Вычислить значение суммы знакопостоянного ряда с заданной точностью

@inviter42 · Регистрация: 27.11.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.
Задача следующая: написать программу вычисления суммы ряда с заданной точностью в заданном интервале допустимых значений аргумента.
Программа должна формировать таблицу, содержащую значения аргумента ряда, суммы ряда, количество слагаемых и контрольные значения суммы, полученные с помощью стандартных функций библиотеки. Проверить и продемонстрировать преподавателю работу программы, при этом значение суммы должно совпадать с соответствующим контрольным значением (с заданной точностью). Выходная таблица должна содержать от 5 до 10 строк.

Формула:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln (\frac{1+x}{1-x}) = 2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{x}^{2 \cdot n+1}}{2 \cdot n+1}$

Моя текущая проблема в том, что я не знаю как правильно определить условие выхода из цикла по достижению заданной точности для знакопостоянного ряда.
Моя попытка:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
#include <iostream>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
double addCalc(double x, int n)
{
    return 2*(pow(x, 2*n + 1) / (2*n + 1));
}
 
int main()
{
    double xMin, xStep, xStepMin, xStepMax, xMax=1, sum, previousAdd, currentAdd, eps, ctrl;
    int n;
 
    cout << "Enter minimum 'x', |x|<1: ";
    cin >> xMin;
 
    xStepMin = (1 - xMin) / 5;
    xStepMax = (1 - xMin) / 10;
 
    cout << "\nGood! Now enter 'x' step.\n";
    cout << "Remember: bigger 'x' step will provide less table rows, meanwhile smaller 'x' step will provide\nmore rows.\
 Minimum amount of rows is 5, maximum - 10.\n";
    cout << "'X' step, X(" << xStepMax << ", " << xStepMin << "): ";
    cin >> xStep;
 
    cout << "\nExcelent! Now the only thing left is precision. Go ahead and enter it!\n";
    cout << "Precision 'eps': ";
    cin >> eps;
    cout << endl;
 
    double x = xMin;
    for (;fabs(x)<xMax;x+=xStep){
        ctrl = log((1+x)/(1-x));
        sum = 0;
        n = 0;
        currentAdd = addCalc(x, n);
        sum += currentAdd;
        n++;
        do{
            previousAdd = currentAdd;
            currentAdd = addCalc(x, n);
            sum += currentAdd;
            n++;
        }
        while(fabs(currentAdd-previousAdd) > eps);
 
        cout << "| x: " << x << " | sum: " << sum << " | Amount of addends: " << n+1
             << " | Control value: " << ctrl << " | Diff: " << ctrl-sum << " |\n";
    }
 
    return 0;
}

@Olej · 05.02.2016, 17:43

Моя текущая проблема в том, что я не знаю как правильно определить условие выхода из цикла по достижению заданной точности для знакопостоянного ряда.

А вы можете просто использовать:

C++
1
while( currentAdd != previousAdd );

И к своему удивлению

обнаружите, что это работает: вычисление будет выполняться с максимально возможной точностью на вашем типе процессора.

@inviter42 · 05.02.2016, 17:46 **[ТС]**

Olej, да, так можно, но мне-то надо именно с заданной точностью, а не с максимально возможной. Это условие задачи.

@Olej · 05.02.2016, 17:49

Я как-то там не увидел заданной точности.
Преподаватель от вас хочет заданное число членов ряда + отличие их от точного значения.

@inviter42 · 05.02.2016, 17:51 **[ТС]**

Olej,

Сообщение от inviter42

написать программу вычисления суммы ряда с заданной точностью в заданном интервале допустимых значений аргумента.

@Olej · 05.02.2016, 18:00

Сообщение от inviter42

while(fabs(currentAdd-previousAdd) > eps);

Ну напишите

C++
1
while( fabs( ( currentAdd - previousAdd ) / currentAdd ) > 1e-7 );

Если вы не хотите красивого решения.

@inviter42 · 05.02.2016, 18:04 **[ТС]**

Olej, вопрос не в красоте, а в соответствии ТЗ. Задание может быть сколь угодно изящно и элегантно выполнено, но если оно не соответствует ТЗ, то его просто не примут

Вы можете объяснить почему вы использовали

C++
1
fabs( ( currentAdd - previousAdd ) / currentAdd

Я пока что не очень понимаю эту конструкцию с точки зрения математического вычисления.

@sourcerer · 05.02.2016, 18:26

Сообщение от inviter42

Я пока что не очень понимаю эту конструкцию с точки зрения математического вычисления.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left| \: currentAdd - previousAdd\: \right|}{currentAdd}$

Добавлено через 45 секунд
inviter42, ну или так:
| currentAdd - previousAdd | / currentAdd

@inviter42 · 05.02.2016, 18:27 **[ТС]**

gru74ik, я понимаю что тут написано. Я не понимаю как оно работает.

@sourcerer · 05.02.2016, 18:30

Сообщение от inviter42

Я не понимаю как оно работает.

С этим сложнее. Я и сам не понимаю чего там в коде происходит. А разбираться лень.

@inviter42 · 05.02.2016, 18:32 **[ТС]**

gru74ik, я понимаю что происходит в коде за тем лишь исключением, когда мы выходим из цикла вот по этому условию. Точнее, почему именно по этому условию и что оно вообще делает с точки зрения математики.

@Olej · 05.02.2016, 19:24

Сообщение от inviter42

я понимаю что происходит в коде за тем лишь исключением, когда мы выходим из цикла вот по этому условию. Точнее, почему именно по этому условию и что оно вообще делает с точки зрения математики.

Оно проверяет, что относительные отличия между результатом на текущем и предыдущем шаге отличаются на 10E-7, т.е. 0.001%, и если различия уже меньше, то пора заканчивать.

@inviter42 · 07.02.2016, 14:44 **[ТС]**

Хм, оказалось, что проблема всё ещё актуальна. Решение с условием

C++
1
fabs( ( currentAdd - previousAdd ) / currentAdd

вычисляет значения суммы с одинаково высокой точностью, независимо от того, насколько высокая или низкая точность задана на самом деле, что, конечно, не то чтобы плохо, но не совсем соответствует заданию.

Консоль вывода

На всякий случай привожу ещё раз код:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
#include <iostream>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
double addCalc(double x, int n)
{
    return 2*(pow(x, 2*n + 1) / (2*n + 1));
}
 
int main()
{
    double xMin, xStep, xStepMin, xStepMax, xMax=1, sum, previousAdd, currentAdd, eps, ctrl;
    int n;
 
    cout << "Enter minimum 'x', |x|<1: ";
    cin >> xMin;
 
    xStepMin = (1 - xMin) / 5;
    xStepMax = (1 - xMin) / 10;
    cout << "'X' step, X(" << xStepMax << ", " << xStepMin << "): ";
    cin >> xStep;
 
    cout << "Precision 'eps': ";
    cin >> eps;
    cout << endl;
 
    double x = xMin;
    for (;fabs(x)<xMax;x+=xStep){
        ctrl = log((1+x)/(1-x));
        sum = 0;
        n = 0;
        currentAdd = addCalc(x, n);
        sum += currentAdd;
        n++;
        do{
            previousAdd = currentAdd;
            currentAdd = addCalc(x, n);
            sum += currentAdd;
            n++;
        }
        while(fabs((currentAdd-previousAdd) / currentAdd) > eps);
 
        cout << "| x: " << x;
        cout.precision(10);
        cout.setf(ios::fixed);
        cout << " | sum: " << sum;
        cout << " | Amount of addends: " << n+1;
        cout.precision(10);
        cout.setf(ios::fixed);
        cout << " | Control value: " << ctrl;
        cout << " | Diff(ctrl&sum): " << ctrl-sum << " |\n";
        cout.unsetf(ios::fixed);
    }
 
    cout << "Do one more time? y/n: ";
    char a;
    cin >> a;
    if (a=='y') {/*system("cls");*/main();}
 
    return 0;
}

8-BITOV · 12.02.2016, 00:50

Сообщение от inviter42

с точки зрения математического вычисления.

Насколько я знаю (возможно, ошибаюсь) не существует для знакопостоянных рядов какого-то признаки точности вычислений на основе уже вычисленных членов. Тут действительно придется обратиться к матанализу и искать оценку остаточному члену (в форме Лагранжа или еще какой) именно для конкретной функции.
Для уточнений советую обратиться в раздел "Математика - Матанализ"

@inviter42 · 12.02.2016, 00:59 **[ТС]**

8-BITOV, я смотрел тут. Они там вычисляют экспоненту через разложение в знакопостоянный ряд. И делают оценку через отличие текущего сумманда и точности. Или это не то?

Добавлено через 7 минут
Однако, моя попытка сделать так же не привела к положительному результату. Не исключаю, что я где-то ошибся, но всё, вроде как, правильно.
Моя попытка:

Код

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
#include <iostream>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
double Current(double x, int n){
    return 2*(pow(x,2*n+1)/(2*n+1));
}
 
int main(){
 
    double x, xStep, eps, sum, currentAdd, control;
    int n;
    cout << "Enter x: ";
    cin >> x;
 
    cout << "Enter x step: ";
    cin >> xStep;
 
    cout << "Enter eps: ";
    cin >> eps;
 
    for(;x<1;x+=xStep){
        n=0;
        sum=0;
        control = log((1+x)/(1-x));
        sum = currentAdd = Current(x,n);
        while(currentAdd>eps){
            n++;
            sum += currentAdd = Current(x,n);
        }
        cout << "Control: " << control << endl;
        cout << "Sum: " << sum << endl << endl;
    }
 
    return 0;
}

8-BITOV · 12.02.2016, 01:02

Сообщение от inviter42

И делают оценку через отличие текущего сумманда и точности

Посмотрел. Детские забавы. Ерунда, одним словом. Да, для экспоненты все хорошо. Так как у нее остаточный член легко оценить, и он меньше первого отброшенного члена. Но об этом ни слова! Да и правда, рассуждения на эту тему на порядок сложнее, чем весь излагаемый там материал.
Да, многие ряды элементарных функций ведут себя в этом смысле хорошо. Но обобщать это поведение мы не имеем права. Логарифм (как очень медленно сходящаяся функция) - накажет.

@inviter42 · 12.02.2016, 01:03 **[ТС]**

8-BITOV, значит оценивать только через форму Лагранжа, я правильно понимаю?

8-BITOV · 12.02.2016, 01:06

Сообщение от inviter42

Моя попытка:

К коду претензий нет. Но теоретически - он неверен. Смотри выше.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от inviter42

оценивать только через форму Лагранжа, я правильно понимаю?

Я другого выхода не вижу (но это вовсе не значит, что его нет)

@inviter42 · 12.02.2016, 01:08 **[ТС]**

8-BITOV, а вы могли бы набросать код с оценкой через форму Лагранжа, если не сложно? Хотя бы в общей форме. Помогли бы очень сильно

8-BITOV · 12.02.2016, 01:16

Сообщение от inviter42

вы могли бы набросать код с оценкой через форму Лагранжа, если не сложно

Отвечу сразу, чтобы вас не обнадеживать. Нет. Кодирование таких вещей не входит сегодня в круг моих интересов. Да и все эти остаточные члены я уже не помню. Просто остатки когда-то полученного образования говорят, что они - есть.
Но я надеюсь, вы справитесь сами. Постановка вопроса - грамотная. Коды - вполне приличные.
Удачи!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! в-строка - входное арифметическое выражение в инфиксной(обычной). . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@inviter42 83 / 2 / 2 Регистрация: 27.11.2015 Сообщений: 163
	05.02.2016, 17:46 [ТС]
	Olej, да, так можно, но мне-то надо именно с заданной точностью, а не с максимально возможной. Это условие задачи. 0

@Olej 322 / 170 / 24 Регистрация: 25.03.2012 Сообщений: 712
	05.02.2016, 17:49
	Я как-то там не увидел заданной точности. Преподаватель от вас хочет заданное число членов ряда + отличие их от точного значения. 0

@inviter42 83 / 2 / 2 Регистрация: 27.11.2015 Сообщений: 163
	05.02.2016, 18:27 [ТС]
	gru74ik, я понимаю что тут написано. Я не понимаю как оно работает. 0

@inviter42 83 / 2 / 2 Регистрация: 27.11.2015 Сообщений: 163
	05.02.2016, 18:32 [ТС]
	gru74ik, я понимаю что происходит в коде за тем лишь исключением, когда мы выходим из цикла вот по этому условию. Точнее, почему именно по этому условию и что оно вообще делает с точки зрения математики. 0

@inviter42 83 / 2 / 2 Регистрация: 27.11.2015 Сообщений: 163
	12.02.2016, 01:03 [ТС]
	8-BITOV, значит оценивать только через форму Лагранжа, я правильно понимаю? 0

@inviter42 83 / 2 / 2 Регистрация: 27.11.2015 Сообщений: 163
	12.02.2016, 01:08 [ТС]
	8-BITOV, а вы могли бы набросать код с оценкой через форму Лагранжа, если не сложно? Хотя бы в общей форме. Помогли бы очень сильно 0