Решение системы обыкновенных ДУ методом исключения неизвестных

@Bernas · Регистрация: 28.05.2021

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дана следующая система ДУ:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}dx/dt=t/y \\ dy/dt=-t/x \end{matrix}\right.$

Её необходимо решить методом исключения. Подскажите, пожалуйста, как правильно это можно сделать?

Я сначала выражаю y из 1-го уравнения:

y=dt*t/dx

Затем дифф-ю по переменной t (d/dt):

dy/dt=(dt*dt)/dt*dx
dy/dt=dt/dx

Подставляю правую часть (dt/dx) вместо dy/dt во 2-м уравнении:

dt/dx=-t/x
dt/t=-dx/x

После интегрирования получаю:

ln|t|=-ln|x|+c1
x=-t+c1

Мне кажется, что на предыдущих шагах была допущена ошибка. И что делать после того, как будет найден x?

@Том Ардер · 15.06.2021, 12:58

Bernas, абсолютно неграмотное обращение с производными!

Обозначить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u\equiv \frac{dx}{dt}$ , тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{t}{u}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{u-t\frac{du}{dt}}{u^2}$
тогда второе уравнение системы превращается в уравнение второго порядка для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$

Но гораздо проще систему записать в виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}y\frac{dx}{dt}=t\\ x\frac{dy}{dt}=-t\end{matrix}\right.$
и увидеть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(xy)$

@Bernas 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.05.2021 Сообщений: 1
		1
	Решение системы обыкновенных ДУ методом исключения неизвестных 15.06.2021, 11:55. Показов 2508. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Дана следующая система ДУ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}dx/dt=t/y \\ dy/dt=-t/x \end{matrix}\right.$ Её необходимо решить методом исключения. Подскажите, пожалуйста, как правильно это можно сделать? Я сначала выражаю y из 1-го уравнения: y=dtt/dx Затем дифф-ю по переменной t (d/dt): dy/dt=(dtdt)/dt*dx dy/dt=dt/dx Подставляю правую часть (dt/dx) вместо dy/dt во 2-м уравнении: dt/dx=-t/x dt/t=-dx/x После интегрирования получаю: ln\|t\|=-ln\|x\|+c1 x=-t+c1 Мне кажется, что на предыдущих шагах была допущена ошибка. И что делать после того, как будет найден x? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	15.06.2021, 12:58	2
	Сообщение было отмечено Matan! как решение Решение Bernas, абсолютно неграмотное обращение с производными! Обозначить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u\equiv \frac{dx}{dt}$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{t}{u}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{u-t\frac{du}{dt}}{u^2}$ тогда второе уравнение системы превращается в уравнение второго порядка для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$ Но гораздо проще систему записать в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}y\frac{dx}{dt}=t\\ x\frac{dy}{dt}=-t\end{matrix}\right.$ и увидеть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(xy)$ 0