Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей

@Maldvi · Регистрация: 22.04.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите составить программу в С++: Используя метод конечных разностей, найти решение краевой задаxи с шагом h=0,1

y''-2 y'/x -0.4y=1.5
y'(0.9)=1.5
-y'(0.6)=0.6

@slava_psk · 28.04.2018, 11:15

Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}+p(x){y}^{'}+q(x)y=f(x)$
Краевая задача Неймана, заданы первые производные на концах интервала.
Разбиваем интервал х на отрезки равной длины h: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}; i=0...n$ . Аппроксимируем дифференциальное уравнение конечно-разностным:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{{h}^{2}}+\frac{{y}_{i+1}-{y}_{i}}{h}p\left({x}_{i} \right)+{y}_{i}q\left({x}_{i} \right)=f\left({x}_{i} \right); i=1...(n-1)$ .
Аппроксимируем граничные условия:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{h}={c}_{1}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{n}-{y}_{n-1}}{h}={c}_{2}$
В результате получается система линейных уравнений порядка n*n. Эта система может решаться различными методами, например по Гауссу.

C++

#include <cstdlib> // для system
#include <iostream> 
#include <string>
 
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
        double c1,c2,h,tmp; 
        int n,i,j,l,k;
        double **a = new double* [100];
        double *b = new double [n];
        double *y = new double [n];
        double *x = new double [n];
        double xbeg,xend;
        void gauss();
        double f(double);
        double p(double);
        double q(double);
int main()
{    
        setlocale(0, "");
        //n=4;
        //xbeg=0.6;
        //xend=0.9;
                cout << "Введите количество точек на интервале (<=100) n=" ;
                cin >> n; 
                cout << "x-координату начала интервала=" ;
                cin >> xbeg; 
                cout << "x-координату конца интервала=" ;
                cin >> xend; 
        h=(xend-xbeg)/(n-1);
 
        for ( i = 0; i < n; i++) 
        {
            b[i]=0;
            y[i]=0;
            x[i]=xbeg+i*h;
        }
 
//Инициализация двумерного динамического массива
        for ( i = 0; i < 100; i++) {          // двумерный
        a[i] = new double [i + 1]; // массив
        }
        for (i = 0; i < 100; i++) 
        for (j = 0; j < i+1; j++) { 
        a[i][j]=0;
        }
        //Граничные условия
        c1=-0.6;
        c2=1.5;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;
                // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }     
        //Граничный условия
        a[n-2][0]=-1/h;
        a[n-2][1]=1/h;
        a[n-1][n-2]=-1/h;
        a[n-1][n-1]=1/h;
        
        gauss();
        for(i=0;i<n;i++)
        cout << "x("<< i <<")= "<< x[i] << "  "<<"y("<< i<<")="<<y[i]<< endl;
        //Проверка решения на граничные условия
        cout << "Проверка решения на граничные условия"<< endl;
        cout <<(y[1]-y[0])/h <<" "<< (y[n-1]-y[n-2])/h << endl;
 
   delete [] x;
   delete [] y;
   delete [] b;
   for (i = 0; i < 100; i++) 
   delete [] a[i];  
            system("pause"); // Только для тех, у кого MS Visual Studio
}
        void gauss()
        {
        //Прямой проход
for(k=0;k<=n-2;k++)
{
for(i=k+1;i<=n-1;i++)
{
tmp = a[i][k];
b[i] = b[i] - b[k] * tmp / a[k][k];
for(j=0;j<=n-1;j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j] * tmp / a[k][k];
}
}
//Обратный проход
y[n-1] = b[n-1] / a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i=i-1)
{
y[i] = b[i];
for(j=i+1;j<=n-1;j++)
    y[i] = y[i] - a[i][j] * y[j];
y[i] = y[i] / a[i][i];
        }
        }
 
        double f(double x)
        {
            x=1.7;
            return x;
        }
 
                double p(double x)
        {
            x=1/x;
            return x;
        }
 
        double q(double x)
        {
            x=-0.4;
            return x;
        }

@Maldvi · 29.04.2018, 23:56 **[ТС]**

Спасибо большое, добрый человек!

@alexeypopov13 · 07.12.2018, 14:17

Привет! А как изменить эту программу, если условие такое:

-y'' - 1/2*y' +y=x/2
y(0)=1
y(1)=0

Я попытался переделать, но толком не получилось...
Заранее спасибо!

@slava_psk · 07.12.2018, 14:20

alexeypopov13, измените в коде функции p,q,f.

@alexeypopov13 · 07.12.2018, 14:38

А коэффициенты системы никак не поменяются?

C++

         // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }

@slava_psk · 07.12.2018, 14:42

alexeypopov13, они вычисляются через эти функции, поэтому не должны. Должны быть заданы производные на концах интервала. У вас не опечатка в краевых условиях?

@alexeypopov13 · 07.12.2018, 14:48

Если вы про c1 и c2, то да, их изменил правильно.

C++

 //Граничные условия
        c1=-0.6;
        c2=1.5;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;

А если про эти, то их я не менял:

C++

//Граничный условия
        a[n-2][0]=-1/h;
        a[n-2][1]=1/h;
        a[n-1][n-2]=-1/h;
        a[n-1][n-1]=1/h;

@slava_psk · 07.12.2018, 14:52

У вас y(0)=1
y(1)=0. интервал (0,1) На концах должна быть задана первая производная y'. Это соответствует?

@alexeypopov13 · 07.12.2018, 14:59

Видимо, все-таки нет, попробую переделать, если что отпишусь.
Спасибо!

@slava_psk · 10.12.2018, 15:03

alexeypopov13, вот для вашего уравнения:

Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей

@marishk0 · 24.12.2018, 21:25

Здравствуйте!
У меня граничные условия - это у(), но не производные у'(х). Не могу понять какую строчку надо для этого изменить?
Плюс - попыталась подставить значения alexeypopov13 в данную программу, но у меня не получились такие же решения (приведенные выше).
Подскажите, пожалуйста))

@slava_psk · 25.12.2018, 10:34

marishk0, приведите, пожалуйста, ваше уравнение и граничные условия.

@marishk0 · 25.12.2018, 10:39

Условия - y(0) = 1.5 и y(5) = -1

@slava_psk · 25.12.2018, 10:41

marishk0, сейчас посмотрю и будет готово отпишусь.

@slava_psk · 25.12.2018, 11:15

Это краевая задача первого рода или задача Дирихле. Вот код.

C++

#include <cstdlib> // для system
#include <iostream> 
#include <string>
 
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
        double c1,c2,h,tmp; 
        int n=100,i,j,l,k;
        double a[100][100];
        double b[100],y[100],x[100];
        double xbeg,xend;
        void gauss();
        double f(double);
        double p(double);
        double q(double);
int main()
{    
        setlocale(0, "");
        //n=50;
        //xbeg=0.6;
        //xend=0.9;
        
                cout << "Введите количество точек на интервале (<=100) n=" ;
                cin >> n; 
                cout << "x-координату начала интервала=" ;
                cin >> xbeg; 
                cout << "x-координату конца интервала=" ;
                cin >> xend; 
        h=(xend-xbeg)/(n-1);
 
        for ( i = 0; i < n; i++) 
        {
            b[i]=0;
            y[i]=0;
            x[i]=xbeg+i*h;
        }
 
//Инициализация двумерного динамического массива
        for (i = 0; i < 100; i++) 
        for (j = 0; j < i+1; j++) { 
        a[i][j]=0;
        }
        //Граничные условия
        c1=1.5;
        c2=-1;
        // Правые части системы
        for (i = 0; i < n-2; i++) 
        b[i]=f(x[i]);
        //Граничные условия
        b[n-2]=c1;
        b[n-1]=c2;
                // Коэффициенты системы
        for(i=0;i<=n-3;i++)
        {
        a[i][i]=1/(h*h);    
        a[i][i+1]=-(2/(h*h)+2*p(x[i])/h-q(x[i]));   
        a[i][i+2]=1/(h*h)+2*p(x[i])/h;  
        }     
        //Граничный условия
        a[n-2][0]=1;
        a[n-1][n-1]=1;
        gauss();
        for(i=0;i<n;i++)
        cout << "x("<< i <<")= "<< x[i] << "  "<<"y("<< i<<")="<<y[i]<< endl;
        //Проверка решения на граничные условия
        cout << "Проверка решения на граничные условия"<< endl;
        cout <<y[0] <<" "<< y[n-1] << endl;
            system("pause"); // Только для тех, у кого MS Visual Studio
}
        void gauss()
        {
        //Прямой проход
for(k=0;k<=n-2;k++)
{
for(i=k+1;i<=n-1;i++)
{
tmp = a[i][k];
b[i] = b[i] - b[k] * tmp / a[k][k];
for(j=0;j<=n-1;j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j] * tmp / a[k][k];
}
}
//Обратный проход
y[n-1] = b[n-1] / a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i=i-1)
{
y[i] = b[i];
for(j=i+1;j<=n-1;j++)
    y[i] = y[i] - a[i][j] * y[j];
y[i] = y[i] / a[i][i];
        }
        }
 
        double f(double x)
        {
            x=1;
            return x;
        }
 
                double p(double x)
        {
            x=-2*x/(x*x+1);
            return x;
        }
 
        double q(double x)
        {
            x=2/(x*x+1);
 
            return x;
        }

@marishk0 · 25.12.2018, 11:30

Спасибо большое!))

@slava_psk · 25.12.2018, 11:31

marishk0, не за что. Просто эта тема мне интересна.

@Lena- · 17.05.2019, 15:58

Сообщение от slava_psk

marishk0

Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем (
y''-(x^2)*y'-x*y=-1
1/2<=x<=1
y'(1/2)=-4
y(0)=1

Добавлено через 2 минуты
slava_psk,
Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем (
y''-(x^2)*y'-x*y=-1
1/2<=x<=1
y'(1/2)=-4
y(0)=1

@slava_psk · 17.05.2019, 16:11

Lena-, модераторы не очень приветствуют такое общение ЗДЕСЬ. Пишите, разберемся.

Добавлено через 11 минут
Lena-, наверное у(1)=1?

@Maldvi 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2018 Сообщений: 6
		1
	Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей 24.04.2018, 23:09. Показов 24795. Ответов 25 Метки нет (Все метки) Помогите составить программу в С++: Используя метод конечных разностей, найти решение краевой задаxи с шагом h=0,1 y''-2 y'/x -0.4y=1.5 y'(0.9)=1.5 -y'(0.6)=0.6 0

@Maldvi 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2018 Сообщений: 6
	29.04.2018, 23:56 [ТС]	3
	Спасибо большое, добрый человек! 0

@alexeypopov13 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.03.2015 Сообщений: 5
	07.12.2018, 14:17	4
	Привет! А как изменить эту программу, если условие такое: -y'' - 1/2*y' +y=x/2 y(0)=1 y(1)=0 Я попытался переделать, но толком не получилось... Заранее спасибо! 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	07.12.2018, 14:20	5
	alexeypopov13, измените в коде функции p,q,f. 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	07.12.2018, 14:42	7
	alexeypopov13, они вычисляются через эти функции, поэтому не должны. Должны быть заданы производные на концах интервала. У вас не опечатка в краевых условиях? 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	07.12.2018, 14:52	9
	У вас y(0)=1 y(1)=0. интервал (0,1) На концах должна быть задана первая производная y'. Это соответствует? 1

@alexeypopov13 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.03.2015 Сообщений: 5
	07.12.2018, 14:59	10
	Видимо, все-таки нет, попробую переделать, если что отпишусь. Спасибо! 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	10.12.2018, 15:03	11
	alexeypopov13, вот для вашего уравнения: 1

@marishk0 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.03.2016 Сообщений: 6
	24.12.2018, 21:25	12
	Здравствуйте! У меня граничные условия - это у(), но не производные у'(х). Не могу понять какую строчку надо для этого изменить? Плюс - попыталась подставить значения alexeypopov13 в данную программу, но у меня не получились такие же решения (приведенные выше). Подскажите, пожалуйста)) 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	25.12.2018, 10:34	13
	marishk0, приведите, пожалуйста, ваше уравнение и граничные условия. 0

@marishk0 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.03.2016 Сообщений: 6
	25.12.2018, 10:39	14
	Условия - y(0) = 1.5 и y(5) = -1 Миниатюры 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	25.12.2018, 10:41	15
	marishk0, сейчас посмотрю и будет готово отпишусь. 0

@marishk0 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.03.2016 Сообщений: 6
	25.12.2018, 11:30	17
	Спасибо большое!)) 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	25.12.2018, 11:31	18
	marishk0, не за что. Просто эта тема мне интересна. 0

@Lena- 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.05.2019 Сообщений: 2
	17.05.2019, 15:58	19
	Сообщение от slava_psk marishk0 Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем ( y''-(x^2)y'-xy=-1 1/2<=x<=1 y'(1/2)=-4 y(0)=1 Добавлено через 2 минуты slava_psk, Помогите. пожалуйста с моим заданием, запуталась совсем ( y''-(x^2)y'-xy=-1 1/2<=x<=1 y'(1/2)=-4 y(0)=1 0

@slava_psk 641 / 443 / 223 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,034
	17.05.2019, 16:11	20
	Lena-, модераторы не очень приветствуют такое общение ЗДЕСЬ. Пишите, разберемся. Добавлено через 11 минут Lena-, наверное у(1)=1? 1