Понижение порядка и решение дифф. уравнения

@ilotan · Регистрация: 08.10.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

есть уравнение : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2y{y}'' = y^{2} + {y}'^{2}$

я понизил порядок заменой : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}' = p$

получил : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yp{p}' = y^{2}+ p^{2}$

как решить дальше(какую замену сделать?)

@mathmichel · 01.05.2015, 14:50

Здесь в качестве новой функции лучше выбрать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{y'}{y}$ , тогда получите более удобное уравнение для интегрирования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'=1-z^2$ , которое имеет решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{C_1e^x+1}{C_1e^x-1}$ , тогда полное решение будет иметь вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_2e^{\int \frac{C_1e^x+1}{C_1e^x-1}dx}$

@ilotan · 01.05.2015, 16:12 **[ТС]**

mathidiot, а как решить это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{z}' = 1 - z^{2}$ ?

@mathmichel · 01.05.2015, 17:29

Сообщение от ilotan

а как решить это 2{z}' = 1 - z^{2} ?

Неожиданный вопрос! Перед этим собирались решать очень мудренным способом исходное уравнение, а тут совсем элементарное уравнение с разделяющимися переменными: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{1-z^2}=\frac{1}{2}dx$ , которое приводим к виду: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{1+z}-\frac{dz}{z-1}=dx$ , после интегрирования получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln(\frac{z+1}{z-1})=x+C$ и т.д.

@ilotan · 01.05.2015, 17:41 **[ТС]**

mathidiot, а тут случайно не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{z}' = 1 + z^{2}$ получается? либо я замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}''$ не правильно делаю

@mathmichel · 01.05.2015, 17:47

Сообщение от ilotan

а тут случайно не 2{z}' = 1 + z^{2} получается?

Увы - не получается (не случайно), после введения новой функции z, о которой я сообщал выше, в правой части уравнения будут изменения.

@ilotan · 01.05.2015, 17:48 **[ТС]**

mathidiot, тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}' = yz$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}'' = ?$

@mathmichel · 01.05.2015, 18:00

Сообщение от ilotan

тогда если {y}' = yz, то {y}'' = ?

Формула Лейбница: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=y'z+yz'$ , только не по этому пути идете. Сначала разделите исходное уравнение на y^2. А дальше продифференцируйте z и смотрите как заменить левую часть через новую функцию.

@ilotan · 01.05.2015, 20:37 **[ТС]**

mathidiot,
поделил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\frac{{y}''}{y} = 1 + \frac{{y}'^{2}}{y^{2}}$

продифференцировал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z}' = \frac{{y}''y - {y}'^{2}}{y^{2}}$

где ошибка? что-то все равно не сходится

@mathmichel · 01.05.2015, 21:13

Сообщение от ilotan

продифференцировал {z}' = \frac{{y}''y - {y}'^{2}}{y^{2}}
где ошибка? что-то все равно не сходится

Как не сходится? Разве не видите, что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z}' = \frac{{y}''y - {y}'^{2}}{y^{2}}=\frac{y''}{y}-z^2$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@ilotan 1 / 1 / 1 Регистрация: 08.10.2014 Сообщений: 25

	Понижение порядка и решение дифф. уравнения 01.05.2015, 13:53. Показов 1282. Ответов 9 Метки нет (Все метки) есть уравнение : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2y{y}'' = y^{2} + {y}'^{2}$ я понизил порядок заменой : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}' = p$ получил : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2yp{p}' = y^{2}+ p^{2}$ как решить дальше(какую замену сделать?) 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11046 / 7349 / 3982 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,764
	01.05.2015, 14:50
	Сообщение было отмечено ilotan как решение Решение Здесь в качестве новой функции лучше выбрать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{y'}{y}$ , тогда получите более удобное уравнение для интегрирования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'=1-z^2$ , которое имеет решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{C_1e^x+1}{C_1e^x-1}$ , тогда полное решение будет иметь вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_2e^{\int \frac{C_1e^x+1}{C_1e^x-1}dx}$ 1

@ilotan 1 / 1 / 1 Регистрация: 08.10.2014 Сообщений: 25
	01.05.2015, 16:12 [ТС]
	mathidiot, а как решить это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{z}' = 1 - z^{2}$ ? 0

@ilotan 1 / 1 / 1 Регистрация: 08.10.2014 Сообщений: 25
	01.05.2015, 17:41 [ТС]
	mathidiot, а тут случайно не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{z}' = 1 + z^{2}$ получается? либо я замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}''$ не правильно делаю 0

@ilotan 1 / 1 / 1 Регистрация: 08.10.2014 Сообщений: 25
	01.05.2015, 17:48 [ТС]
	mathidiot, тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}' = yz$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}'' = ?$ 0

@ilotan 1 / 1 / 1 Регистрация: 08.10.2014 Сообщений: 25
	01.05.2015, 20:37 [ТС]
	mathidiot, поделил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\frac{{y}''}{y} = 1 + \frac{{y}'^{2}}{y^{2}}$ продифференцировал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z}' = \frac{{y}''y - {y}'^{2}}{y^{2}}$ где ошибка? что-то все равно не сходится 0

Понижение порядка и решение дифф. уравнения

Решение