Найти решение задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнение методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности

@K1r1zaN · Регистрация: 07.05.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Собственно есть дифура вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''+ xu = {e}^{x}$

Так же есть отрезок по x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq x\leq 2$

Так же есть начальные условия при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ = 0: u( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = 1, u'( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = u''( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ) = 0

Я уже принципиально реализовал этот метод для дифуры 1 порядка, но вот для 3 не могу, прошу показать мне как это можно сделать

Код программы, тут я забил первую попавшуюся в голову функцию, чтобы просто проверить:

C++

#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
#include <Windows.h>
#include <iomanip>
#define m 100
using namespace std;
 
double u(double x, double y) // правая часть
{
    return exp(x) - y;
}
 
double u1(double x) // аналитическое решение
{
    return exp(x)/2 + 1/(2*exp(x));
}
 
int main(void)
{
    SetConsoleCP(1251);
    SetConsoleOutputCP(1251);
 
    double a, b, h, x[m], y[m];
    double k1, k2, k3, k4; // дополнительные переменные
 
    a = 0; b = 2; h = (b - a) / (m - 1);
    y[0] = 1; // начальное условие
    for (int n = 0; n < m - 1; n++) // метод Рунге - Кутты
    {
        x[n] = a + n * h;
        k1 = u(x[n], y[n]);
        k2 = u(x[n] + h/2, y[n] + h*k1/2);
        k3 = u(x[n] + h/2, y[n] + h*k2/2);
        k4 = u(x[n] + h, y[n] + h*k3);
        y[n + 1] = y[n] + (h/6)*(k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4);
    }
 
    // сравнение с аналитическим решением
    for (int k = 0; k < m; k++)
    {
        x[k] = a + k * h;
        cout << "Численно = " << u(x[k], y[k]) << "\t\t" << "Аналитическое = " << u1(x[k])<< "\t\t" << "В точке = " << y[k] << endl;
    }
    system("pause");
}

Тут я конечно же кучу библиотек подключил, но я это делаю специально чтобы каждый раз не переподключать их в случае использования чего либо из этих библиотек, но это на самом деле не принципиально

Точность решение задачи e=0.001

@Volga_ · 17.11.2021, 18:30

K1r1zaN, перепишу ваше уравнение как:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} u'=y\\ y'=z\\ z'=e^x-xu \end{matrix}\right.$

и начальное условие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} x_0=0\\ u_0=1\\ y_0=0\\ z_0=0 \end{matrix}\right.$

И посмотрите код:

C++

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
double dU(double y)
{
    return y;
}
double dY(double z)
{
    return z;
}
double dZ(double x, double u)
{
    return exp(x) - x * u;
}
int main()
{
    //const double eps = 1e-3;
    double Xmin = 0.0;
    double Xmax = 2.0;
    double hX = 0.01;  // Можно менять на 0.001
 
    double X = Xmin;
    double U = 1.0;
    double Y = 0.0;
    double Z = 0.0;
 
    double k1U, k2U, k3U, k4U;
    double k1Y, k2Y, k3Y, k4Y;
    double k1Z, k2Z, k3Z, k4Z;
 
    std::cout << "X" << std::setw(10) << "U" << std::endl;
    do
    {
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(3) << X
            << std::setw(10) << std::setprecision(5) << U << std::endl;
 
        k1U = hX * dU(Y);
        k1Y = hX * dY(Z);
        k1Z = hX * dZ(X, U);
 
        k2U = hX * dU(Y + k1Y / 2);
        k2Y = hX * dY(Z + k1Z / 2);
        k2Z = hX * dZ(X + hX / 2, U + k1U / 2);
 
        k3U = hX * dU(Y + k2Y / 2);
        k3Y = hX * dY(Z + k2Z / 2);
        k3Z = hX * dZ(X + hX / 2, U + k2U / 2);
 
        k4U = hX * dU(Y + k3Y);
        k4Y = hX * dY(Z + k3Z);
        k4Z = hX * dZ(X + hX, U + k3U);
 
        U += (k1U + 2 * k2U + 2 * k3U + k4U) / 6;
        Y += (k1Y + 2 * k2Y + 2 * k3Y + k4Y) / 6;
        Z += (k1Z + 2 * k2Z + 2 * k3Z + k4Z) / 6;
        X += hX;
    } while (X <= Xmax + 1e-10);
 
    return 0;
}

Можно менять значение в строке 21 как вы хотите (может быть точность 0.001).
Тест:

Код

X         U
0.000   1.00000
0.010   1.00000
0.020   1.00000
0.030   1.00000
0.040   1.00001
0.050   1.00002
0.060   1.00004
0.070   1.00006
0.080   1.00009
0.090   1.00012
0.100   1.00017
0.110   1.00022
0.120   1.00029
0.130   1.00037
0.140   1.00046
0.150   1.00056
0.160   1.00068
0.170   1.00082
0.180   1.00097
0.190   1.00115
0.200   1.00134
0.210   1.00155
0.220   1.00178
0.230   1.00203
0.240   1.00231
0.250   1.00261
0.260   1.00294
0.270   1.00329
0.280   1.00367
0.290   1.00408
0.300   1.00452
0.310   1.00499
0.320   1.00549
0.330   1.00602
0.340   1.00659
0.350   1.00719
0.360   1.00783
0.370   1.00850
0.380   1.00921
0.390   1.00997
0.400   1.01076
0.410   1.01159
0.420   1.01246
0.430   1.01338
0.440   1.01434
0.450   1.01535
0.460   1.01640
0.470   1.01751
0.480   1.01866
0.490   1.01986
0.500   1.02111
0.510   1.02242
0.520   1.02377
0.530   1.02519
0.540   1.02665
0.550   1.02818
0.560   1.02976
0.570   1.03140
0.580   1.03311
0.590   1.03487
0.600   1.03670
0.610   1.03859
0.620   1.04054
0.630   1.04257
0.640   1.04466
0.650   1.04681
0.660   1.04904
0.670   1.05134
0.680   1.05371
0.690   1.05616
0.700   1.05868
0.710   1.06128
0.720   1.06396
0.730   1.06671
0.740   1.06954
0.750   1.07246
0.760   1.07546
0.770   1.07854
0.780   1.08171
0.790   1.08496
0.800   1.08831
0.810   1.09174
0.820   1.09526
0.830   1.09888
0.840   1.10258
0.850   1.10639
0.860   1.11029
0.870   1.11429
0.880   1.11838
0.890   1.12258
0.900   1.12688
0.910   1.13128
0.920   1.13579
0.930   1.14040
0.940   1.14513
0.950   1.14996
0.960   1.15490
0.970   1.15995
0.980   1.16512
0.990   1.17040
1.000   1.17580
1.010   1.18132
1.020   1.18696
1.030   1.19272
1.040   1.19860
1.050   1.20461
1.060   1.21074
1.070   1.21701
1.080   1.22340
1.090   1.22992
1.100   1.23657
1.110   1.24336
1.120   1.25029
1.130   1.25735
1.140   1.26455
1.150   1.27189
1.160   1.27938
1.170   1.28701
1.180   1.29478
1.190   1.30271
1.200   1.31078
1.210   1.31900
1.220   1.32738
1.230   1.33591
1.240   1.34460
1.250   1.35345
1.260   1.36246
1.270   1.37162
1.280   1.38096
1.290   1.39046
1.300   1.40012
1.310   1.40996
1.320   1.41996
1.330   1.43014
1.340   1.44049
1.350   1.45102
1.360   1.46173
1.370   1.47262
1.380   1.48369
1.390   1.49495
1.400   1.50639
1.410   1.51802
1.420   1.52985
1.430   1.54186
1.440   1.55407
1.450   1.56647
1.460   1.57907
1.470   1.59187
1.480   1.60487
1.490   1.61808
1.500   1.63150
1.510   1.64512
1.520   1.65895
1.530   1.67299
1.540   1.68725
1.550   1.70173
1.560   1.71642
1.570   1.73133
1.580   1.74647
1.590   1.76183
1.600   1.77742
1.610   1.79323
1.620   1.80928
1.630   1.82556
1.640   1.84208
1.650   1.85883
1.660   1.87582
1.670   1.89306
1.680   1.91053
1.690   1.92826
1.700   1.94623
1.710   1.96445
1.720   1.98293
1.730   2.00166
1.740   2.02064
1.750   2.03989
1.760   2.05939
1.770   2.07916
1.780   2.09920
1.790   2.11950
1.800   2.14007
1.810   2.16092
1.820   2.18204
1.830   2.20343
1.840   2.22511
1.850   2.24706
1.860   2.26930
1.870   2.29182
1.880   2.31463
1.890   2.33773
1.900   2.36113
1.910   2.38481
1.920   2.40879
1.930   2.43308
1.940   2.45766
1.950   2.48254
1.960   2.50773
1.970   2.53323
1.980   2.55904
1.990   2.58515
2.000   2.61159

	17.11.2021, 18:30

Найти решение задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнение методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности

Решение