Перебрать все возможные комбинации символов и в верхнем, и в нижнем регистрах

uint count = (uint) Math.Pow(2, word.Length);
for (uint ind=0; ind < count; ind++)
{
    // Биты ind служат указателями в каком регистре надо использовать 
   // символы входной коллекции
}

static public bool IsBit (this uint Bits, int Number)
{
     if (Number <0 || Number > 31)
             return false;
     uint mask = 1;
     for (int i = 0; i <Number; i++)
         mask = mask << 1;
     if ((Bits & mask) == 0)
         return false;
    return true;
}

uint count = (uint) Math.Pow(2, word.Length);
for (uint ind=0; ind < count; ind++)
{
          string newWord="";
          for (int i=0; i < word.Length; i++)
               if (ind.IsBit(i))
                    newWord += Char.ToUpper(word[i]);
               else
                    newWord += Char.ToLower(word[i]);
         result.Add(newWord);
}

        static IEnumerable<string> LowerUpperChar(IEnumerable<char> Chars)
        {
            if (!(Chars?.Count() > 0)) // Если входной последовательности нет
                return null;           // то возвращаем null 
 
            if (Chars.Count() == 1)    // Если входная последовательность состоит из одного символа
                return                 // то возвращаем последовательность из этого символа в обоих регистрах
                    Chars.Select(ch => ch.ToString().ToLower()).Concat(Chars.Select(ch => ch.ToString().ToUpper()));
 
            return  // В иных случаях
                  LowerUpperChar(Chars.Take(1)) // Получаем последовательность из первого символа
                  .SelectMany                   // Сочетаем последовательности
                  (
                      str => // Лямбда для строк первой последовательности
                       LowerUpperChar(Chars.Skip(1)),  // Получаем последовательность из символов кроме первого
                      (strFirst, strOther) => // Лямбда для строк обеих последовательности
                      strFirst + strOther // Объединяющее выражение
                  );
        }

            string cat = "cat";
            foreach (string str in LowerUpperChar(cat))
                Console.WriteLine(str);

if (word.Length == startIndex)
     {
          result.Add(new string(word));
          return;
     }
     word[startIndex] = char.ToLower(word[startIndex]);
     AlternateCharCases(word, startIndex + 1, result);
     word[startIndex] = char.ToUpper(word[startIndex]);
     AlternateCharCases(word, startIndex + 1, result);