей, чем в числе 3999960. Это числа 18, 36, 45

Добавлено через 7 минут
Найти сумму всех исходных 5-значных чисел можно без Экселя:
каждая цифра в младшем разряде повторяется столько раз, сколько 5-и значных чисел с этой цифрой есть, а их 4! (все возможные перестановки других 4-х цифр). Значит, сумма цифр в младшем разряде равна (1+2+3+4+5)*4!
Такая же сумма цифр во следующем разряде и в следующем до старшего разряда включительно. Осталось эти суммы умножить на веса самих разрядов, и получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+2+3+4+5 \right) \cdot 4! \cdot \left(10'000+1000+100+10+1 \right)=15 \cdot 24 \cdot 11'111$

Байт · 21.05.2019, 15:26

Сообщение от Lord_Voodoo

любое число можно поделить на другое. А вот деление без остатка - это уже мое творческое переосмысление.

Обычно в таких задачах имеется в виду именно деление без остатка, то есть нацело. И это даже не оговаривается. Так что ваше переосмысление совершенно верно.
А с 27 я чего-то напутал. Действительно, третьей тройки в разложении нет.

@Lord_Voodoo · 21.05.2019, 15:41 **[ТС]**

jogano, Байт, этот день настал. Мне помогли на родном форуме, причем от слова "полностью". Спасибо, коллеги, за ликбез в комбинаторике. Хотя следует отметить, что решение я получил и сам, но топорное. Поэтому нужен был научный подход.

Байт · 21.05.2019, 22:50

Эту задачу (получение суммы без Екселя) можно и обобщить. Например, если цифр не 5, а 6, то сумма получается
21*120*111111
И уже после этого задавать разные вопросы, например, по поводу делимостей.

@Lord_Voodoo · 21.05.2019, 23:04 **[ТС]**

Байт, ну не математик я, а почти программист, поэтому выкручивался, как это принято у программистов))) Но за ликбез все равно спасибо. Я чувствовал спиной, что есть алгоритмы и без лишних вычислений, но мне они были не ведомы.

Байт · 21.05.2019, 23:10

Не по теме:

Сообщение от Lord_Voodoo

но мне они были не ведомы.

Все это совершенно естественно, Ибо
а) Нельзя объять необъятного
б) все мы немножко лошади, и каждый из нас по свойму - лошадь
в) Во многом знании много печали
Я вот тоже немножко почти программист, но в морях ПХП и прочего Веба плаваю, как тухлая рыбешка...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .

@Lord_Voodoo Почетный модератор 8785 / 2538 / 144 Регистрация: 07.03.2007 Сообщений: 11,873

	Проверка на делимость суммы заданного множества чисел 21.05.2019, 08:23. Показов 4683. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Если взять цифры от 1 до 5 и составить из них всевозможные пятизначные числа, чтобы каждая цифра встречалась только один раз, а потом сложить эти числа, на какие из нижеперечисленные числа будет делиться эта сумма. (А - 18, Б - 27, В - 36, Г - 45, Д - 48) Вот такую дивную задачу пришлось вчера решать. Ну из меня комбинатор великий не получился, поэтому я на сайте по комбинаторике онлайн сначала получил множество чисел из задачи - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C^{5}_5$ . Получилось 120 чисел, которые я просуммировал в эксель. Ну а дальше проверил, что нацело делиться 18, 36 и 45. Подскажите, как правильно решаются подобные задачи и какой правильный ответ у этой задачи. Заранее благодарен. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.05.2019, 15:16
	Сообщение было отмечено Lord_Voodoo как решение Решение Lord_Voodoo, сумма правильная. Раскладываем её на простые множители (интересуют только простые множители, входящие в состав данных пяти 2-значных чисел, то есть 2, 3 и 5): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3'999'960=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11'111$ Данные потенциальные делители имеют такие разложения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?18=2 \cdot 3^2\\27=3^3\\36=2^2 \cdot 3^2\\45=3^2 \cdot 5\\48=2^4 \cdot 3$ Значит, делимость (имеется в виду нацело) может быть только на делители, в которых все простые делители (2, 3, 5) входят в степени не большей, чем в числе 3999960. Это числа 18, 36, 45 Добавлено через 7 минут Найти сумму всех исходных 5-значных чисел можно без Экселя: каждая цифра в младшем разряде повторяется столько раз, сколько 5-и значных чисел с этой цифрой есть, а их 4! (все возможные перестановки других 4-х цифр). Значит, сумма цифр в младшем разряде равна (1+2+3+4+5)*4! Такая же сумма цифр во следующем разряде и в следующем до старшего разряда включительно. Осталось эти суммы умножить на веса самих разрядов, и получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+2+3+4+5 \right) \cdot 4! \cdot \left(10'000+1000+100+10+1 \right)=15 \cdot 24 \cdot 11'111$ 2

@Lord_Voodoo Почетный модератор 8785 / 2538 / 144 Регистрация: 07.03.2007 Сообщений: 11,873
	21.05.2019, 15:41 [ТС]
	jogano, Байт, этот день настал. Мне помогли на родном форуме, причем от слова "полностью". Спасибо, коллеги, за ликбез в комбинаторике. Хотя следует отметить, что решение я получил и сам, но топорное. Поэтому нужен был научный подход. 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	21.05.2019, 22:50
	Эту задачу (получение суммы без Екселя) можно и обобщить. Например, если цифр не 5, а 6, то сумма получается 21120111111 И уже после этого задавать разные вопросы, например, по поводу делимостей. 1

@Lord_Voodoo Почетный модератор 8785 / 2538 / 144 Регистрация: 07.03.2007 Сообщений: 11,873
	21.05.2019, 23:04 [ТС]
	Байт, ну не математик я, а почти программист, поэтому выкручивался, как это принято у программистов))) Но за ликбез все равно спасибо. Я чувствовал спиной, что есть алгоритмы и без лишних вычислений, но мне они были не ведомы. 0

Проверка на делимость суммы заданного множества чисел

Решение