Найти решение задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнение методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности

@K1r1zaN · Регистрация: 07.05.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Собственно есть дифура вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''+ xu = {e}^{x}$

Так же есть отрезок по x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq x\leq 2$

Так же есть начальные условия при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ = 0: u( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = 1, u'( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = u''( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = 0

Я уже принципиально реализовал этот метод для дифуры 1 порядка, но вот для 3 не могу, прошу показать мне как это можно сделать

Код программы, тут я забил первую попавшуюся в голову функцию, чтобы просто проверить:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
#include <Windows.h>
#include <iomanip>
#define m 100
using namespace std;
 
double u(double x, double y) // правая часть
{
    return exp(x) - y;
}
 
double u1(double x) // аналитическое решение
{
    return exp(x)/2 + 1/(2*exp(x));
}
 
int main(void)
{
    SetConsoleCP(1251);
    SetConsoleOutputCP(1251);
 
    double a, b, h, x[m], y[m];
    double k1, k2, k3, k4; // дополнительные переменные
 
    a = 0; b = 2; h = (b - a) / (m - 1);
    y[0] = 1; // начальное условие
    for (int n = 0; n < m - 1; n++) // метод Рунге - Кутты
    {
        x[n] = a + n * h;
        k1 = u(x[n], y[n]);
        k2 = u(x[n] + h/2, y[n] + h*k1/2);
        k3 = u(x[n] + h/2, y[n] + h*k2/2);
        k4 = u(x[n] + h, y[n] + h*k3);
        y[n + 1] = y[n] + (h/6)*(k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4);
    }
 
    // сравнение с аналитическим решением
    for (int k = 0; k < m; k++)
    {
        x[k] = a + k * h;
        cout << "Численно = " << u(x[k], y[k]) << "\t\t" << "Аналитическое = " << u1(x[k])<< "\t\t" << "В точке = " << y[k] << endl;
    }
    system("pause");
}

Тут я конечно же кучу библиотек подключил, но я это делаю специально чтобы каждый раз не переподключать их в случае использования чего либо из этих библиотек, но это на самом деле не принципиально

Точность решение задачи e=0.001

@Volga_ · 17.11.2021, 18:30

K1r1zaN, перепишу ваше уравнение как:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} u'=y\\ y'=z\\ z'=e^x-xu \end{matrix}\right.$

и начальное условие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} x_0=0\\ u_0=1\\ y_0=0\\ z_0=0 \end{matrix}\right.$

И посмотрите код:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
double dU(double y)
{
    return y;
}
double dY(double z)
{
    return z;
}
double dZ(double x, double u)
{
    return exp(x) - x * u;
}
int main()
{
    //const double eps = 1e-3;
    double Xmin = 0.0;
    double Xmax = 2.0;
    double hX = 0.01;  // Можно менять на 0.001
 
    double X = Xmin;
    double U = 1.0;
    double Y = 0.0;
    double Z = 0.0;
 
    double k1U, k2U, k3U, k4U;
    double k1Y, k2Y, k3Y, k4Y;
    double k1Z, k2Z, k3Z, k4Z;
 
    std::cout << "X" << std::setw(10) << "U" << std::endl;
    do
    {
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(3) << X
            << std::setw(10) << std::setprecision(5) << U << std::endl;
 
        k1U = hX * dU(Y);
        k1Y = hX * dY(Z);
        k1Z = hX * dZ(X, U);
 
        k2U = hX * dU(Y + k1Y / 2);
        k2Y = hX * dY(Z + k1Z / 2);
        k2Z = hX * dZ(X + hX / 2, U + k1U / 2);
 
        k3U = hX * dU(Y + k2Y / 2);
        k3Y = hX * dY(Z + k2Z / 2);
        k3Z = hX * dZ(X + hX / 2, U + k2U / 2);
 
        k4U = hX * dU(Y + k3Y);
        k4Y = hX * dY(Z + k3Z);
        k4Z = hX * dZ(X + hX, U + k3U);
 
        U += (k1U + 2 * k2U + 2 * k3U + k4U) / 6;
        Y += (k1Y + 2 * k2Y + 2 * k3Y + k4Y) / 6;
        Z += (k1Z + 2 * k2Z + 2 * k3Z + k4Z) / 6;
        X += hX;
    } while (X <= Xmax + 1e-10);
 
    return 0;
}

Можно менять значение в строке 21 как вы хотите (может быть точность 0.001).
Тест:

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
X         U
0.000   1.00000
0.010   1.00000
0.020   1.00000
0.030   1.00000
0.040   1.00001
0.050   1.00002
0.060   1.00004
0.070   1.00006
0.080   1.00009
0.090   1.00012
0.100   1.00017
0.110   1.00022
0.120   1.00029
0.130   1.00037
0.140   1.00046
0.150   1.00056
0.160   1.00068
0.170   1.00082
0.180   1.00097
0.190   1.00115
0.200   1.00134
0.210   1.00155
0.220   1.00178
0.230   1.00203
0.240   1.00231
0.250   1.00261
0.260   1.00294
0.270   1.00329
0.280   1.00367
0.290   1.00408
0.300   1.00452
0.310   1.00499
0.320   1.00549
0.330   1.00602
0.340   1.00659
0.350   1.00719
0.360   1.00783
0.370   1.00850
0.380   1.00921
0.390   1.00997
0.400   1.01076
0.410   1.01159
0.420   1.01246
0.430   1.01338
0.440   1.01434
0.450   1.01535
0.460   1.01640
0.470   1.01751
0.480   1.01866
0.490   1.01986
0.500   1.02111
0.510   1.02242
0.520   1.02377
0.530   1.02519
0.540   1.02665
0.550   1.02818
0.560   1.02976
0.570   1.03140
0.580   1.03311
0.590   1.03487
0.600   1.03670
0.610   1.03859
0.620   1.04054
0.630   1.04257
0.640   1.04466
0.650   1.04681
0.660   1.04904
0.670   1.05134
0.680   1.05371
0.690   1.05616
0.700   1.05868
0.710   1.06128
0.720   1.06396
0.730   1.06671
0.740   1.06954
0.750   1.07246
0.760   1.07546
0.770   1.07854
0.780   1.08171
0.790   1.08496
0.800   1.08831
0.810   1.09174
0.820   1.09526
0.830   1.09888
0.840   1.10258
0.850   1.10639
0.860   1.11029
0.870   1.11429
0.880   1.11838
0.890   1.12258
0.900   1.12688
0.910   1.13128
0.920   1.13579
0.930   1.14040
0.940   1.14513
0.950   1.14996
0.960   1.15490
0.970   1.15995
0.980   1.16512
0.990   1.17040
1.000   1.17580
1.010   1.18132
1.020   1.18696
1.030   1.19272
1.040   1.19860
1.050   1.20461
1.060   1.21074
1.070   1.21701
1.080   1.22340
1.090   1.22992
1.100   1.23657
1.110   1.24336
1.120   1.25029
1.130   1.25735
1.140   1.26455
1.150   1.27189
1.160   1.27938
1.170   1.28701
1.180   1.29478
1.190   1.30271
1.200   1.31078
1.210   1.31900
1.220   1.32738
1.230   1.33591
1.240   1.34460
1.250   1.35345
1.260   1.36246
1.270   1.37162
1.280   1.38096
1.290   1.39046
1.300   1.40012
1.310   1.40996
1.320   1.41996
1.330   1.43014
1.340   1.44049
1.350   1.45102
1.360   1.46173
1.370   1.47262
1.380   1.48369
1.390   1.49495
1.400   1.50639
1.410   1.51802
1.420   1.52985
1.430   1.54186
1.440   1.55407
1.450   1.56647
1.460   1.57907
1.470   1.59187
1.480   1.60487
1.490   1.61808
1.500   1.63150
1.510   1.64512
1.520   1.65895
1.530   1.67299
1.540   1.68725
1.550   1.70173
1.560   1.71642
1.570   1.73133
1.580   1.74647
1.590   1.76183
1.600   1.77742
1.610   1.79323
1.620   1.80928
1.630   1.82556
1.640   1.84208
1.650   1.85883
1.660   1.87582
1.670   1.89306
1.680   1.91053
1.690   1.92826
1.700   1.94623
1.710   1.96445
1.720   1.98293
1.730   2.00166
1.740   2.02064
1.750   2.03989
1.760   2.05939
1.770   2.07916
1.780   2.09920
1.790   2.11950
1.800   2.14007
1.810   2.16092
1.820   2.18204
1.830   2.20343
1.840   2.22511
1.850   2.24706
1.860   2.26930
1.870   2.29182
1.880   2.31463
1.890   2.33773
1.900   2.36113
1.910   2.38481
1.920   2.40879
1.930   2.43308
1.940   2.45766
1.950   2.48254
1.960   2.50773
1.970   2.53323
1.980   2.55904
1.990   2.58515
2.000   2.61159

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11680&d=1772460536 Одним из. . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .

Найти решение задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнение методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности

Решение