0 / 0 / 0
Регистрация: 22.04.2018
Сообщений: 6
1

Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей

24.04.2018, 23:09. Показов 21642. Ответов 25
Метки нет (Все метки)

Помогите составить программу в С++: Используя метод конечных разностей, найти решение краевой задаxи с шагом h=0,1

y''-2 y'/x -0.4y=1.5
y'(0.9)=1.5
-y'(0.6)=0.6
__________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь
0
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
24.04.2018, 23:09
Ответы с готовыми решениями:

Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
Методом конечных разностей найти решение краевой задачи y''-7*x*y'-y=5*x^2 u(0)-u'(0)=0; u(1)=1...

Решение краевой задачи для дифференциального уравнения методом сеток
Мне в университете задали данную программу написать. но к сожалению на паре мы не успели пройти...

Решение краевой задачи нелинейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей
помогите пожалуйста с решением уравнения y''-y*y'-y^2=0 граничные условия y(1)=0 y'(0)=1 шаг...

Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
Здравствуйте. Нужна помощь в выполнении задания. Решить методом конечных разностей первую краевую...

25
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
28.04.2018, 11:15 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено Maldvi как решение

Решение

Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вида: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}+p(x){y}^{'}+q(x)y=f(x)
Краевая задача Неймана, заданы первые производные на концах интервала.
Разбиваем интервал х на отрезки равной длины h: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}; i=0...n. Аппроксимируем дифференциальное уравнение конечно-разностным:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{{h}^{2}}+\frac{{y}_{i+1}-{y}_{i}}{h}p\left({x}_{i} \right)+{y}_{i}q\left({x}_{i} \right)=f\left({x}_{i} \right); i=1...(n-1).
Аппроксимируем граничные условия:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{h}={c}_{1}, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{n}-{y}_{n-1}}{h}={c}_{2}
В результате получается система линейных уравнений порядка n*n. Эта система может решаться различными методами, например по Гауссу.
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
#include <cstdlib> // для system
#include <iostream> 
#include <string>
 
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
        double c1,c2,h,tmp; 
        int n,i,j,l,k;
        double **a = new double* [100];
        double *b = new double [n];
        double *y = new double [n];
        double *x = new double [n];
        double xbeg,xend;
        void gauss();
        double f(double);
        double p(double);
        double q(double);
int main()
{    
        setlocale(0, "");
        //n=4;
        //xbeg=0.6;
        //xend=0.9;
                cout << "Введите количество точек на интервале (<=100) n=" ;
                cin >> n; 
                cout << "x-координату начала интервала=" ;
                cin >> xbeg; 
                cout << "x-координату конца интервала=" ;
                cin >> xend; 
        h=(xend-xbeg)/(n-1);
 
        for ( i = 0; i < n; i++) 
        {
            b[i]=0;
            y[i]=0;
            x[i]=xbeg+i*h;
        }
 
//Инициализация двумерного динамического массива
        for ( i = 0; i < 100; i++) {          // двумерный
        a[i] = new double [i + 1]; // массив
        }
        for (i = 0; i < 100; i++) 
        for (j = 0; j < i+1; j++) { 
        a[i][j]=0;
        }
        //Граничные условия
        c1=-0.6;
        c2=1.5;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;
                // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }     
        //Граничный условия
        a[n-2][0]=-1/h;
        a[n-2][1]=1/h;
        a[n-1][n-2]=-1/h;
        a[n-1][n-1]=1/h;
        
        gauss();
        for(i=0;i<n;i++)
        cout << "x("<< i <<")= "<< x[i] << "  "<<"y("<< i<<")="<<y[i]<< endl;
        //Проверка решения на граничные условия
        cout << "Проверка решения на граничные условия"<< endl;
        cout <<(y[1]-y[0])/h <<" "<< (y[n-1]-y[n-2])/h << endl;
 
   delete [] x;
   delete [] y;
   delete [] b;
   for (i = 0; i < 100; i++) 
   delete [] a[i];  
            system("pause"); // Только для тех, у кого MS Visual Studio
}
        void gauss()
        {
        //Прямой проход
for(k=0;k<=n-2;k++)
{
for(i=k+1;i<=n-1;i++)
{
tmp = a[i][k];
b[i] = b[i] - b[k] * tmp / a[k][k];
for(j=0;j<=n-1;j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j] * tmp / a[k][k];
}
}
//Обратный проход
y[n-1] = b[n-1] / a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i=i-1)
{
y[i] = b[i];
for(j=i+1;j<=n-1;j++)
    y[i] = y[i] - a[i][j] * y[j];
y[i] = y[i] / a[i][i];
        }
        }
 
        double f(double x)
        {
            x=1.7;
            return x;
        }
 
                double p(double x)
        {
            x=1/x;
            return x;
        }
 
        double q(double x)
        {
            x=-0.4;
            return x;
        }
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 22.04.2018
Сообщений: 6
29.04.2018, 23:56  [ТС] 3
Спасибо большое, добрый человек!
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.03.2015
Сообщений: 5
07.12.2018, 14:17 4
Привет! А как изменить эту программу, если условие такое:

-y'' - 1/2*y' +y=x/2
y(0)=1
y(1)=0

Я попытался переделать, но толком не получилось...
Заранее спасибо!
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
07.12.2018, 14:20 5
alexeypopov13, измените в коде функции p,q,f.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.03.2015
Сообщений: 5
07.12.2018, 14:38 6
А коэффициенты системы никак не поменяются?

C++
1
2
3
4
5
6
7
         // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
07.12.2018, 14:42 7
alexeypopov13, они вычисляются через эти функции, поэтому не должны. Должны быть заданы производные на концах интервала. У вас не опечатка в краевых условиях?
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.03.2015
Сообщений: 5
07.12.2018, 14:48 8
Если вы про c1 и c2, то да, их изменил правильно.
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 //Граничные условия
        c1=-0.6;
        c2=1.5;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;
А если про эти, то их я не менял:
C++
1
2
3
4
5
//Граничный условия
        a[n-2][0]=-1/h;
        a[n-2][1]=1/h;
        a[n-1][n-2]=-1/h;
        a[n-1][n-1]=1/h;
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
07.12.2018, 14:52 9
У вас y(0)=1
y(1)=0. интервал (0,1) На концах должна быть задана первая производная y'. Это соответствует?
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.03.2015
Сообщений: 5
07.12.2018, 14:59 10
Видимо, все-таки нет, попробую переделать, если что отпишусь.
Спасибо!
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
10.12.2018, 15:03 11
alexeypopov13, вот для вашего уравнения:
Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 26.03.2016
Сообщений: 6
24.12.2018, 21:25 12
Здравствуйте!
У меня граничные условия - это у(), но не производные у'(х). Не могу понять какую строчку надо для этого изменить?
Плюс - попыталась подставить значения alexeypopov13 в данную программу, но у меня не получились такие же решения (приведенные выше).
Подскажите, пожалуйста))
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
25.12.2018, 10:34 13
marishk0, приведите, пожалуйста, ваше уравнение и граничные условия.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 26.03.2016
Сообщений: 6
25.12.2018, 10:39 14
Условия - y(0) = 1.5 и y(5) = -1
Миниатюры
Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей  
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
25.12.2018, 10:41 15
marishk0, сейчас посмотрю и будет готово отпишусь.
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
25.12.2018, 11:15 16
Это краевая задача первого рода или задача Дирихле. Вот код.
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
#include <cstdlib> // для system
#include <iostream> 
#include <string>
 
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
        double c1,c2,h,tmp; 
        int n=100,i,j,l,k;
        double a[100][100];
        double b[100],y[100],x[100];
        double xbeg,xend;
        void gauss();
        double f(double);
        double p(double);
        double q(double);
int main()
{    
        setlocale(0, "");
        //n=50;
        //xbeg=0.6;
        //xend=0.9;
        
                cout << "Введите количество точек на интервале (<=100) n=" ;
                cin >> n; 
                cout << "x-координату начала интервала=" ;
                cin >> xbeg; 
                cout << "x-координату конца интервала=" ;
                cin >> xend; 
        h=(xend-xbeg)/(n-1);
 
        for ( i = 0; i < n; i++) 
        {
            b[i]=0;
            y[i]=0;
            x[i]=xbeg+i*h;
        }
 
//Инициализация двумерного динамического массива
        for (i = 0; i < 100; i++) 
        for (j = 0; j < i+1; j++) { 
        a[i][j]=0;
        }
        //Граничные условия
        c1=1.5;
        c2=-1;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;
                // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }     
        //Граничный условия
        a[n-2][0]=1;
        a[n-1][n-1]=1;
        gauss();
        for(i=0;i<n;i++)
        cout << "x("<< i <<")= "<< x[i] << "  "<<"y("<< i<<")="<<y[i]<< endl;
        //Проверка решения на граничные условия
        cout << "Проверка решения на граничные условия"<< endl;
        cout <<y[0] <<" "<< y[n-1] << endl;
            system("pause"); // Только для тех, у кого MS Visual Studio
}
        void gauss()
        {
        //Прямой проход
for(k=0;k<=n-2;k++)
{
for(i=k+1;i<=n-1;i++)
{
tmp = a[i][k];
b[i] = b[i] - b[k] * tmp / a[k][k];
for(j=0;j<=n-1;j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j] * tmp / a[k][k];
}
}
//Обратный проход
y[n-1] = b[n-1] / a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i=i-1)
{
y[i] = b[i];
for(j=i+1;j<=n-1;j++)
    y[i] = y[i] - a[i][j] * y[j];
y[i] = y[i] / a[i][i];
        }
        }
 
        double f(double x)
        {
            x=1;
            return x;
        }
 
                double p(double x)
        {
            x=-2*x/(x*x+1);
            return x;
        }
 
        double q(double x)
        {
            x=2/(x*x+1);
 
            return x;
        }
Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 26.03.2016
Сообщений: 6
25.12.2018, 11:30 17
Спасибо большое!))
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
25.12.2018, 11:31 18
marishk0, не за что. Просто эта тема мне интересна.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 17.05.2019
Сообщений: 2
17.05.2019, 15:58 19
Цитата Сообщение от slava_psk Посмотреть сообщение
marishk0
Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем (
y''-(x^2)*y'-x*y=-1
1/2<=x<=1
y'(1/2)=-4
y(0)=1

Добавлено через 2 минуты
slava_psk,
Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем (
y''-(x^2)*y'-x*y=-1
1/2<=x<=1
y'(1/2)=-4
y(0)=1
0
610 / 421 / 212
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,959
17.05.2019, 16:11 20
Lena-, модераторы не очень приветствуют такое общение ЗДЕСЬ. Пишите, разберемся.

Добавлено через 11 минут
Lena-, наверное у(1)=1?
1
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
17.05.2019, 16:11
Помогаю со студенческими работами здесь

Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
Здравствуйте помогите пожалуйста решить задачу, используя программный фрагмент Mathcad. Для...

Численное решение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Добрый день! Дано задание: Вычислить установившееся распределение концентрации газа в...

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка
решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка y''+4y'+4y=32xe^2x, y(0)=-1,...

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка 1
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка {y}^{''}+6{y}^{'}+9y=0


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2022, CyberForum.ru